第05讲 不等式（复习讲义，2考点2题型5重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“不等式”专题，覆盖一元一次不等式（解法、解集数轴表示）、不等式组（解法、整数解）及实际应用等中考核心考点，以“定义-性质-解法-应用”逻辑构建知识网络，通过考情剖析、知识导航、考点解析、真题训练四环节，系统突破系数化1变号、解集确定等难点。 亮点在于“分层突破+真题变式”教学策略，如针对参数问题设计“解集反推参数取值”专题训练，结合近3年中考真题变式题，培养学生运算能力与模型意识。分层练习含基础巩固、能力提升、全国新趋势三级，配合5分钟限时测试，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第二章 方程与不等式 第05讲 不等式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 一元一次不等式 题型01 解一元一次不等式 命题点二 一元一次不等式组 题型01 解一元一次不等式组 05·重难突破·思维进阶 15 突破一 求一元一次不等式的整数解 突破二 求一元一次不等式组的整数解 突破三 由一元一次不等式组的解集求参数 突破四 由不等式组解集的情况求参数 突破五 一元一次不等式组的应用 06·优题精选·练能提分 18 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求（掌握/理解/运用） 一元一次不等式 解法（含不等号方向变化） 2023年（T6） 2024年（T7） 2025年（T6） 掌握一元一次不等式的解法，能正确处理系数化1时不等号方向的变化 解集的数轴表示 2023年（T6） 2025年（T6） 理解不等式解集的意义，能在数轴上准确表示解集（空心/实心圆点、方向） 一元一次不等式组 解法与解集的确定 2023年（T11）2024年（T11）2025年（T11） 掌握不等式组的解法，能根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”确定解集 不等式的实际应用 结合实际情境列不等式（组）求解（方案选择） 2023年（T22）2024年（T22） 运用不等式（组）解决实际问题（如物资分配、方案优化），能验证解的实际合理性 命题预测 2026年上海中考不等式模块命题将延续“题型以选择、填空、计算、应用为主，考点聚焦一元一次不等式（组）的解法、解集数轴表示、实际情境下的方案选择”的特点，侧重运算规范性与实际问题转化能力，可能融入方程、函数的综合应用，强调实际情境中解集的合理性筛选 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 熟练掌握一元一次不等式（组）的解法，标注系数化1时不等号方向变化、数轴表示空心/实心圆点等易错点，训练T6、T11类基础题；2. 按“解法训练→解集表示→实际应用”分层刷题，总结“设变量→找不等关系→列不等式（组）→求解筛选”的应用流程；3. 规避不等号方向漏变、解集确定错误、实际应用忽略取值范围等陷阱，练习不等式与方程、函数的综合题；4. 整理近3年真题归纳命题规律，强化基础题与应用题型的得分率 考点一 一元一次不等式 1．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； 3．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 4．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 5．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 6．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 7．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 1．（2025·上海·期末）“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式、不等式的定义、列代数式 【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式． 【详解】解：x与3的差可表示为：， x与3的差的2倍可表示为：， ∵式子是非负数， ∴， 故选：C． 2．（2025·上海模拟预测）下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的解集，理解不等式的解集的含义是解决问题的关键． 由得出为负数，即可得出答案． 【详解】解：， 为负数， 故选：A． 3．不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式、解集的表示．根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案． 【详解】解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， 故选B． 4．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 5．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【解析】略 6．（2025·上海青浦·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查求不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求解集即可，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：两边都加1，得， 不等式两边都乘以2，得, 故答案为． 7．在一次课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，不答或答错一题扣1分.如果在这次竞赛中得分要超过72分，那么至少应答对 道题. 【答案】21 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设至少应答对题，则由题意得：，求出不等式的解即可． 【详解】解：设至少应答对题，则不答或答错的题为， 由答对得4分，不答或答错都倒扣1分得分为：． 由这次竞赛中得分要超过72分得： ， ， ． 故至少应答对21道题， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单． 考点二 一元一次不等式组 1．一元一次不等式组的定义 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 8．下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不符合题意； C、含有两个未知数，不符合题意； D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答． 9．（25-26九年级上·上海·月考）如果抛物线的开口向上，且其与轴的交点位于轴的下方，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 抛物线开口向上需二次项系数大于零；与y轴交点在x轴下方需常数项小于零．解不等式组得a的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上，则二次项系数，即． 当时，， ∵与轴的交点位于轴的下方， ∴，即． 综上，． 故答案为． 10．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，由题意得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 命题点一 一元一次不等式 ►题型01 解一元一次不等式 易混易错点 1. 系数化为1时忘记变号： 当两边乘/除以一个负数时，不等号方向必须改变（如解，两边除以，得），容易忽略这一点导致解集错误。 2. 移项时忘记变号： 移项是从等号/不等号的一边移到另一边，需改变符号（如解，移项得），若漏变号会导致结果错误。 【典例1】（2025·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为： 【变式1-1】（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解|x|≥a型的不等式、圆和圆的位置关系、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了两圆相交的条件，解绝对值不等式以及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解：的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 【变式1-2】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即：的取值范围是， 故答案为：． 命题点二 一元一次不等式组 ►题型01 解一元一次不等式组 易混易错点 1. 解集公共部分判断错误： 尤其当不等式组的解集是“大小小大中间找”时，容易混淆范围（如一个解集是，另一个是，公共部分是，不要写成）。 2. 解单个不等式时出错： 解单个不等式时，若涉及“系数化为1（乘除负数）”“移项变号”等操作，容易出错，进而导致整个不等式组的解集错误. 【典例2】（2025·上海松江·二模）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为： 【变式2-1】（2025·上海虹口·二模）不等式组的解集是 ： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 【变式2-2】（2025·上海浦东新·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤；先分别求出每个不等式的解集，再根据同小取小即可得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组的解集为：， 故选：． 【变式2-3】（2025·上海杨浦·二模）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别解出两个不等式的解，再归纳不等式组的解集，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，需要分别解两个不等式，再找出它们的解集的公共部分． 【详解】解： 由①，得， 由②，得：， ∴不等式组的解集为． 【变式2-4】（2025·上海闵行·二模）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解①得：， 解②得：， ． 【变式2-5】（2025·上海普陀·二模）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式解集的步骤和方法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，则两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为． 突破一 求一元一次不等式的整数解 【典例1】（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 【变式1-1】不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为 ． 【答案】x＝1． 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】将不等式两边同时除以-2，即可解题 【详解】∵﹣2x＞-4 ∴x＜2 ∴正整数解为：x＝1 故答案为x＝1． 【点睛】本题考查解不等式，掌握不等式的基本性质即可解题. 【变式1-2】解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 【答案】，非负整数解为：，，． 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 非负整数解为：，，． 突破二 求一元一次不等式组的整数解 【典例2】（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为． 【变式2-1】（2025·上海·二模）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可. 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式的解集为：， 其整数解为：． 【变式2-2】解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出两个不等式的解集是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 则原不等式组的正整数解为． 突破三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例3】（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 【变式3-1】若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集是， 故的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式3-2】如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组有4个整数解确定m的取值范围是解题的关键． 先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解即可解答． 【详解】解：∵不等式组的解集是， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴该不等式组的整数解为2，1，0，， ∴． 故选：D． 【变式3-3】若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 突破四 由不等式组解集的情况求参数 【典例4】若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据一元一次不等式组和二元方程组的解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况求出的范围，再将两个方程相加，求出的范围，进而确定整数的值，相乘即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵ ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴整数， ∴； 故答案为：360． 【变式4-1】若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是， ∵不等式组有6个整数解， ∴整数解是2，3，4，5，6，7， ∴m的取值范围是， 故选：D． 【变式4-2】（2023·湖北黄石·中考真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解． 【详解】解：， 由①得，；由②得，； ∵解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键． 突破五 一元一次不等式组的应用 【典例5】（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【答案】(1)A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元． (2)，；或，． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组，代数式求值，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）当，时的实际支付额，依据方案中满减、折扣的规则进行计算即可； （2）分情况讨论t的取值范围：①当时，②当时，根据“选A、B方案没有实际区别”这一条件，建立等式，将n用t表示出来，再根据t的范围确定n的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴A方案的实际支付额为（元）； ∵， ∴B方案的实际支付额为（元）． 答：A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元； （2）①当时，， 解得，， 即， ∴，； ②当时，， 解得，． 综上所述，，；或，． 【变式5-1】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【知识点】不等式组的经济问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 【变式5-2】（2025·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 【变式5-3】（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 38．如果a＞b，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是（    ） A．a＋m＜b＋m B．m﹣a＜m﹣b C．am＞bm D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、如果a＞b，m为非零实数，则a＋m＞b＋m，故A不符合题意； B、如果a＞b，m为非零实数，则m﹣a＜m﹣b，故B符合题意； C、如果a＞b，m为非零实数，则am＞bm不一定成立，只有m＞0时才成立，故C不符合题意； D、如果a＞b，m为非零实数，则不一定成立，只有m＞0时才成立，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键，注意不等号的变化． 39．不等式组的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2， 解不等式6﹣2x＜2，得：x＞2， 则不等式组的解集为x＞2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 40．（2024·上海静安·三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（    ） A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为和 D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、数轴上两点之间的距离 【分析】由数轴可知，解集为，然后根据解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由数轴可知，解集为， A中的解集为，故不符合要求； B中，， 解得，，故不符合要求； C中第三边长的取值范围为，即，故不符合要求； D中， 解得，，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 41．不等式组的解集在数轴上表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】， 解①得：x＞-3， 解②得：x≤2， 故不等式的解集为：-3＜x≤2， 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解． 42．（2025·上海·模拟预测）如果不等式的解集为，那么直线（）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求一元一次不等式的解集 【分析】解不等式（）得，又由不等式的解集为，可得，进而得，代入直线中得，取得，从而可得，定点坐标为． 本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵， ∴， 又∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴直线变为， 当时，， ∴直线（）一定会经过定点． 故答案为：． 43．（2025·上海闵行·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．熟知计算原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 44．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并在数轴上画出解集． 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式解集，分别求出两个不等式的解集，再求公共解集即可，最后在数轴上表示出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 45．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解是，，0，1，2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集和解一元一次不等式组等知识点，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 所以不等式组的整数解是，，0，1，2． 46．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 47．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程．首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵关于的不等式组有且只有2个整数解， ∴， ∴， 解方程得：， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数为和， ∵， ∴符合条件的所有整数的和是， 故选：D． 48．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集 【分析】保留k解方程，得到x的解，再利用解为负数列不等式且分母不为零，求出k的取值范围即可． 【详解】解， 两边同乘得：， ， ， ， 得， 检验得分母不为零， 且， 得且， 即且， 综上且， 故选D． 【点睛】本题考查已知分式方程解的范围求分式方程中参数的取值范围，注意计算时保留参数须将参数看成常数，且分式方程的解需要检验确保分母不为零． 49．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 50．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 由题意可知，存在， ∴，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴且， ∵，， ∴且， 解得． 故答案为：，． 51．（2024·上海长宁·二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值； (3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)x的值是400元； (3)当或时，选择乙商店更合算． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． （1）根据付款y等于原价乘以折扣； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得选择甲商店所需付款为元，选择乙商店当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵所购商品在甲商店按原价打八折销售， ∴； （2）解：设这种商品的原价是元， 则， 解得， 答：x的值是400元； （3）解：这种商品的原价为x元， 则选择甲商店所需付款为：元， 选择乙商店的付款，当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是选择甲商店更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，选择乙商店更合算， ③当时，，解得， 即：当时，选择乙商店更合算， 综上：当或时，选择乙商店更合算． 52．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 53．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 54．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 55．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 56．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 57．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第05讲 不等式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 一元一次不等式 题型01 解一元一次不等式 命题点二 一元一次不等式组 题型01 解一元一次不等式组 05·重难突破·思维进阶 9 突破一 求一元一次不等式的整数解 突破二 求一元一次不等式组的整数解 突破三 由一元一次不等式组的解集求参数 突破四 由不等式组解集的情况求参数 突破五 一元一次不等式组的应用 06·优题精选·练能提分 10 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求（掌握/理解/运用） 一元一次不等式 解法（含不等号方向变化） 2023年（T6） 2024年（T7） 2025年（T6） 掌握一元一次不等式的解法，能正确处理系数化1时不等号方向的变化 解集的数轴表示 2023年（T6） 2025年（T6） 理解不等式解集的意义，能在数轴上准确表示解集（空心/实心圆点、方向） 一元一次不等式组 解法与解集的确定 2023年（T11）2024年（T11）2025年（T11） 掌握不等式组的解法，能根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”确定解集 不等式的实际应用 结合实际情境列不等式（组）求解（方案选择） 2023年（T22）2024年（T22） 运用不等式（组）解决实际问题（如物资分配、方案优化），能验证解的实际合理性 命题预测 2026年上海中考不等式模块命题将延续“题型以选择、填空、计算、应用为主，考点聚焦一元一次不等式（组）的解法、解集数轴表示、实际情境下的方案选择”的特点，侧重运算规范性与实际问题转化能力，可能融入方程、函数的综合应用，强调实际情境中解集的合理性筛选 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 熟练掌握一元一次不等式（组）的解法，标注系数化1时不等号方向变化、数轴表示空心/实心圆点等易错点，训练T6、T11类基础题；2. 按“解法训练→解集表示→实际应用”分层刷题，总结“设变量→找不等关系→列不等式（组）→求解筛选”的应用流程；3. 规避不等号方向漏变、解集确定错误、实际应用忽略取值范围等陷阱，练习不等式与方程、函数的综合题；4. 整理近3年真题归纳命题规律，强化基础题与应用题型的得分率 考点一 一元一次不等式 1．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； 3．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 4．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 5．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 6．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 7．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 1．（2025·上海·期末）“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海模拟预测）下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 3．不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 4．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(   ) A． B． C． D． 6．（2025·上海青浦·二模）不等式的解集是 ． 7．在一次课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，不答或答错一题扣1分.如果在这次竞赛中得分要超过72分，那么至少应答对 道题. 考点二 一元一次不等式组 1．一元一次不等式组的定义 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 8．下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·上海·月考）如果抛物线的开口向上，且其与轴的交点位于轴的下方，那么的取值范围是 ． 10．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 11．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 命题点一 一元一次不等式 ►题型01 解一元一次不等式 易混易错点 1. 系数化为1时忘记变号： 当两边乘/除以一个负数时，不等号方向必须改变（如解，两边除以，得），容易忽略这一点导致解集错误。 2. 移项时忘记变号： 移项是从等号/不等号的一边移到另一边，需改变符号（如解，移项得），若漏变号会导致结果错误。 【典例1】（2025·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ． 【变式1-1】（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 命题点二 一元一次不等式组 ►题型01 解一元一次不等式组 易混易错点 1. 解集公共部分判断错误： 尤其当不等式组的解集是“大小小大中间找”时，容易混淆范围（如一个解集是，另一个是，公共部分是，不要写成）。 2. 解单个不等式时出错： 解单个不等式时，若涉及“系数化为1（乘除负数）”“移项变号”等操作，容易出错，进而导致整个不等式组的解集错误. 【典例2】（2025·上海松江·二模）解不等式组：． 【变式2-1】（2025·上海虹口·二模）不等式组的解集是 ： 【变式2-2】（2025·上海浦东新·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·上海杨浦·二模）解不等式组：． 【变式2-4】（2025·上海闵行·二模）解不等式组 【变式2-5】（2025·上海普陀·二模）解不等式组： 突破一 求一元一次不等式的整数解 【典例1】（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 【变式1-1】不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为 ． 【变式1-2】解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 突破二 求一元一次不等式组的整数解 【典例2】（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【变式2-1】（2025·上海·二模）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【变式2-2】解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 突破三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例3】（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 【变式3-1】若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式3-2】如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 突破四 由不等式组解集的情况求参数 【典例4】若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【变式4-1】若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·湖北黄石·中考真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 突破五 一元一次不等式组的应用 【典例5】（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【变式5-1】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【变式5-2】（2025·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【变式5-3】（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 38．如果a＞b，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是（    ） A．a＋m＜b＋m B．m﹣a＜m﹣b C．am＞bm D． 39．不等式组的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2 40．（2024·上海静安·三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（    ） A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为和 D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的 41．不等式组的解集在数轴上表示为(    ) A． B． C． D． 42．（2025·上海·模拟预测）如果不等式的解集为，那么直线（）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为 ． 43．（2025·上海闵行·模拟预测）不等式组的解集为 ． 44．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并在数轴上画出解集． 45．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 46．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 47．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 48．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 49．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 50．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 51．（2024·上海长宁·二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值； (3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 52．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 53．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 55．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 56．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 57．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $考点一： 元一次不等式 不等式 考点二： 元一次不等式组 考点一： 元一次不等式 不等式 考点二： 元一次不等式组 用">"、"<"、"丰"、"≤"、"≥"表示大小关系的式子 不等式的定义 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式 性质1：a>b→a士m>b士m(加减同数，方向不变) 不等式的性质 性质2：a>b,m>0→am>bm,品>品（来除正数，方向不变） 性质3：a>b,m<0→am<bm,品<品（乘除负数，方向改变） 不等式的解：使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 解集：能使不等式成立的未知数的取值范围 解不等式：求不等式解集的过程 一定界点：实心，点（含于解集）、空心点（不含于解集） 数轴表示解集 两定原则： (定方向：小于向左、大于向右 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式 一元一次不等式的定义 与一元一次方程的区别：用不等号连接而非等号 去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1 解一元一次不等式的步骤 注意：去分母和系数化为1时可能变号 找出不等关系("至少"、"最多"、"不超过"、"不低于"等关键词) 一元一次不等式的应用 设未知数，列不等式 解不等式，检验解的合理性 元一次不等式组的定义 几个含有同一个未知数的一元一次不等式的组合 分别求出每个不等式的解集 解不等式组的方法 找出这些解集的公共部分 可利用数轴直观表示 同大取大 同小取小 解集的确定规律 大小小大中间找 大大小小找不到 利用数轴确定不等式组的解集中的整数 整数解问题 已知解集求字母取值时，注意整数限制条件 分析题意，找出不等关系 设未知数，列出不等式组 解一元一次不等式组的步骤 解不等式组 从解集中找出符合题意的答案 作答 用">"、"<"、"丰"、"≤"、"≥"表示大小关系的式子 不等式的定义 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式 性质1：a>b→a士m>b士m(加减同数，方向不变) 不等式的性质 性质2：a>b,m>0→am>bm,品>品（来除正数，方向不变） 性质3：a>b,m<0→am<bm,品<品（乘除负数，方向改变） 不等式的解：使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 解集：能使不等式成立的未知数的取值范围 解不等式：求不等式解集的过程 一定界点：实心，点（含于解集）、空心点（不含于解集） 数轴表示解集 两定原则： (定方向：小于向左、大于向右 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式 一元一次不等式的定义 与一元一次方程的区别：用不等号连接而非等号 去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1 解一元一次不等式的步骤 注意：去分母和系数化为1时可能变号 找出不等关系("至少"、"最多"、"不超过"、"不低于"等关键词) 一元一次不等式的应用 设未知数，列不等式 解不等式，检验解的合理性 元一次不等式组的定义 几个含有同一个未知数的一元一次不等式的组合 分别求出每个不等式的解集 解不等式组的方法 找出这些解集的公共部分 可利用数轴直观表示 同大取大 同小取小 解集的确定规律 大小小大中间找 大大小小找不到 利用数轴确定不等式组的解集中的整数 整数解问题 已知解集求字母取值时，注意整数限制条件 分析题意，找出不等关系 设未知数，列出不等式组 解一元一次不等式组的步骤 解不等式组 从解集中找出符合题意的答案 作答考点一： 元一次不等式 不等式 考点二： 元一次不等式组 用">"、"<"、"+"、"≤"、"≥"表示大小关系的式子 不等式的定义 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式 性质1：a>b→a士m>b士m(加减同数，方向不变) 不等式的性质 性质2：a>b,m>0今am>bm,品>品（乘除正数，方向不变) m 性质3：a>b,m<0→am<bm,品<品（乘除负数，方向改变） 不等式的解：使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 解集：能使不等式成立的未知数的取值范围 解不等式：求不等式解集的过程 厂定界点：实心点（含于解集)、空心点（不含于解集） 数轴表示解集 两定原则： 儿定方向：小于向左、大于向右 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式 一元一次不等式的定义 与一元一次方程的区别：用不等号连接而非等号 去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1 解一元一次不等式的步骤 注意：去分母和系数化为1时可能变号 找出不等关系("至少"、"最多"、"不超过"、"不低于"等关键词) 一元一次不等式的应用 设未知数，列不等式 解不等式，检验解的合理性 一元一次不等式组的定义 几个含有同一个未知数的一元一次不等式的组合 分别求出每个不等式的解集 解不等式组的方法 找出这些解集的公共部分 可利用数轴直观表示 同大取大 同小取小 解集的确定规律 大小小大中间找 大大小小找不到 利用数轴确定不等式组的解集中的整数 整数解问题 已知解集求字母取值时，注意整数限制条件 分析题意，找出不等关系 设未知数，列出不等式组 解一元一次不等式组的步骤 解不等式组 从解集中找出符合题意的答案 作答