期末专题突破：二次函数专题2025-2026学年人教版数学九年级上册期

人教版数学九年级上册期末专题突破：二次函数专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则所得抛物线的表达式为(    ) A. B. C. D. 2.对于抛物线，下列结论中，错误的是(    ) A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，函数的最大值为 D. 开口向下 3.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.已知抛物线的顶点为，其中，与轴的一个交点为，与轴的交点在和之间下列结论中： ； ；为任意实数； 正确的个数为(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 6.把抛物线向右平移个单位长度，得到新的抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间不包括这两点，对称轴为直线有下列结论： 若点，点是函数图象上的两点，则 ． 其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：；；若，是抛物线上两点，则；，其中正确的有(    ) A. 个B. 个C. 个D. 个 10.小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是(    ) A. 无解 B. C. D. 或 11.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则 D. 关于的方程的所有实数根的和为 12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间单位：分钟近似满足的函数关系为：是常数，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(    ) A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 13.乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为单位：的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积单位：随的变化而变化． 与之间的函数解析式为          写出自变量的取值范围 当          时，这个三角形的面积最大，最大面积是          ． 14.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶拱桥洞的最高点离水面，水面宽建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是          ． 15.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为元，在销售过程中，每天的销售量个与销售价格元个的关系如图所示，当时，其图象是线段，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为          元利润总销售额总成本． 16.已知二次函数与一次函数的图象相交于点和点，则不等式的解集是          ． 17.如图，抛物线  与轴相交于、  两点，与 轴相交于点 ，点在抛物线上，且  与 轴相交于点，过点的直线  平行于 轴，与拋物线相交于、两点，则线段的长为            18.已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解是          ． 19.如果抛物线有最低点，那么的取值范围是          ． 20.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 下列结论：抛物线的开口向下；抛物线的对称轴为直线；抛物线与轴的另一个交点坐标为；函数的最大值为其中正确的是          填序号． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，且，顶点为． 求二次函数的解析式； 点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 探索：线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． 分别求出直线和这条抛物线的解析式； 若点在第四象限，连接，，当线段最长时，求的面积； 是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 23.本小题分 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． 求，，的值 求的面积． 24.本小题分 如图，抛物线与直线交于点． 求抛物线对应的函数解析式，并写出顶点坐标和对称轴； 抛物线与直线交于，两点点在点的右侧，连接，，求的面积； 若为直线上方抛物线上的一点，且，求点的坐标． 25.本小题分 某企业投资万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利万元，但使用年后生产线报废该生产线投产后，从第年到第年的维修、保养费用累计为万元，且，若第年的维修、保养费为万元，第年的为万元． 求的值； 小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利万元你认为这个判断正确吗？请说明理由． 26.本小题分 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为元千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量千克与销售单价元千克的函数关系如图所示： 求与的函数解析式也称关系式； 求这一天销售西瓜获得的利润的最大值． 27.本小题分 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是元．超市规定每盒售价不得少于元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，每盒售价每提高元，每天要少卖出盒． 试求出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式； 当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？ 为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于元．如果超市想要每天获得不低于元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：将抛物线向右平移个单位可得，再向上平移个单位可得， 故选：． 根据二次函数图象的平移规律解答即可． 本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系． 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系，由图象可得当时，，当时，，即可解答． 【解答】 解：由抛物线的开口向上知， 对称轴位于轴的右侧， ． 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故错误； 对称轴为，得，即，故错误； 如图，当时，，，故正确； 当时，， ，即，故正确． 综上所述，有个结论正确． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的性质，函数图象对称性的运用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系． 根据二次函数图象开口方向，与轴交点的位置可判断错误，根据对称性可判断正确，根据二次函数的最值可判断正确，根据，，的关系及不等式的性质可判断正确． 【解答】 解：由题意得：， 与轴的交点在和之间， ， ，故错误； 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴是：直线， 与轴的一个交点为， 与轴的另一个交点为， ，故正确； 抛物线的开口向下，且顶点为， 为任意实数， 为任意实数，故正确； 抛物线的对称轴是：直线， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 所以正确的结论有，共个． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出． 【解答】 解：二次函数其中是自变量， 对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ， 时，的最大值为， 时，， ， ，或不合题意舍去． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标是． 则该抛物线向右平移个单位长度后的顶点坐标是， 所以所得新抛物线的解析式是． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 根据各选项图象判断的取值范围求解． 本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 【解答】 解：选项A：直线经过第二，四象限，则；抛物线开口向上，则，不符合题意． 选项B：直线经过第二，四象限，则；抛物线开口向下，则，抛物线与轴交点在轴下方，则，即，不符合题意． 选项C：直线经过第一，三象限，则；抛物线开口向上，则，抛物线与轴交点在轴下方，则，即，符合题意． 选项D：直线经过第一，三象限，则；抛物线开口向下，则，不符合题意． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：由抛物线的开口方向可知， 又对称轴为直线， ， 由抛物线与轴的交点可知， ，故正确． 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另外一个交点为， 时，， ，故正确． 点关于直线的对称点的坐标为，， ，故正确． ， ． 时，， ， ． ， ，故正确． 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系． 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，则可对进行判断；根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，则，于是可对进行判断；通过点和点离对称轴的远近对进行判断；由于时，，则得到，则可对进行判断． 【解答】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则，所以正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以正确； 点离对称轴的距离与点离对称轴的距离相等， ，所以正确； 时，， ，所以错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 由是函数图象和轴的交点，解得：可判断、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确． 【解答】 解：是函数图象和轴的交点， ，解得：， ， 故A、B错误； 如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有条直线， 故C错误； 关于的方程，即或， 当时，， 当时，， 关于的方程的所有实数根的和为， 故D正确， 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 将、、代入函数关系中，可得函数关系式为：，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论． 【解答】 解：将、、代入函数关系式中， ， 解得， 所以函数关系式为：， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： ， 则加工煎炸臭豆腐的最佳时间为分钟． 13.【答案】【小题】 【小题】     【解析】 略  略 14.【答案】  【解析】解：水面与抛物线的交点坐标是， 设函数的解析式是， 则， 解得， 则函数的解析式是． 故答案是：． 抛物线的顶点是原点，则可以设函数的解析式是，然后求得水面与抛物线的交点，利用待定系数法即可求解． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，求得水面与抛物线的交点是关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润单价商品利润销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润单价商品利润销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【解答】 解：当时，设，把，代入可得： ， 解得， 每天的销售量个与销售价格元个的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为元， ， ， 当时，有最大值为， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：根据题意画出函数大致图象如图， 观察函数图象知，当时，抛物线在直线的上方，即， 不等式的解集是． 故答案为：． 此题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想是解题的关键． 根据题意画出函数大致图象，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的的取值范围即可． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点，的坐标是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，，，的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点，的坐标，进而可求出线段的长． 【解答】 解：当时，， 解得：，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为． 当时，， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为， ． 故答案为． 18.【答案】，  【解析】解：由图象可得， 抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为， 该抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，对应的的值是，， 故答案为：， 根据函数图象，可以得到抛物线的的对称轴与轴的一个交点，根据二次函数对称轴的性质，从而可以写出另一个交点，即可得到当时对应的的值，即方程的解． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是写出抛物线与轴的交点坐标． 19.【答案】  【解析】解：抛物线有最低点， ， 即． 故答案为 由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定的范围 本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础． 20.【答案】  【解析】解：由表可知，抛物线经过点和， 对称轴为，故对；在对称轴左侧， 随的增大而增大， 开口向下，故对；由对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为， 故错；设抛物线为， 抛物线经过点， ， ， ， 时，的最大值为，故对． 21.【答案】解：， ， ，解得 二次函数的解析式为． ，，， 设直线的解析式为， 则有解得 直线的解析式为， 轴，， 点的坐标为， ． 不妨设， 则，， ， 当时，， 解得，舍去 此时 当时，， 解得，舍去， 此时 当时， 解得，此时 综上所述：线段上存在点，，使为等腰三角形．  【解析】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法． 可根据、的长得出、两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 可将四边形分成直角三角形和直角梯形两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出点的坐标，即可得出三角形直角边的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出与的函数关系式． 先根据抛物线的解析式求出的坐标，进而可得出直线的解析式，据此可设出点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出、、的长，然后分三种情况进行讨论：；；根据上述三种情况即可得出符合条件的点的坐标． 22.【答案】【小题】 解：把代入，得 解得所以抛物线的解析式是； 设直线的解析式是，把代入， 得解得 所以直线的解析式是； 【小题】 解：设点的坐标是，则， 点在第四象限， ， 当时，取得最大值，此时； 【小题】 解：存在，理由如下：， 当时，点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ， 当时，方程无实数根；当时，解得． 综上所述，点的横坐标是或．   【解析】 见答案  见答案  见答案 23.【答案】解：把点的坐标代入中，得， ． 二次函数是． 把点的坐标代入中，得， ． 把和的坐标分别代入中， 得解得 ，，． 由知，令， 则， ． ． ， ， ．   【解析】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数即可求得，的值； 利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 24.【答案】【小题】 将代入，得将代入，得，解得．抛物线对应的函数解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴  【小题】 令，解得，当时，；当时，．，．  【小题】 过点作，交抛物线于点，连接，此时，易知直线对应的函数解析式为联立解得点的坐标为，点的坐标为   【解析】 略  略  略 25.【答案】【小题】 解：由题意，得当时，，当时，，分别代入， 得，解得． 【小题】 错误理由如下：设第年到第年的总赢利为万元，则 ，由于当时，随的增大而增大，故当时，，当时，，即第年可收回投资；当时，，即报废前不能赢利万元．小敏同学的判断错误．   【解析】 略  略 26.【答案】解： 当时，设与的关系式为 根据题意得，解得 当时， 故与的函数解析式为： 由已知得： 当时， ，抛物线的开口向下 时，取最大值， 当时， 随的增大而增大 时取得最大值， 综上所述，当销售价格为元时，取得最大利润，最大利润为元．  【解析】根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得与的函数解析式； 根据总利润每千克利润销售量，列出函数关系式，配方后根据的取值范围可得的最大值． 本题主要考查的是待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键； 27.【答案】解：由题意得，； ， ，，开口向下， 当时，元， 即当每盒售价定为元时，每天销售的利润元最大，最大利润是元． 由题意，得， 解得，． 抛物线的开口向下， 当时，每天销售粽子的利润不低于元的利润． 又， ． 在中，， 随的增大而减小， 当时，， 即超市每天至少销售粽子盒．  【解析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润一盒粽子所获得的利润销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围． 根据“当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，每盒售价每提高元，每天要少卖出盒”即可得出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式； 根据利润一盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； 先由中所求得的与的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于元，且每天销售粽子的利润不低于元，求出的取值范围，再根据中所求得的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $