寒假作业10 三角函数的概念（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 三角函数的概念 1、 任意角和弧度制 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 2、 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 任意角和弧度制 一、单选题 1．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由扇形的面积公式求得该扇环形砖雕的面积. 【详解】因为扇形的圆心角为， 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故选：A. 二、多选题 2．下列结论正确的是（   ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．240°化成弧度是 D．终边在直线上的角的取值集合可表示为 【答案】BC 【分析】根据三角函数值符号、象限角概念、角度与弧度转化及终边相同角的表示逐一判断. 【详解】对于A，当时，，但是轴线角不是象限角，故A错误； 对于B，第一象限角满足，则， 当为偶数时在第一象限，为奇数时在第三象限，故B正确； 对于C，由角度转弧度公式得，故C正确； 对于D，终边在直线上的角应表示为，而表述错误，故D错误. 故选：BC 3．下列说法正确的有（ ） A． B． C．小于的角一定是锐角 D． 【答案】ABD 【分析】利用弧度转角度的公式计算验证选项A，利用正切的诱导公式化简计算选项B，根据锐角的定义判断选项C，根据三角函数在象限内的符号判断选项D． 【详解】，故A正确； ，故B正确； 锐角是大于且小于的角，但小于的角包含负角（如）， 小于的角不一定是锐角，故C错误； ， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 4．已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程，求解即得所在圆的半径. 【详解】设扇形的半径为，则， 解得. 故答案为： 题型二 三角函数的概念 一、单选题 1．已知定义在上的函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用分段函数性质和正弦函数计算即可. 【详解】因为，所以利用多次递推， 则， ， ，， 此时符合， 代入得， 故选： 2．角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角正余弦函数值的定义求出正余弦值，代入计算即可. 【详解】因为角终边过点，所以， . 所以. 故选：A. 二、多选题 3．（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据三角函数的符号规律直接判断即可. 【详解】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角，则或或． 故选：BC． 三、填空题 4．已知角的终边经过点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义和正切值得到的方程，求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 题型三 同角三角函数的基本关系 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求式子，从而求得正确答案. 【详解】. 故选：A 二、多选题 2．已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，求得，结合，可得，即可判断A；对于B，求得，结合，可得，即可判断B；对于C，由A，B可得，由商数关系可得，即可判断C；由C即可判断D. 【详解】解：对于A，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 3．已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 四、解答题 4．已知． (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据终边上点得，由齐次式化弦为切即可求值； （2）由平方关系及已知求得、，即可求值. 【详解】（1）由题设，，则， 所以； （2）由题设，则， 所以，，则， 所以， 所以. 题型四 诱导公式 一、单选题 1．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 2．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 3．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 二、多选题 4．若的终边与的终边垂直，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先根据终边垂直的角的关系求出的表达式，再结合的范围确定的值，最后根据三角函数诱导公式计算相关的三角函数值. 【详解】因为的终边与的终边垂直，所以， 又因为，当时，，满足条件，所以选项A正确； ，所以选项B错误； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 故选：AD 三、解答题 5．化简： 【答案】 【分析】结合弦切互化，根据诱导公式化简即可． 【详解】． 一、单选题 1．把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可. 【详解】过点作于， 由折叠性质可得，， 所以，所以，所以， 所以劣弧的长是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解. 2．已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合齐次法将给定等式变形为，进而求解即得. 【详解】由为的一个内角及，得， 则， 整理得，即， 则，解得， 于是，而，解得. 故选：B 3．在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可. 【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 4．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 【答案】D 【分析】由得，结合诱导公式，利用同角三角函数的平方和关系及商数关系即可求解. 【详解】由得， 故 . 故选：D 二、多选题 5．下列结论正确的有（    ） A． B．已知角的终边在上，则 C．终边落在直线上的角的集合是 D．已知点在第四象限，则角终边在第二象限 【答案】BD 【分析】利用三角函数的性质和定义、诱导公式、象限角的符号规律及终边相同角的集合分析判断各选项． 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，角的终边在直线上， ，，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 终边落在直线上的角的集合为，故C错误； 对于D，点在第四象限，，，则角终边在第二象限，故D正确． 故选：BD． 6．下列结论中正确的是（ ） A．若角的终边过点，则 B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C．对任意，恒成立 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义、象限角、三角函数恒等变换等知识点对各选项进行分析和计算. 【详解】选项A：当时，，则，故A正确； 选项B：若是第二象限角，则，， 所以，， 所以为第一象限角或第三象限角，故B错； 选项C：因为，如图， 射线与单位圆交于点，作轴，垂足为点，单位圆与轴正半轴的交点为点，设，由弧度制的定义可知，劣弧的长度为， 根据三角函数线可知，，，， ，，易得， 所以，所以，故C正确； 对于D，由，可得，因，故， 所以，又，则，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 7．凸四边形的面积为，，，，则最大值为 ；若四边形的外接圆为圆，则所对的圆弧的长为 ． 【答案】 49 【分析】①以角和角为参数表示，在和中分别应用余弦定理化简可以得到，把上述两式平方相加，结合余弦的有界性即可求得最大值②易知四边形的外接圆的直径为，，代弧长公式即可求解 【详解】 在中，由余弦定理知： 在中，由余弦定理知： ∴① ∵② ①2+②2可得 即 当时， ∴； 此时 ∵ ∴，， 故四边形的外接圆的直径为， ∴所对的圆弧的长为． 故答案为：； 8．已知函数在上为减函数，命题为假命题，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据给出的函数得到，，进而得到，然后利用放缩法验证不符合题意，进而得到答案. 【详解】因为函数在上为减函数，且， 所以，， 即，， 所以， 所以，即时，一定满足题意， 此时由知，的最大值为2； 下验证不符合题意， 如图：在直角坐标系中作出单位圆，，的终边与单位圆交于P， 的正弦线为有向线段MP，则， 因为， ，又. 所以，即． 所以， 即时原命题为真命题，不符合. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的综合问题.三角函数问题要善用数形结合的方法，通过已知条件的转化进而求解答案. ． 9．已知是第三象限的角，比较、、的大小关系是 .（用“”号连接） 【答案】 【分析】先根据三角函数线得到当时，，结合函数的奇偶性得到当时，，由是第三象限的角得到，从而求出，，得到结论. 【详解】因为为第三象限角，所以， 由三角函数线可知：“当时，”， 又因为，，为奇函数， 则当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 10．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 【答案】2 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案． 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得． 故答案为：2 11．化简： . 【答案】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 一、单选题 1．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 【答案】B 【分析】结合题意与图象计算即可得. 【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经度． 故选：B. 2．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式求出三个扇形面积，再减去两个的面积即可. 【详解】因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为， 又因为是正三角形，易得高， 则， 所以勒洛三角形的面积. 故选：D 3．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“不动点”定义求出，再利用三角函数定义求解即可. 【详解】由，得，解得，点， 所以. 故选：A 4．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆内接正边形的边长为，圆的半径为，利用几何关系可得，根据题设可得，即可求解. 【详解】设圆内接正边形的边长为，圆的半径为， 如图所示，连接，取中点，连，令， 易知，，得到， 由题意知，周长（近似）为，所以， 得到， 故选：A. 5．数学家泰勒发现可以通过多项式函数来近似计算某些函数的函数值，并得到了如下公式，其中，并且只要计算足够多的项就可以确保精确性，若函数，用前四项进行计算，结果精确到小数点后4位，则（    ） A．0.5603 B．0.5903 C．0.5403 D．0.6403 【答案】C 【分析】利用函数赋值，转化为泰勒公式展开，取前四项近似求值即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以． 故选：C. 6．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，任取一个数字，确定数字黑洞，即，代入，结合三角函数诱导公式进行化简计算即可. 【详解】由题意，任取数字，经过第一步变为，经过第二步变为，再变为，再变为，所以数字黑洞为，即，代入得， . 故选：B. 7．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割定义可得，再由诱导公式计算可得结果. 【详解】如图，为最美三角形，，， 易知，取的中点为，如下图所示： 则在中，易知， 所以. 故选：A 二、多选题 8．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（   ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可. 【详解】如图： 设，依题意，，解得， 因此，， 对于A，每个直角三角形的面积为：，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 【答案】8.92平方米 【分析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解. 【详解】因为圆心角为，弧长等于，所以圆的半径， 如图，在中，所以，， 所以矢，则弦， 所以弧田面积弦矢矢平方米． 故答案为：8.92平方米 10．折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为 ． 【答案】 【分析】利用扇形的面积公式可得扇形和扇形的面积，扇面的面积为两个扇形面积的差. 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：40min 完成时间： 月日 天气： 作业10三角函数的概念 积累运用 一、 任意角和弧度制 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形， (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={BB=α十 k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角a的弧度数公式 a=r(弧长用1表示) 角度与弧度的换算 2 180 1°=l80rad:1rad=πg 弧长公式 弧长1=ar 1 1 扇形面积公式 S=21r=2|ar2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,),那么 定义 y 叫做a的正切，记作 P叫做a的正弦，记作 r叫做a的余弦，记作 tana sina cosa 各 + 象 十 Ⅲ 一 + 符 号 V + 口诀 I全(Q),Ⅱ正弦(s),正切(t),V余弦(c) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sina+cos2a=1. sina (2)商数关系：coso=tana. 2.三角函数的诱导公式 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 公式 四 五 六 2kπ+ 角 I十a -a I-a r π a(k∈Z) 2一a 2+a 正弦 sina -sina -sina sina cosa cos a 余弦 cos a -cosa cos a -cos a sina sina 正切 tan a tan a -tan a -tan a 函数名改变，符号看象 口诀 函数名不变，符号看象限 限 3.常用结论 (1)同角三角函数关系式的常用变形 (sina±cosa)2=1±2 sin a cos a;sina=tana·cosa. (2)诱导公式的记忆口诀 π “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 (3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1 巩固提升练 题型一任意角和弧度制 一、单选题 1.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气如图所示，一 扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA=0.1m,AD=0.4m, ∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为()m2. A.5 B.8 π c 7π D. 120 二、多选题 2.下列结论正确的是() A.若sina>0,则a一定是第一或第二象限角 B.若。是第一象限角，则？是第一或第三象限角 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.240°化成弧度是3 π D.终边在直线y=x上的角a的取值集合可表示为aa=k350°+45°，k∈Z 3.下列说法正确的有() 5π A.12 rad 75' B.tanl35'=-1 C.小于90°的角一定是锐角 D.sin2>0 三、填空题 4.已知扇形AOB的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形AOB所在圆的半径为 题型二三角函数的概念 一、单选题 [sinx, x,0 11 1.已知定义在上的函数f(x)= fx-,x>0:则f 的值是() R 1 A B.- . D. 3 2 2 sina+cosa 2.角a终边过点(2，-，则3sina2-cosa =() A.5 1 B.2 C.- D. 5 5 5 二、多选题 3.(多选)若6为第二象限角，则下列正确的有() A.sin0>0,cos>0 B.sin>0,cos<0 C.cos<0,tan<0 D.sin<0,tan>0 三、填空题 4.已知角g的终边经过点Pm,-12,且an0- 5,则m的值是一 题型三同角三角函数的基本关系 一、单选题 2sinacosa 1.若tana=-2,则2cos'a-sin'a的值为（） 2 A.2 B.2 D.-3 二、多选题 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知sinacosa= 12 0<a< 25 ×4,正确的是() 1 1 A.sina+cosa 5 B.cosa-sina= 5 3 4 C.tana= D.sina= 4 5 三、填空题 3.已知sina= 2m m+1’ cosa=1-m m+,其中号≤≤π，则m的值为号 四、解答题 4.已知f(a)= sina+cosa sina-cosa 743】 (①若。的始边为x轴的非负半轴，终边过点55) 求fa的值： (2)若sina+cosa= 2， 且0<a<元'求fa的值 题型四诱导公式 一、单选题 1. 3 B.3 3 c.d 2.已知m子如（的值是《) 4 8 A. B.) c. D.9 3.己知tan(-80)=k,则tan100°的值是() k A.k B.-k C. D.- V1-k2 二、多选题 4.若。的终边与名的路边垂直，且0<a<天则() B.cosa=-2 舜 1 C.tana=-3 D.sin 十a士 02 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 sin(π-asin 5.化简： tan-a)·cos-π+a) 2 能力培优练 一、单选题 1.把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧BC的长 是() A.i 3 B.3 π C. 2.已知g为△4BC的一个内角，若 -an8-5,则ang=（） sine A.3+5 B.3-5 2 2 C.3+5 2 D.-3-V5 2 3.在平面直角坐标系x0y中，单位圆上的动点p、Q同时从点A1,0出发，点p按逆时针方向每秒钟转 弧度，点。按顺时针方向每秒钟转π弧度若两点相遇时的坐标是 √2√2 22 则此时它们可能是第 8 (）次相遇： A.10 B.11 C.12 D.13 3+c0s20 4.已知 则sinsin+ () tanπ+0)=-21 (2 1 A.-6 B.-2 C.8 D.-8 二、多选题 5.下列结论正确的有() 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.sin2cos3>0 3cos0 3 B.已知角g的终边在y=3x上，则 sin0-cos0 2 C.终边落在直线，=一r上的角的集合是{aa=km±元， y=-x D.已知点P(sina,cosa)在第四象限，则角a终边在第二象限 6.下列结论中正确的是() 4 A.若角a的终边过点P3k,4k(k<0),则sina=- 5 B.若。是第二象限角，则号为第二象限或第四象限角 C.对任意x∈(0，l,(x-sinx).tanx>0恒成立 1 D.若cos0+sin0= 5'0<0<元'则cos0-sin6=7 5 三、填空题 7.凸四边形ABCD的面积为S,AB=6,BC=8,CD=DA=5V2,则S最大值为一；若四边形 ABCD的外接圆为圆O,则∠CAD所对的圆弧CD的长为一· &已知晒数到=子-r在 0 上为减酒数，合超p:加晋s加行侣k=列为假合题，则，的 1111 最大值为一 9.已知a是第三象限的角，比较sin(cosa)、cos(sina)、cosa的大小关系是一·（用“<”号连接） 10.已知函数f=sinx-」+ =2+2+x+a（,为常数)，若f八)在[-2,4上的最大值为M'最小值为m'且 M+m=6,则a=一， sin(2π-a)cosπ+a)cos 11.化简： 9元. cosπ-a)sin3π-a)sin-π-a)sin 2+a 3 创新题型练 一、单选题 1.地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的.当太阳垂直照射 赤道时定为“黄经零度”，即春分点.从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清 明、谷雨、立夏等.待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度.因此分为24个节气，则芒 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 种为黄经() 立夏谷雨清明春分惊蝥雨水立春 小满。0 8-0 -0-0-0 大寒 芒种 口小寒 夏至鳟 冬至 小暑Q、 大雪 立秋处暑白露 。0-00 秋分 寒露霜降立冬小雪 A.60度 B.75度 C.270度 D.285度 2.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三 角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角 形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为4，则勒洛三角形的面积为() A.4π-V5 B.4r-25 C.8π-V5 D.8π-8V5 3.在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰 数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一 个点x,使得f(x)=x,那么我们称为该函数的“不动点”.若函数f(x)=x2-5x+9的“不动点”为 m,角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过M(m,-4),则sina=() A.-5 B. 4 n. 4.公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长.如图所示，他首先在圆内画 一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数：当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长， 刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失 矣.”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆内接正边形，使用刘 徽割圆术，得到π的近似值为() 0 0 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.n.sin360 2n B.2-sin360 C.2nsin360 360° D.n.sin 2n 5.数学家泰勒发现可以通过多项式函数来近似计算某些函数的函数值，并得到了如下公式 cosr=1-2 4+x+xeR.nEN,其中Enxn-Xm-2x…x3x2x1并且亚 计算足够多的项就可以确保精确性，若函数八y三©x+年0041667,001389，用前四项进行一 61 计算，结果精确到小数点后4位，则-小() A.0.5603 B.0.5903 C.0.5403 D.0.6403 6.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字 中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以 及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串：重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数 字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则Cos am+ 2 6等于() B.I C.3 n.9 7.人们把最能引起美感的比例称为黄金分割黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值 等于较小部分与较大部分的比值，其比值为5- 2称为黄金分割比人们称底与腰之比为黄金分割比的三角 形为最美三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形，由此我们可得sin738°=() A.5-1 B. V5-2 C.5+1 D.45 4 8 4 8 二、多选题 8.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的 正方形.图中直角三角形两锐角分别为“、阝，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法 正确的是() 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a B A.每一个直角三角形的面积为4 B.3sinB-3sina=2 C.3cosB-3cosa=2 D.cos2a+cos2B=1 三、填空题 9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为： 弧田面积=2 (弦×矢+矢)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误 差，现有圆心角为，弧长等于8m的弧日，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据 2π V3≈1.73) 10,折扇，又称“怀袖雅物”·如图，这是折扇的平面示意图，其中O4=3”OD=1,∠408-行，则此 扇面（扇环ABCD)的面积为· 9/9