专题07 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题（六类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题07 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题 （六类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、分参法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型二、法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型三、最值法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型五、利用基本不等式解决恒成立和有解问题 类型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题与集合、常用逻辑用语的融合 压轴专练 类型一、分参法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 分离参数法： 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 例1．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 变式1-1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 类型二、法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 法解决一元二次不等式恒成立 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 注：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. 例2．已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 变式2-1．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 变式2-2．对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 类型三、最值法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 转化为函数的最值： 1 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 例3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 变式3-2．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 变式3-3．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为 . 类型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 例4．已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 变式4-1．对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 变式4-2. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 变式4-3 已知关于的不等式，若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； 类型五、利用基本不等式解决恒成立和有解问题 用基本不等式求最大（小）值： ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 2 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值 S2 ； 注：利用基本不等式研究最值从而解决恒成立和有解问题，应注意基本不等式成立的条件。 例5．（1）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 变式5-1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 变式5-3．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 类型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题与集合、常用逻辑用语的融合 集合、常用逻辑用语中一些问题常常转化为一元二次不等式恒成立和有解问题，常常利用基本不等式求解。 例6．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（    ） A. B. C. D. 2.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4.若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 5.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6.已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 7.（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8.（多选） 下列说法正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 9.（多选）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 10.已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为 ． 11.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 12.设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 13.设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 14.已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题 （六类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、分参法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型二、法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型三、最值法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 类型五、利用基本不等式解决恒成立和有解问题 类型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题与集合、常用逻辑用语的融合 压轴专练 类型一、分参法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 分离参数法： 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 例1．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【解析】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 变式1-1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，，即 ，故问题转化为在上有解， 设，则，，对于 ，当且仅当时取等号， 则，故 ， 故选：A 变式1-2．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解析】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 变式1-3．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【解析】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 类型二、法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 法解决一元二次不等式恒成立 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 注：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. 例2．已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【解析】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 变式2-1．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 变式2-2．对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照，，分类讨论不等式恒成立时的取值范围即可. 【解析】由题得恒成立， 当时，二次函数开口向上， 显然不能恒成立； 当时，得，故不能恒成立； 当时，要使， 则或（舍）. 综上所述，. 故选：B. 变式2-3．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【解析】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 类型三、最值法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 转化为函数的最值： 1 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 例3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【解析】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 变式3-1．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题变为恒成立，再利用基本不等式求解即可； 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立，即恒成立， 令， 因为，，当且仅当即时取等号， 所以， 所以. 故答案为：. 变式3-2．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 变式3-3．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【解析】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故答案为： 类型四、主副元倒置法解决一元二次不等式恒成立和有解问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 例4．已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 【答案】 【分析】（由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【解析】由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 变式4-1．对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【解析】由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 变式4-2. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或. 故选：A 变式4-3 已知关于的不等式，若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】，显然该函数单调，所以只需即可. 【解析】设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. 类型五、利用基本不等式解决恒成立和有解问题 用基本不等式求最大（小）值： ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 2 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值 S2 ； 注：利用基本不等式研究最值从而解决恒成立和有解问题，应注意基本不等式成立的条件。 例5．（1）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值，然后解不等式即得. 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即，然后解不等式即得． 故选：C （2）知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 变式5-1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 变式5-2．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解析】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 变式5-3．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【解析】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 类型六、一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解问题与集合、常用逻辑用语的融合 集合、常用逻辑用语中一些问题常常转化为一元二次不等式恒成立和有解问题，常常利用基本不等式求解。 例6．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【解析】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 变式6-1．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可. 【解析】由题意知，，恒成立， 设函数， 即，恒成立. 则，即， 解得，或. 故选：C. 变式6-2．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【解析】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 变式6-3．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论. 【解析】因为是的必要条件，所以， 所以成立. 令，得在恒成立， 所以，所以， ，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 1.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】命题"，使得"是假命题， 等价于命题"，使得"是真命题. 当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值集合是. 故选：C 2.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【解析】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 3.“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【解析】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 4.若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案. 【解析】由题意不等式对任意正数恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，即实数x的最大值为， 故选：C 5.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由 可得：，则， ， 又，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切恒成立， 的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A 6.已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意，时，，时，， 所以，，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故选：D． 7.（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB 8.（多选） 下列说法正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】ABC 【分析】讨论的取值，结合一元二次不等式恒成立可得的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误. 【解析】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：ABC. 9.（多选）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】当解得：故选项A错误. 若恒成立，则当时，不成立，当时， 解得：则 则整数的取值集合为.故选项B正确， 若不等式对恒成立，则， 则则 故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则则又因为所以 所以对应得两个根设为则 解得： 解得：且则故选项D错误. 故选：ABC. 10.已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【解析】因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 11.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12.设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【解析】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 13.设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【解析】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 14.已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【解析】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $