专题34 函数中的恒成立问题与能成立问题（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题34 函数中的恒成立问题与能成立问题 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用函数性质法解决单变量不等式恒成立问题 类型二、利用分参法解决单变量不等式恒成立问题 类型三、利用函数性质（分参）法解决单变量不等式能成立问题 类型四、任意-任意型双变量不等式成立问题 类型五、任意-存在型双变量不等式成立问题 类型六、存在-存在型双变量不等式成立问题 类型七、任意-存在型双变量等式成立问题 压轴专练 类型一、利用函数性质法解决单变量不等式恒成立问题 恒成立问题常见类型： 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 【技巧方法】 1.数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 2、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 3.恒成立问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论；②完全分离，函数最值；③④换元分离，简化运算 例1．已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 变式1-1．已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数，当时，恒成立，则的值为（  ） A．0 B． C．1 D．2 变式1-3．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 变式1-4．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知，且在上恒成立，求的取值范围； 变式1-5．在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）点称为函数的“正格点”. （1）写出当时，函数图象上的正格点坐标； （2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 类型二、利用分参法解决单变量不等式恒成立问题 分离参数法解决恒成立问题： 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题。 【技巧方法】 恒成立问题的解决策略： ①构造函数，分类讨论；②完全分离，函数最值；③④换元分离，简化运算。 单变量不等式恒成立问题： 一般利用参变分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解： 1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min 2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max 例2．已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 变式2-1．若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式2-2．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式2-3．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为____________ 类型三、利用函数性质（分参）法解决单变量不等式能成立问题 能成立（有解）问题常见类型： 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 【技巧方法】 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围。 能成立问题的解决策略： ①构造函数，分类讨论；②完全分离，函数最值；③④换元分离，简化运算。 单变量不等式能成立问题： 一般利用参变分离法求解函数不等式能成立，可根据以下原则进行求解： 1、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max 2、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min 例3．已知函数，，，. （1）当时，求函数的值域； （2）若存在时，使得有解，求的取值范围； 变式3-1．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．若存在满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-3． 已知函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若，使得成立，求实数的取值范围. 类型四、任意-任意型双变量不等式成立问题 双变量不等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； 特别地对任意总有成立等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可。 例4．已知，. （1）求的解析式； （2）求的值域； （3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围. 变式4-1．已知函数的定义域为，若任意，满足，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 变式4-3．已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 类型五、任意-存在型双变量不等式成立问题 双变量不等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， （1） 若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； （2） 若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min； 例5．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是 . 类型六、存在-存在型双变量不等式成立问题 双变量不等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． 例6．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式6-2．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为是（  ） A． B． C．1 D． 变式6-3．已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 类型七、任意-存在型双变量等式成立问题 双变量等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅； 例7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 变式7-1．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ． 变式7-3．已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）求不等式解集； （3）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； 1.若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（  ） A． B． C． D． 2.已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3.若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 4.若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5.已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6.已知函数，若对，都有，则的取值范围为 7.已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 8.已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 . 9.已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为_____. 10.已知函数，若当时，，则的取值范围是 . 11.已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围 . 12.设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)，有成立，求实数m的取值范围． 13.已知函数. （1）讨论的奇偶性； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 14.已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题34 函数中的恒成立问题与能成立问题 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用函数性质法解决单变量不等式恒成立问题 类型二、利用分参法解决单变量不等式恒成立问题 类型三、利用函数性质（分参）法解决单变量不等式能成立问题 类型四、任意-任意型双变量不等式成立问题 类型五、任意-存在型双变量不等式成立问题 类型六、存在-存在型双变量不等式成立问题 类型七、任意-存在型双变量等式成立问题 压轴专练 类型一、利用函数性质法解决单变量不等式恒成立问题 恒成立问题常见类型： 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 【技巧方法】 1.数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 2、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 3.恒成立问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论；②完全分离，函数最值；③④换元分离，简化运算 例1．已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【解析】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式1-1．已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【解析】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 变式1-2．已知函数，当时，恒成立，则的值为（  ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】分为与两种情况讨论，分离出参数，结合函数的单调性求解. 【解析】当时， ，故恒成立，即恒成立， 令，因为在上均是增函数， 所以在上是增函数， 故时， ，所以， 当时，，故恒成立，即恒成立， 在上是增函数， 故时， ，（当时取等号），所以， 综上，． 故选：A. 变式1-3．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，分类讨论底数范围作出函数图象，数形结合计算参数即可. 【解析】不等式在内恒成立，等价于在内恒成立， ①当时，在内，，，∴不成立； ②当时，作出函数与的图象， 由图可得，要使在内恒成立， 必须满足，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：． 变式1-4．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知，且在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案； （2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案. 【解析】（1）解：当时，， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为：； （2）因为，且在上恒成立， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递增，则， 又在上恒成立，转化为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 变式1-5．在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）点称为函数的“正格点”. （1）写出当时，函数图象上的正格点坐标； （2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，； （2）； （3）. 【分析】（1）根据正格点定义及正弦函数性质写出正格点坐标； （2）画出正弦、对数函数的大致图象，数形结合易知正格点为，代入函数求参数值； （3）由题设有，讨论、并结合对数函数性质求参数范围. 【解析】（1）因为，所以，， 所以函数的正格点为，，. （2）根据题设，可得两个函数大致图象如下， 函数，，与函数的图象只有一个“正格点”交点. ∴，则，又，可得. （3）由（2）知，，则， 所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，如下图知， 由，解得， 综上，实数的取值范围为. 类型二、利用分参法解决单变量不等式恒成立问题 分离参数法解决恒成立问题： 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题。 【技巧方法】 恒成立问题的解决策略： ①构造函数，分类讨论；②完全分离，函数最值；③④换元分离，简化运算。 单变量不等式恒成立问题： 一般利用参变分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解： 1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min 2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max 例2．已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 变式2-1．若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为存在正数，使，利用函数单调性求的值域即可. 【解析】由得到，则， 因均在上单调递增， 则在上单调递增，则， 因存在正数，使成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 变式2-2．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离参数法，结合换元法，再利用二次函数求最值，从而可得参数范围. 【解析】由不等式变形得：， 令，则 因为，所以， 故选：B 变式2-3．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为____________ 【答案】 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【解析】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故答案为： 类型三、利用函数性质（分参）法解决单变量不等式能成立问题 能成立（有解）问题常见类型： 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 【技巧方法】 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围。 能成立问题的解决策略： ①构造函数，分类讨论；②完全分离，函数最值；③④换元分离，简化运算。 单变量不等式能成立问题： 一般利用参变分离法求解函数不等式能成立，可根据以下原则进行求解： 1、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max 2、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min 例3．已知函数，，，. （1）当时，求函数的值域； （2）若存在时，使得有解，求的取值范围； 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）首先求出的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出函数的值域； （2）令，依题意可得在上有解，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解； 【解析】当时，，令， 则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以. （2）令，因为，所以， 依题意可得在上有解， 即，即不大于函数的最大值. 令 则函数在上单调递增， 所以当，即时，有最大值， 所以. 变式3-1．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数构造函数并求出最小值，再利用有解的条件求出范围. 【解析】不等式，当时，， 则，依题意，， 所以实数的取值范围是. 故选：B 变式3-2．若存在满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得存在满足，令，，利用函数的单调性求出，即可得解. 【解析】因为存在满足， 即存在满足， 令，， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：A 变式3-3． 已知函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）代入即可得解； （2）先将转化为，再根据的定义域及单调性将函数值的大小转化为自变量的大小，解不等式即可得解； （3）先进行参变分离，得到使得，再通过换元法将该问题转化为二次函数在给定区间内的最大值问题，即可得解. 【解析】（1）由题可知，，解得. （2）， 则， 则不等式可化， 易知，函数在上单调递增，则在上单调递增， 又在上也单调递增，故在上单调递增， 因此由，可得， 解得，故不等式的解集为； （3）， 因，又易知， 则 ， 令，则可转化为关于的二次函数， 二次函数的对称轴为，由二次函数的单调性可知，在上的最大值为， 故. 类型四、任意-任意型双变量不等式成立问题 双变量不等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； 特别地对任意总有成立等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可。 例4．已知，. （1）求的解析式； （2）求的值域； （3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）令，则x=2t，故．从而得出f（x）的解析式； （2）设，，下面对a进行分类讨论：①当a=0时，②当a>0时，③当a<0时，分别求出其值域即可； （3）函数对任意x1，x2∈[-1，1]，，等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可. 【解析】⑴设，则 . ； ⑵设，则 当 时，对称轴，且抛物线开口向下， 的值域为 当 时，， 的值域为 综上，当时的值域为； 当 时，对称轴，在上单调递减，在上单调递增 的值域为 . 当时的值域为. ⑶由题 . 对任意总有 在满足 设，则， 当即时在区间单调递增 （舍去） 当时，不合题意 当时， 若即时，在区间单调递增 若即时在递减，在递增 若即时在区间单调递减 （舍去） 综上所述：. 变式4-1．已知函数的定义域为，若任意，满足，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【解析】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：A 变式4-2．已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【解析】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 变式4-3．已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围. 【解析】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 类型五、任意-存在型双变量不等式成立问题 双变量不等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， （1） 若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； （2） 若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min； 例5．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，求出这两个函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解析】由题意可知，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 当时，， 当时，，则。 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 变式5-1．已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【解析】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 变式5-2．已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：，结合二次函数以及对数函数性质分析求解. 【解析】由题意可知：， 因为的图象开口向上，对称轴为， 且，可知当时，取到最大值， 由题意可得：， 可知存在，使得成立， 当，可知在上单调递减， 可得，不合题意； 当，可知在上单调递增， 可得的最大值为，则， 即又，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 变式5-3．已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的最大值，通过两者的大小关系可得答案. 【解析】当时,.当时,. 若存在，使对任意的，有成立, 等价于,可得，所以. 故答案为： 类型六、存在-存在型双变量不等式成立问题 双变量不等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． 例6．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，根据函数单调性得到，，得到不等式，求出实数的取值范围是. 【解析】若，，使得， 故只需， 其中在上单调递减，故， 在上单调递增，故， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C 变式6-1．已知，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【解析】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 变式6-2．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【解析】函数在上单调递减，函数在单调递增， 则函数在上单调递减， 由存在，满足，得， 即，则， 因此，解得，所以 故选：B 变式6-3．已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知，建立不等式求解即可. 【解析】因为， 当时,， 因为存在,存在, 使得成立, 所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值. 当时,函数在上单调递减, 则，解得; 当时,函数在上单调递增, 则，解得， 综上,实数a的取值范围是. 故答案为：. 类型七、任意-存在型双变量等式成立问题 双变量等式： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅； 例7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①函数在区间上单调递增，证明见解析；②[0，1]. 【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心； （2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； ②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【解析】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. （2）当时，. ①函数在区间上单调递增； 证明如下:，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 变式7-1．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【解析】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 变式7-2．已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可. 【解析】由题意知； 当时，， 故需同时满足以下两点： ①对时， ∴恒成立， 由于当时，为增函数， ∴； ②对时，， ∴恒成立， 由于，当且仅当，即时取得等号， ∴， ∴， 故答案为： 变式7-3．已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）求不等式解集； （3）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析； （2）; （3） 【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性判断即可. （2）判断的单调性，结合的定义域和值域，得到，解不等式求解即可. （3）先求出在时的值域，分情况求出在时的值域，由题意可得与的值域存在交集，求解即可. 【解析】（1）函数为奇函数. 证明：由真数，解得，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称. 又， 所以函数为奇函数； （2）设，则，， 则， 即，所以函数在区间上单调递减. 由可得，， 所以，即，所以，解得. 故不等式的解集为. （3）由（2）知，函数在区间上单调递减， 所以当时，的值域为. 由题意知，与在时的值域一定存在交集. 当时，在上单调递增，值域为， 此时与值域不存在交集； 当时，在上单调递减，值域为， 若与的值域存在交集，则，即. 综上，实数的取值范围为. 1.若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用其命题的否定将问题转化为最值问题求解. 【解析】因为存在，使得成立时假命题， 所以对，使得是真命题， 即在恒成立， 令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 故选：D. 2.已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 原命题等价于：任意，使为真命题， 所以，其中 设， 则 函数，的最大值为与中的较大者， 所以，∴，解得， 故选：C. 3.若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【解析】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 4.若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【解析】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 5.已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件构造不等式并求解，再通过分段讨论结合函数单调性求出的取值范围． 【解析】函数，恒成立， 恒成立， 或恒成立， 对于不等式恒成立，即恒成立，此时或， 故只需在上恒成立即可， 当时，恒成立； 当时，，即，令，则在上单调递增，最大值为， ，解得； 当时，，即，令，则在上单调递增，最小值为， ，解得． ． 故选：B． 6.已知函数，若对，都有，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意将问题转化为 在上，再分和两种情况，结合对数函数的单调性，可求出的取值范围. 【解析】当时，在上递增， 因为对，都有， 所以，所以， 所以，解得； 当时，在上递减， 因为对，都有， 所以，所以， 所以，解得； 综上，或， 即的取值范围为， 故答案为：. 7.已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【解析】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 8.已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可. 【解析】，在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，. 在R上单调递减，所以当时，. 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可， 即，解得，即m的取值范围是. 故答案为： 9.已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为_____. 【答案】8 【分析】由题意得到有相同零点，即，结合基本不等式即可求解. 【解析】已知，，当时，函数是增函数，函数是减函数， 所以函数有相同的零点， 否则，存在，与题意矛盾， 从而，即， 所以，等号成立当且仅当时成立， 综上所述，所求为8. 故答案为：8. 10.已知函数，若当时，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将函数写成分段函数形式，分情况讨论函数在上的单调性与最值情况，可得解. 【解析】由已知， 当时，由可知不满足题意，不成立； 当时，，则在上单调递增， 又，所以在上单调递增， 所以， 解得，又，所以； 当时，，此时函数在上单调递增， 且函数在上的值域为，满足题意； 当时，，在上单调递增， 又，所以在上单调递增， 所以， 解得，又，所以， 综上所述. 11.已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】即求的值域是值域的子集 【解析】当时， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的值域为，在上的值域为， 所以在上的值域为， 当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：, 当时，为减函数，在上的值域为，解得：, 当时，为常数函数，值域为，不符合题意； 综上：的取值范围是, 故答案为： 12.设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由结合二次函数的性质得出，进而由奇偶性得出函数的解析式； （2）可化为，即，再由对勾函数的单调性讨论即可. 【解析】（1）因为且的最小值为0，所以，解得 即. 当时，， 即. 故 （2）因为，所以. 所以可化为. 即. 令，构造函数，由对勾函数的单调性可知 该函数在上单调递减，在上单调递增，. 即的最小值为. 当时，函数在上单调递增，此时，不合题意； 当时，函数在上单调递增，此时，不合题意； 当时，令，构造函数， ①若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递增，即，，解得，不合题意； ②若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递减， 在上单调递增. （i）当，即时，， 由，解得，不合题意； （ii）当，即时，， 由，解得，即，满足题意； ③若，该函数在上单调递减，即，由，解得，即满足题意； 综上， 13.已知函数. （1）讨论的奇偶性； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【分析】（1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解； （2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解； （3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围. 【解析】（1）因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，非奇非偶函数. （2）不等式可化为， 即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. （3）对任意时，不等式恒成立， 则有， 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 当时，，所以，所以， 当时，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 14.已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），的最大值为1. 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【解析】（1），不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2）由题意，对任意，存唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； （3）当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $