必刷题七 函数的基本性质、幂函数、函数的应用(一)-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题七 函数的基本性质、幂函数、函数的应用(一) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数的单调性 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 ( ) A.y= 1x+1 B.y=2x-1 C.y=-|x| D.y=x2-3x 2.(多选)定义在区间[-5, 5]上的函数y=f(x)的图 象如图所示,则下列关于 函数f(x)的说法正确的 是 ( ) A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 函数单调性的简单应用 3.定义在 R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R (x1≠x2),有 f(x2)-f(x1) x2-x1 <0,若a+b≤0,则 有 ( ) A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 4.已知f(x)= (3a-1)x+4a,x<1, -x+1,x≥1 是定义在R 上的减函数,那么a的取值范围是 . 函数的最大值、最小值 5.若函数y=x2+2x+2在闭区间 [m,1]上有最 大值5,最小值1,则m 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.[-1,+∞) C.[-3,0] D.[-3,-1] 类型一 二次函数的最值 【例1】 求函数y=x2-2ax-1在区 间[0,2]上的最值. 【关键技巧】 (1)二次函数在闭区间 上的最值主要有三种类型:轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪 种类型,解决的关键是考察对称轴与 区间的关系,当含有参数时,要依据 对称轴与区间的关系进行分类讨论. (2)二次函数的单调性问题则主要依 据二次函数图象的对称轴进行分类 讨论求解. (3)对于二次函数f(x)=a(x-h)2 +k(a>0)在区间[m,n]上的最值可 作如下讨论: 对称轴x=h与 [m,n]的 位 置 关系 f(x)的单调性 最大值 最小值 h<m 在[m,n]上单 调递增 f(n) f(m) h>n 在[m,n]上 单调递减 f(m) f(n) m≤h ≤n m≤h <m+n2 h=m+n2 m+n 2 <h≤n 在[m,h]上 单调递减,在 (h,n]上单调 递增 f(n) f(m)或 f(n) f(m) f(h) 【解】 y=(x-a)2-1-a2.当a<0 时,[0,2]是函数的递 增 区 间,如 图 ①.故函数在x=0处取得最小值- 1,在x=2处取得最大值3-4a. 当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②) 知,函数在x=a处取得最小值-a2- 1,在x=2处取得最大值3-4a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 6.已知f(x)=x2+bx+4,且f(1+x)=f(1- x),则f(-2),f(2),f(3)的大小关系为( ) A.f(-2)<f(2)<f(3) B.f(-2)>f(2)>f(3) C.f(2)<f(-2)<f(3) D.f(2)<f(3)<f(-2) 函数的 奇偶性 7.(多选)下列说法不正确的是 ( ) A.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称, 那么这个函数为奇函数 B.如果一个函数为偶函数,那么它的定义域关 于坐标原点对称 C.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称, 那么这个函数为偶函数 D.如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这 个函数为奇函数 8.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)= m,则f(5)+f(-5)的值为 ( ) A.4 B.0 C.2m D.-m+4 9.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2 ∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2) -f(x1)]>0,则 ( ) A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2) 幂函数 10.(多选)若一个函数f(x)在其定义域内对任意 x,y都满足f x+y2 ≤12[f(x)+f(y)],则称 这个函数为下凸函数.有下列函数:①f(x)= 2;②f(x)=x3;③f(x)= 1x2 ;④f(x)= x,x<0, 2x,x≥0. 其中是下凸函数的有 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 11.若(3-2m) 1 2>(m+1) 1 2,则实数m 的取值范 围为 . 当1<a≤2时,结合图象(如图③) 知,函数在x=a处取得最小值-a2 -1,在x=0处取得最大值-1. 当a>2时,[0,2]是函数的递减区间, 如图④.函数在x=0处取得最大值 -1,在x=2处取得最小值3-4a. 综上,当a<0时,函数在区间[0,2] 上的最小值为-1,最大值为3-4a; 当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的 最小值为-a2-1,最大值为3-4a; 当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上 的最小值为-a2-1,最大值为-1; 当a>2时,函数在区间[0,2]上的最 小值为3-4a,最大值为-1. 类型二 函数奇偶性与单调性的综合 应用 【例2】 已知定义在(-1,1)上的奇函 数f(x)=ax+bx2+1 是增函数,且f 12 =25. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0. 【关键技巧】 函数的奇偶性与单调 性是函数的两个重要性质,在解答数 学问题时,要善于应用函数的观点, 挖掘函数的奇偶性和单调性,并注意 奇偶性与单调性的相互关系.即:若 y=f(x)为奇函数,则y=f(x)在关 于原点对称的区间上若单调,则单调 性相同.若y=f(x)为偶函数,则y =f(x)在关于原点对称的区间上若 单调,则单调性相反. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 函数的应用(一) 12.(多选)某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式 是月租20元,B 种方式是月租0元.一个月的本地网 内通话时间t(min)与电话费s(元)的函数关系如图所 示,关于这两种方式的电话费分析正确的是 ( ) A.通话时间t<100时,易选择B 种方式 B.通话时间t>100时,易选择A 种方式 C.通话时间t=150时,选择A 种方式比选择B 种方 式多花10元 D.通话时间t=150时,选择A 种方式比选择B 种方 式少花10元 13.以每秒am的速度从地面垂直向上发射子弹,ts后的 高度xm可由x=at-4.9t2 确定,已知5s后子弹高 245m,则子弹保持245m以上(含245m)高度共有 ( ) A.4s B.5s C.6s D.7s 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)= f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-23. (1)求证:f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值. 【解】 (1)因 为 f(x)= ax+b x2+1 是 定 义 在(-1,1)上 的奇函数,所以f(0)=0,得 b=0.又因为f 12 =25,则 1 2a 1 2 2+1= 2 5⇒a=1 ,所以 f(x)= xx2+1 . (2)因为定义在(-1,1)上的 奇函 数 f(x)是 增 函 数,由 f(t-1)+f(2t)<0得f(t -1)<-f(2t)=f(-2t), 所以有 -1<t-1<1, -1<-2t<1, t-1<-2t, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 0<t<2, -12<t< 1 2 , t<13 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即0<t<13. 故不等式f(t-1)+f(2t)< 0的解集为 t|0<t<13 . 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 2.已知f(x)=x+kx (k>0). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当k=4时,判断并证明函数f(x)在(0,2]上的单 调性,并求其值域. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2024·上海卷)已知f(x)=x3+a,x∈R,且f(x)是 奇函数,则a= . 2.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函 数,则a= ( ) A.-1 B.0 C.12 D.1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— (3)当点 M 位于点G 的右侧时, 由于AM=x,DM=MN=2a-x, ∴y=S梯形ABCD -S△MDN = 1 2 ·a 2 (2a+a)-12 (2a-x)2=3a 2 4 - 1 2 (4a2-4ax+x2)=-12x 2 +2ax-5a 2 4 3 2a<x≤2a . 综上,y= 1 2x 2,0≤x≤a2 , 1 2ax- a2 8 ,a 2<x≤ 3 2a , -12x 2+2ax-5a 2 4 ,3 2a<x≤2a. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 刷真题·满分 1.B 赋值法 因为当x<3时,f(x)=x,所以 f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x -2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1= 3;令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依 次类推,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6) >f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6)+f(5) >13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13= 34;f(9)>f(8)+f(7)>34+21=55;f(10)> f(9)+f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+ f(9)>89+55=144;f(12)>f(11)+f(10)> 144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)>233+ 144=377;f(14)>f(13)+f(12)>377+233= 610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987; ….显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故 选B. 2.解析: 因为f(x)= x ,x>0 1,x≤0 ,故f(x)= 3. 故答案为:3. 答案:3 必刷题七 函数的基本性质、幂函数、 函数的应用(一) 刷考点·保分 1.B A中函数在区间(0,+∞)上是减函数;B中 函数在区间(0,+∞)上是增函数;C中函数在 区间(0,+∞)上是减函数;D中函数对称轴是x = 32 ,所 以 函 数 在 0,32 上 为 减 函 数,在 3 2 ,+∞ 上为增函数. 2.ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调 区间时,不能用“∪”连接.故C错误. 3.D 由题意知,f(x)在 R 上为减函数.由题意 知,a≤-b,b≤-a,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥ f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 4.解析:3a-1<0 , (3a-1)+4a≥-1+1, 得17≤a<13. 答案:1 7 ,1 3 5.D 函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1,所以图 象开口向上,对称轴是x=-1,最小值为1,要 使函数值为5,需x=1或x=-3,所以m 的取 值范围是[-3,-1]. 6.D ∵f(x)=x2+bx+4,且f(1+x)=f(1-x), ∴f(x)图象开口向上且关于x=1对称, ∴f(x)在[1,+∞)上递增,而f(-2)=f(1- 3)=f(1+3)=f(4), ∴f(2)<f(3)<f(4)=f(-2). 7.ACD 本 题 考 查 函 数 奇 偶 性 的 定 义 及 图 象 特征. 8.A 由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+ 2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57- b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55 +c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+ f(-5)=4-m+m=4. 9.C 因为对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2), 都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,故f(x) 在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.又因 为f(x)是偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调 递减,且满足n∈N*时,f(-2)=f(2),由3>2 >1>0,得f(3)<f(-2)<f(1). 10.AD 本题既可用定义来判断,也可由函数的 图象直接求解,得(1)(4)满足定义. 11.解析:因为y=x 1 2在定义域[0,+∞)上是增函 数,所以 3-2m≥0, m+1≥0, 3-2m>m+1. 解得-1≤m<23. 故m 的取值范围是 -1,23 . 答案:-1,23 12.ABD 依题意可设SA(t)=20+kt,SB(t)= mt.又SA(100)=SB(100), ∴100k+20=100m,得k-m=-0.2,∴SA(t) -SB(t)=20+(k-m)t=-0.2t+20, ∴t<100时,SA(t)>SB(t),易选择 B 种方 式;t>100时,SA(t)<SB(t),易 选 择 A 种 方式; t=150时,SA(150)-SB(150)=20+150k- 150m=20+150×(-0.2)=-10,即选择 A 种方式比选择B 种方式少花10元. 13.B 已知x=at-4.9t2,由条件t=5s时,x= 245m,得a=73.5,所以x=73.5t-4.9t2,子 弹保持在245m以上(含245m),即x≥245, 所以73.5t-4.9t2≥245,解得5≤t≤10.因此, 子弹保持在245m以上的高度有5s. 刷综合·高分 1.(1)证明:令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0), ∴f(0)=0. 又令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)= f(0)=0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— ∴f(-x)=-f(x). 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). ∵x2-x1>0,依题设x>0时,有f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x2)<f(x1). ∴y=f(x)在R上是减函数. (2)解:∵[-3,3]⫋R,故f(x)max=f(-3), f(x)min=f(3).由(1)可知f(-3)=-f(3). 又f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+ f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3× -23 =-2, ∴f(-3)=-f(3)=2, ∴f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2. 2.解:(1)函数f(x)=x+kx (k>0)为奇函数,理 由如下:由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞),它关于原点对称, 对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(-x)=-x-kx=-f (x), ∴f(x)是奇函数. ∵f(-1)=-(k+1),f(1)=k+1,k>0, ∴f(-1)≠f(1),∴f(x)不是偶函数, ∴f(x)是奇函数,不是偶函数. (2)函数f(x)=x+4x 在(0,2]内是减函数. 证明如下:任取x1,x2∈(0,2],且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+ 4 x1 -x2- 4 x2 =(x1-x2) + 4(x2-x1) x1x2 =(x1-x2)1- 4 x1x2 =x1-x2x1x2 (x1x2-4). ∵0<x1<x2≤2,∴x1-x2<0,0<x1x2<4, ∴x1x2-4<0. ∴f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x1)>f(x2), 因此,函数f(x)=x+4x 在(0,2]内是减函数. ∵f(2)=4,∴函数的值域为[4,+∞). 刷真题·满分 1.解析:通解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)= -f(x),即(-x)3+a=-(x3+a),得a=0. 优解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=a=0. 答案:0 2.B 通解:设g(x)=ln2x-12x+1 ,易知g(x)的定义 域为 -∞,-12 ∪ 12,+∞ ,且g(-x)=ln -2x-1 -2x+1=ln 2x+1 2x-1=-ln 2x-1 2x+1=-g (x),所 以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为 偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0, 故选B. 优解:因为f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数, f(-1)=(a-1)ln3,f(1)=(a+1)ln13= -(a+1)ln3,所以(a-1)ln3=-(a+1)ln3, 解得a=0,故选B. 必刷题八 指数与指数函数 刷考点·保分 1.ABC 因为 4a2-4a+1= 3(1-2a)3,所以|2a -1|=1-2a.则2a-1≤0,解得a≤12. 2.C m2+2mn+n2- m2-2mn+n2 = (m+n)2- (m-n)2 =|m+n|-|m-n|. ∵n<m<0,∴m+n<0,m-n>0, ∴原式=-(m+n)-(m-n)=-m-n-m+n =-2m. 3.ABD - x=-x 1 2(x>0); 6 y2=[(y)2] 1 6 = -y 1 3(y<0);x- 3 4=(x-3) 1 4= 4 1 x 3 (x>0); x- 1 3= 1x 1 3 = 3 1 x (x≠0).故选ABD. 4.C 由题意 a 2 (a· 3 a2) 1 2 =a2- 1 2- 1 3=a 7 6.故选C. 5.C 由题意得 a>0, a≠1, a2-4a+4=1, 解得a=3, 故选C. 6.B 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则由f(3)= 8,得a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x. 7.C 由y=ax+b的图象知,0<a<1,-2<b< -1,y= 1x+a+b+1 的图象可看作由y=1x 先 向左平移a 个单位,再向下平移-(b+1)个单 位得到. 8.A y=a-|x|= 1a |x| ,易知函数为偶函数, ∵0<a<1,∴1a>1 ,故当x>0时,函数为增函 数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数 有最小值,最小值为1,且指数函数为凹函数,故 选A. 9.D ∵f 56 =3×56-b=52-b,若52-b<1, 则3 52-b -b=4,得b=78与52-b<1即b> 3 2 矛盾, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56—