专题05 二次函数的综合应用3大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 二次函数的综合应用 一 、实际应用核心公式与模型 利润问题： 总利润 = 单个利润×销售量 = （售价 - 成本）×销售量 常见销售量关系：售价每上涨元，销售量减少件（或反之），设初始售价为，初始销售量为，则销售量（） 几何面积问题： 矩形面积：设一边长为，另一边长为（为周长或篱笆总长），则面积 三角形面积：结合动点问题，用坐标表示底和高，面积公式，转化为二次函数求最值 运动轨迹问题（竖直上抛）： 高度公式：（通常取，简化为） 其中为初始速度，为运动时间，为高度，最大值对应顶点纵坐标 二、二次函数综合题解答策略 （1）解析式求解策略 选对表达式形式： 已知三点坐标：优先用一般式，列三元一次方程组求解 已知顶点和一点：优先用顶点式，代入顶点和点坐标求 已知与轴交点和一点：优先用交点式，代入交点和点坐标求 待定系数法步骤： 设：根据条件设合适的函数表达式 代：将已知点坐标代入表达式，列出方程（组） 解：解方程（组）求出系数的值 写：将系数代入表达式，写出最终解析式 （2）最值问题解答策略 无区间限制（整个定义域）： 直接用顶点式或最值公式，顶点纵坐标即为最值，横坐标为取得最值时的自变量值 有区间限制（如）： 第一步：求对称轴 第二步：判断对称轴是否在区间内： 若对称轴在区间内（），则顶点纵坐标为最值 若对称轴在区间左侧（），则根据增减性，区间端点、对应的值为最值（时最小，最大；时反之） 若对称轴在区间右侧（），则根据增减性，区间端点、对应的值为最值（时最大，最小；时反之） （3）与几何图形综合（如三角形、四边形面积）策略 坐标法： 设动点坐标（如抛物线上动点） 用坐标表示线段长度（水平线段：，垂直线段：） 利用面积公式列函数关系式，转化为二次函数求最值或特定值 割补法： 对于不规则图形，将其分割为规则图形（如三角形、矩形），分别求面积再求和 或用大图形面积减去小图形面积，简化计算 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次函数的实际应用 1. 长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（　　） A．w＝（99﹣x﹣50）（200+2x） B．w＝（x﹣50）（200+2x） C．w＝（99﹣x﹣50）[200+2（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）] 【答案】D 【解析】∵每盒利润：（x﹣50）元，售价下降：（99﹣x）元， 销售量增加：2（99﹣x）盒， ∴销售量：200+2（99﹣x）盒， ∴每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，w与x之间的函数为w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）]． 故选：D． 2. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．已知抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A，B两点之间的距离是（　　） A．dm B．2dm C．4dm D．2dm 【答案】D 【解析】∵点A到x轴的距离是0.6dm， ∴令y＝0.6，则﹣0.2x2+1＝0.6， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点A到y轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称， ∴，故选：D． 3. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为y＝﹣0.6x2；乙：点C到AD的距离为1.8m．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m， ∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0）， ∴点E的坐标为（0，0.6）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），将点E的坐标代入得： a（0+1）×（0﹣1）＝0.6， 解得：a＝﹣0.6，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8，∴点C到AD的距离为1.8m．故乙对． 故选：C． 4. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系的部分数据如下表： t/s 0 2 3 6 … h/m 0 … 则该运动员踢出的足球在第 　　 s落地． 【答案】8 【解析】所以设抛物线的解析式为y＝ax）2+bx+c， 将（0，0）（0，0）（2，）（6，）代入得 ， 解得a，b＝1，c＝0， 所以抛物线的解析式为yx2+x， 当y＝0时，x2+x＝0， 解得x＝0或x＝8， 所以该运动员踢出的足球在第8s落地，故答案为：8． 题型二 二次函数与几何变换类 5. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 【答案】B 【解析】令x＝0，得：y＝b． ∴C（0，b）． 令y＝0，得：ax2+b＝0， ∴x＝±， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB＝2，BC． 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC， ∴2． ∴4×（）＝b2， ∴ab＝﹣3． ∴a，b应满足关系式ab＝﹣3． 故选：B． 5. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　　 （点C'不与点A重合）． 【答案】（2，﹣3）或（，） 【解析】令0，解得：x＝﹣1或4，则函数的对称轴为x， 当x＝5时，则3， 即点C（5，3）； （1）当点A′、D′在抛物线上时，如图， 由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x， 则点D′的横坐标为2， 当x时，， 则点D′（，）， 设点C′为（x，y）， 由中点坐标公式得：5+x且3+y， 解得：x，y， 即点C′的坐标为：（，）； （2）当C′D′在抛物线上时， 设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2）， 由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C， 则点D′（m+2，m2m﹣2+3）， 将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m﹣2+3（m+2）2（m+2）﹣2， 解得：m＝2， 则点C′的坐标为：（2，﹣3）； （3）当A′、C′在抛物线上时， 设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2）， 由点A向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C， 则点A′（m+6，m2m﹣2+3）， 将点A′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m﹣2+3（m+6）2（m+6）﹣2， 解得：m＝﹣1， 则点C′的坐标为：（﹣1，0）， 该点和点A重合，故舍去； 综上，点C′的坐标为：（2，﹣3）或（，）， 故答案为：（2，﹣3）或（，）． 题型三 二次函数的性质探究类 6.已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数． （1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴； （2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣0）（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣2a）+x（x﹣2a）＝3x2﹣6ax+2a2， ∴抛物线对称轴为直线， ∵3＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小， ∴a≥1， ∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴1≤a≤3； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上， ∴y1＝a（a﹣a）+（a﹣a）（a﹣b）+a（a﹣b）＝a2﹣ab， y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）＝3x2﹣2（a+b）x+ab， ∴ ， ； ∵y1+my2+y3＝0， ∴， 整理得：， ∵a，b为两个不相等的实数， ∴a﹣b≠0， ∴，解得：m＝4． 1. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距AB的水平距离为1m，距离地面2m，灯罩D与点C的水平距离为1.2m，在图中建立平面直角坐标系xOy．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为1.28m A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】C 【解析】灯柱，C为抛物线支架的最高点，距AB的水平距离为1m，距离地面2m，灯罩D与点C的水平距离为1.2m，则：由题意可得，C（1，2），点D横坐标为1+1.2＝2.2， ∴设落地灯抛物线部分的解析式为y＝a（x﹣1）2+2， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴落地灯抛物线部分的解析式为．故嘉嘉的说法正确． 把x＝2.2代入抛物线，得 ， ∴点D的坐标为（2.2，1.28）， ∴灯罩D距地面的高度为1.28m．故淇淇的说法正确．故选：C． 2. 如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E， 当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（1，0），E（3，0）， ∴BE＝2， ∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE， ∴CD＝2， 点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF， ∴AF＝2， ∴AF＝CD， ∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上， ∴CD∥AF，BC＝CE， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝CF+CE≥EF， ∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小， 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（0，3）， 由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1， ∴F（0，1）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为， 在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线， 要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足， 解得：， ∴，故选：C． 3. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确 【答案】A 【解析】如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴， 解得． ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5， ∴M（﹣3，5）． ∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小． 如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）． 设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则， 解得， 故该直线的解析式为y＝x+2． 当x＝0时，y＝2，即P（0，2）． 同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（，0）． 如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长； 所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小． 综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．故选：A． 4. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），C的坐标为（0，）．则经过点D的“蛋圆”切线的解析式是　 ． 【答案】y＝﹣2x﹣3 【解析】∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），C的坐标为（0，）， ∴半径CM2， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵抛物线过点A、B， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 又∵抛物线过点D（0，﹣3）， ∴﹣3＝a•1•（﹣3），即a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∵经过点D的“蛋圆”切线过D（0，﹣3）点， ∴设它的解析式为y＝kx﹣3， 又∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝kx﹣3相切， ∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣3，即x2﹣（2+k）x＝0只有一个解， ∴Δ＝（2+k）2﹣4×0＝0， 解得：k＝﹣2， 即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝﹣2x﹣3． 故答案为：y＝﹣2x﹣3． 5. 如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径OA＝12m，顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为　　 m． 【答案】 【解析】由题意得：抛物线的顶点坐标为C（4，6），点A的坐标为A（12，0）， 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+6（a≠0）， 将点A（12，0）代入得：（12﹣4）2a+6＝0， 解得， 则二次函数的解析式为， 将x＝0代入得：， 即， 所以大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为， 故答案为：． 1. 如图，直线y与y轴交于点A，与直线y交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1 【答案】A 【解析】∵将y与y联立得：，解得：． ∴点B的坐标为（﹣2，1）． 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）． ∵将x＝h，y＝k，代入得y得：h＝k，解得k， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2h． 如图1所示：当抛物线经过点C时． 将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2h得：h2h＝0，解得：h1＝0，h2． 如图2所示：当抛物线经过点B时． 将B（﹣2，1）代入y＝（x﹣h）2h得：（﹣2﹣h）2h＝1，整理得：2h2+7h+6＝0，解得：h1＝﹣2，h2． 综上所述，h的范围是﹣2≤h． 故选：A． 2. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【解析】（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 3. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　（1.6）　 m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【解析】（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系， 则A（0，2.4），D（1.6，1.6）， 设直线AD的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴扣杀球击球路线的函数表达式为yx+2.4； 设网前吊球击球路线的函数表达式为y＝ax2+2.4， ∴1.6＝a×1.62+2.4， ∴a， ∴网前吊球击球路线的函数表达式为yx2+2.4； （2）令y＝0，则x2+2.4＝0， ∵x＞0， ∴x， ∴E（，0）， ∴OE（m）， ∴CE＝OE﹣OC＝（1.6）m． 故答案为：（1.6）； （3）对于yx+2.4，令y＝0，则x+2.4＝0， ∴x＝4.8， ∴F（4.8，0）， ∴OF＝4.8， ∴AF5.52（m）， ∵扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s， ∴0.15（秒） ∵0.15＜0.5， ∴乙不能接到扣杀球的击球． ∵从A点击球，击球点是抛物线的最高点， ∴2.4＝5t2， ∵t＞0， ∴t＝0.68， ∵0.68＞0.5， ∴乙能接到网前吊球的击球． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 二次函数的综合应用 一 、实际应用核心公式与模型 利润问题： 总利润 = 单个利润×销售量 = （售价 - 成本）×销售量 常见销售量关系：售价每上涨元，销售量减少件（或反之），设初始售价为，初始销售量为，则销售量（） 几何面积问题： 矩形面积：设一边长为，另一边长为（为周长或篱笆总长），则面积 三角形面积：结合动点问题，用坐标表示底和高，面积公式，转化为二次函数求最值 运动轨迹问题（竖直上抛）： 高度公式：（通常取，简化为） 其中为初始速度，为运动时间，为高度，最大值对应顶点纵坐标 二、二次函数综合题解答策略 （1）解析式求解策略 选对表达式形式： 已知三点坐标：优先用一般式，列三元一次方程组求解 已知顶点和一点：优先用顶点式，代入顶点和点坐标求 已知与轴交点和一点：优先用交点式，代入交点和点坐标求 待定系数法步骤： 设：根据条件设合适的函数表达式 代：将已知点坐标代入表达式，列出方程（组） 解：解方程（组）求出系数的值 写：将系数代入表达式，写出最终解析式 （2）最值问题解答策略 无区间限制（整个定义域）： 直接用顶点式或最值公式，顶点纵坐标即为最值，横坐标为取得最值时的自变量值 有区间限制（如）： 第一步：求对称轴 第二步：判断对称轴是否在区间内： 若对称轴在区间内（），则顶点纵坐标为最值 若对称轴在区间左侧（），则根据增减性，区间端点、对应的值为最值（时最小，最大；时反之） 若对称轴在区间右侧（），则根据增减性，区间端点、对应的值为最值（时最大，最小；时反之） （3）与几何图形综合（如三角形、四边形面积）策略 坐标法： 设动点坐标（如抛物线上动点） 用坐标表示线段长度（水平线段：，垂直线段：） 利用面积公式列函数关系式，转化为二次函数求最值或特定值 割补法： 对于不规则图形，将其分割为规则图形（如三角形、矩形），分别求面积再求和 或用大图形面积减去小图形面积，简化计算 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次函数的实际应用 1. 长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（　　） A．w＝（99﹣x﹣50）（200+2x） B．w＝（x﹣50）（200+2x） C．w＝（99﹣x﹣50）[200+2（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）] 2. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．已知抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A，B两点之间的距离是（　　） A．dm B．2dm C．4dm D．2dm 3. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为y＝﹣0.6x2；乙：点C到AD的距离为1.8m．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 4. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系的部分数据如下表： t/s 0 2 3 6 … h/m 0 … 则该运动员踢出的足球在第 　　 s落地． 题型二 二次函数与几何变换类 5. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 5. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　　 （点C'不与点A重合）． 题型三 二次函数的性质探究类 6.已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数． （1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴； （2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 1. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距AB的水平距离为1m，距离地面2m，灯罩D与点C的水平距离为1.2m，在图中建立平面直角坐标系xOy．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为1.28m A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 2. 如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 3. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确 4. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），C的坐标为（0，）．则经过点D的“蛋圆”切线的解析式是　 ． 5. 如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径OA＝12m，顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为　　 m． 1. 如图，直线y与y轴交于点A，与直线y交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1 2. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 3. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　　 m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $