第22章 二次函数 --二次函数与线段、倍角、最值问题2025-2026学年人教版 九年级数学上册期末复习题

第22章《二次函数》期末复习题一二次函数与线段、倍角、最值问题 题型1二次函数与线段问题 重难点一线段最值问题(平行于y轴) 1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和点 A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C. (1)求二次函数的解析式及点C的坐标; (2)点P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作PE⊥X轴于点E, 与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.m为何值时线段PD的长度最大,并求出最大值, 2.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+2(b为常数)经过点(-3,-1),点A的坐标为 (m,m+1),过点A作AB⊥x轴交抛物线于点B,点C为抛物线对称轴上一点,且AC∥x轴, 连接BC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当-3≤x≤1时,y的取值范围是 ; (3)A、B两点之间的距离为d,当d=时,求m的值; (4)已知点P的坐标为(0,1),当直线AP将 ABC的面积分成3:2两部分且m<0时,直接写出m 的值. 3.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. 0 (1)求抛物线的解析式; (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标 为m,请用含m的代数式表示MN的长; (3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点M,使 BNC的面积最大?若存在,求出最大 值及点M的坐标;若不存在,说明理由, 4.如图,直线y=X+2与J项点坐标为(2,0)的抛物线相交于A、B两点,其中点A在y轴上. BL (1)求A、B两点的坐标. (2)点P是线段AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线PC,交抛物线于点Q.设线段PQ长度为S,点 P的横坐标为t,写出s与t之间的函数关系式 (3)t为何值时,线段PQ长度s最大? 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=急2+x+3与轴交于点A和点以A在B的左 侧,与y轴交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点. 0 (1)求直线BC的解析式; (2)过点P作y轴的平行线交BC于点M求线段PM=3时点P的坐标; (3)过P作PM⊥x轴,交BC于M,当PM-CM的值最大时,求P的坐标和PM-CM的最大值. 重难点二线段最值问题(平行于x轴) 6.如图:已知抛物线y=ax2+3x+c的图像过点(0,0)、A(3,0),点P为抛物线在第-象限上 的一动点 (1)求a、c的值; (2)过点P作x轴的平行线交直线y=-x于点Q,求PQ的最大值; (3)点B为抛物线y=ax2+3x+c对称轴上一动点,若 ABP为等边三角形,求点P的坐标. 7.如图,二次函数y=-x2+nx+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B(-2,0). B (1)求二次函数的解析式. (2)若点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点,过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求 线段PC长度的最大值. 8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+V3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点,与y轴交于点C,连接AC,BC C B 备用图 (1)求抛物线的解析式; (2)判定 ABC的形状; (3)点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PM‖x轴交BC于点M,作PN‖AC交BC于点N, 求PM+PN的最大值及此时点P的坐标. 重难点三线段最值问题(斜线) 9.如图1,点A、BC的坐标为分别为(-3,0),(1,0),(0,6),抛物线C1经过这三点. 2 P A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标 (2)点P为射线AC上方抛物线上的一个动点,过P点作射线AC的垂线PE,垂足为E,设P点的 横坐标为m,求PE的最大值. (3)如图2,点D的坐标为(0,3),连接AD,将抛物线C的图象向下平移n个单位,得到抛物线 C,当-≤x≤时,者抛物线C2与直线AD有两个交点,则n的取值范围是 10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2过点(-1,2),且交x轴于点A,B(1,0) 两点,交y轴于点C. B 备用图 (1)求抛物线的表达式; (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点,过点P作PD⊥AC于点D,过点P作y轴的平行线交直线 AC于点E,求PE+DE的最大值及此时点P的坐标 重难点四线段存在倍数关系 11.已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a>0),顶点为(0,0). (1)求b,c的值; (2)若 =1,抛物线与直线L:y=2x+2相交,P为y轴右侧抛物线C上一动点,过P作直线 PN⊥x轴交x轴于点N,交直线L于M点,设P点的横坐标为m,当2PM=PN时,求m的值; (3)已知点P(0,2)、Q(0,4),若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点,且∠AP0=∠BPQ, 求证:直线AB经过一个定点. 12.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标 为(3,0). B B 备用图 (1)求抛物线的解析式; (2)若点P是直线BC上方抛物线上的动点,过点P作直线MN y轴,交x轴于点V,交直线BC 于点M.设点P的横坐标为t,当PN=2PM时,求点P的坐标. 13.如图,抛物线y=x2+bx-3(a≠0)交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,过y轴正半轴上一 点C作x轴的平行线交该抛物线于D,E两点(点D在左侧). B (1)求该抛物线的函数表达式. (2)若DE=3CD,求点E的坐标.