复习07 三角函数概念、同角三角函数关系及诱导公式（十一大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习07 三角函数概念、同角三角函数关系及诱导公式 知识点 1 ：任意角的三角函数 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是． 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 知识点 2 ：同角三角函数的基本关系式 平方关系 商的关系 知识点 3 ：三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点01 任意角与弧度制的概念 【方法点拨】角度制与弧度制互化的原则 牢记,充分利用和进行换算. 例1．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 例2．化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则. 故选：D 变式1-1．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， 走过的角度大小为， 综上，分针走过的角度是． 故选：D． 变式1-2．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】． 【详解】由角的定义可得． 故答案为： 变式1-3．（多选）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成弧度是 C．化成角度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【详解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确. 对于B，，化成弧度是，故B正确. 对于C，化成角度是，故C错误. 对于C，，化成角度是，故D正确. 故选：ABD. 考点02 终边相同的角的表示 【方法点拨】求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 例3．与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与角终边相同的角是，， ，则与角终边相同的角是， 而其他选项的角都不能用类似的式子表示． 故选：C． 例4．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一般来说，角度、弧度不能混用，故A，D错误， 与角终边相同的角的集合是，B错误，C正确， 故选：C 变式2-1．角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，又的终边在第三象限， 所以角的终边在第三象限． 故选：C 变式2-2．已知，与的终边相同，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 与的终边相同，且， 所以，. 故答案为：. 变式2-3．已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 【答案】 【详解】因为角，都是锐角，所以，， 则，， 由题意可知，，， ，， 则，， 解得，. 故答案为：；. 考点03 根据图形写出角的范围 【方法点拨】区域角的写法步骤：（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 例5．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 例6．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为， 在内阴影部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是. 故选：D. 变式3-1．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分表示的集合是. 故选：C 变式3-2．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示). 【答案】， 【详解】因为，由图（1）知：以射线为终边的角的集合为， 角的终边与即的角的终边相同， 以为终边的角为， 所以终边落在阴影部分内的角的集合为：. 因为，， 由图（2）知：以射线为终边的角为， 以射线为终边的角为， 所以终边在直线上的角为： ， 同理终边在轴上的角为， 所以终边落在阴影部分内的角的集合. 变式3-3．已知集合，集合，求． 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中表示出角的范围如下图： 由图可知：. 考点04 确定n倍角与n分角的象限 【方法点拨】分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； （2）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 例7．若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 例8．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 变式4-1．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 变式4-2．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 【答案】BD 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确． 故选：BD． 变式4-3．若（），则的终边在 ． 【答案】轴上 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 考点05 扇形的弧长与面积问题 【方法点拨】（1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 例9．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，扇形的半径为， 因此该扇形的面积为. 故选：A. 例10．一个扇形的周长为，面积为，则此扇形的圆心角为 .（用弧度制表示） 【答案】或 【详解】由题意可得，解得或， 即此扇形的圆心角为或. 故答案为：或. 变式5-1．用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 . 【答案】 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以扇形面积， 当时，扇形面积取得最大为. 所以圆心角的弧度数为. 故答案为:. 变式5-2．莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知，弧长， 等边三角形的边长， 则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为， 中间等边的面积. 所以莱洛三角形的面积是. 故选：D 变式5-3．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，得小轮每分钟转的圈数为圈， 因此小轮每秒钟转的弧度数的绝对值为， 所以小轮每秒转过的弧长是（）. 故选：B. 考点06 利用定义求三角函数值 【方法点拨】需在终边上任取一点，然后利用三角函数的定义求解即可 例11．（多选）已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D．点在第二象限 【答案】BD 【详解】对于A，点位于第二象限，即角是第二象限角，不一定是钝角，A错误； 对于BCD，点到原点的距离， 则，，， 所以点在第二象限，故C错误，B、D正确. 故选：BD 例12．如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，点在第二象限，设其横坐标为，由，得， 所以. 故选：C 变式6-1．（多选）已知角的终边上一点的坐标为，则（    ） A．为第四象限角 B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意得为第二象限角，，，． 故选：BC. 变式6-2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 变式6-3．已知角的终边上有一点，且，求：的值 【答案】或 【详解】由已知， 又，所以，所以是第一或第二象限角， 当为第一象限角时，，，则， 当为第二象限角时，，，则. 考点07 三角函数的符号判断 【方法点拨】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． 例13．已知为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意为第三象限角，所以， 从而，， ，. 故选：D. 例14．“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当角为第二象限角，，所以，充分性成立； 反过来，当时，角为第二或第四象限角，必要性不成立， 所以“角为第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 变式7-1．“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为时，则， 所以为第一或第三象限角， 反之，当为第一或第三象限角时，，所以， 综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件， 故选：C 变式7-2．若，，则的终边在第 象限． 【答案】二 【详解】因为，所以，所以的终边在第二、四象限； 因为，所以的终边在第二象限. 故答案为： 二 变式7-3．（多选）已知，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】当为第一象限角时，； 当为第二象限角时，， 同理，当为第三、四象限角时，， 综上，或. 故选：BD. 考点08 sinα、cosα、tanα知一求二 【方法点拨】（1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 例15．已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 例16．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由角终边经过点，可得， 根据三角函数的定义，可得，即， 解得或（舍去），所以或（舍去）， 所以. 故选：A 变式8-1．已知，求． 【答案】2 【详解】由题意得， ∴， 化简得，解得． 变式8-2．（多选）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为点绕点O逆时针旋转后到达点， 所以， 因为，所以， 则由，解得，或， 所以可以取或， 故选：AD 变式8-3．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角函数的定义可得：， 也即，由可得： ，解得：或（舍去）， 因为角的终边过点，所以，则， 故选：. 考点09 正余弦齐次式的应用 【方法点拨】（1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. （2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 例17．已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】整体代入所求式子，得到. 故选：C. 例18．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 则，所以， 则， 所以． 故选：D. 变式9-1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意若，则，不符合题意， 所以， 即，解得， 故选：D 变式9-2．（1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则. （2）由，化简得， 因此， 所以. 变式9-3．已知函数，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为： 考点10 sinα·cosα、sinα±cosα关系 【方法点拨】与的关系： 例19．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，， 得，，则，故A正确； ，，， 则， 当时，联立， 解得，，则； 当时，联立， 解得，，则，故B、C错误； 由，两边平方可得，， 则，，故D正确. 故选：AD. 例20．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 【答案】(1) (2) (3)两根为，或 【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程为，其两根为， 所以或，又因为，所以或. 变式10-1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故， 故选：B 变式10-2．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设大正方形的边长为， 则小正方形的边长为， 所以小正方形与大正方形面积之比为， 化简得，且， 由， 解得. 故选：D.    变式10-3．已知，则 ． 【答案】 【详解】由得： ， 解得：； 由得： 又因为,且,所以即 所以 则 故答案为：. 考点11 利用诱导公式化简求值 【方法点拨】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角；②“大化小”：用公式一将角化为到间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角；④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 2+3新 例21．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以． 故选：A． 例22．已知 (1)化简； (2)若，求的值： (3)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） . （2）因为， 所以. （3）因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 变式11-1．已知，则 . 【答案】/ 【详解】令，则，， 所以， 又，则， 故答案为：. 变式11-2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 又，所以， 所以. 又， ， 所以. 故选：C 变式11-3．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点的坐标为，由， 有，解得， 所以点的纵坐标为. 故选：C. 1．（2024-25高一上·陕西榆林·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】依题意，，由于，位于第三象限， 所以是第三象限角． 故选：C． 2．（2024-25高一上·陕西榆林·期末）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角的终边过点， 则点到原点的距离， 所以， 所以． 故选：A． 3．（2024-2025学年高三上学期期末统考数学试卷）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 故选：A 4．（2024-25高一上·广东广州·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为（   ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为r，， 由题意得：扇形的面积为，可得，解得． 故选：D 5．（2024-25高一上·河北保定·阶段练习）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，为最美三角形，，， 易知，取的中点为，如下图所示： 则在中，易知， 所以. 故选：A 6．（2024-25高三上·山东青岛·期中）已知命题“，使得”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，， 则 ，当且仅当时取等号， 因此当时，取得最小值， 由，使得，得， 又命题“，使得”为假命题，则， 所以的取值范围为. 故选：A 7．（2024-25高一上·海南海口·阶段练习）（多选）下列说法正确的有（    ） A．角是第三象限角 B．锐角都是第一象限角 C．若为第二象限角，则为第二象限或第三象限角 D．若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以为第三象限角，故A正确； 对于B，因任意锐角，显然是第一象限角，故B正确； 对于C，若为第二象限角，则，， 当时，，所以为第一象限角， 当时，，所以为第三象限角， 所以为第一象限角或第三象限角，故C错误； 对于D，设扇形面积半径为，圆心角为，则，解得，，故D正确． 故选：ABD． 8．（2024-25高一上·江苏南京·阶段练习）（多选）在中，下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】在中，， 对于A，，A正确； 对于B，，不一定为0，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，不一定为0，D错误． 故选：AC 9．（2024-25高一上·上海浦东新·期末）已知，若将角的终边顺时针旋转，所得的角的终边与角的终边重合.则角 . 【答案】 【详解】角的终边顺时针旋转得到，它与边重合，所以，所以， 又，所以只能令，. 故答案为： 10．（2024-25高三上·河北张家口·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是 . 【答案】 【详解】由题意可得， 则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标. 故答案为：. 11．（2024-25高一上·上海浦东新·期末）已知为锐角，，则可用表示为 . 【答案】 【详解】因为为锐角，， ， 故答案为： . 12．（2024-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)， (2)，栅栏长度的最小值为40米 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得 所以， （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 13．（2024-25高一上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以， 所以； （2）因为角的终边经过点，所以，， 所以. 14．（2024-25高一上·吉林长春·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求出m的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）根据题意，可得，，解得， 所以，又是锐角，则. （2） . （3）根据三角函数定义可得：， ，， ，则， 所以 . 15．（2024-25高一上·四川成都·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于点的坐标为且在单位圆上，结合，故， 因此， （2）由于，故， 因此，， 又点的坐标为，则点的坐标为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习07 三角函数概念、同角三角函数关系及诱导公式 知识点 1 ：任意角的三角函数 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是． 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 知识点 2 ：同角三角函数的基本关系式 平方关系 商的关系 知识点 3 ：三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点01 任意角与弧度制的概念 【方法点拨】角度制与弧度制互化的原则 牢记,充分利用和进行换算. 例1．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 例2．化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 变式1-3．（多选）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成弧度是 C．化成角度是 D．化成角度是 考点02 终边相同的角的表示 【方法点拨】求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 例3．与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 例4．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2-2．已知，与的终边相同，且，则 . 变式2-3．已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 考点03 根据图形写出角的范围 【方法点拨】区域角的写法步骤：（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 例5．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 例6．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 变式3-2．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示). 变式3-3．已知集合，集合，求． 考点04 确定n倍角与n分角的象限 【方法点拨】分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； （2）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 例7．若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 例8．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4-1．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 变式4-2．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 变式4-3．若（），则的终边在 ． 考点05 扇形的弧长与面积问题 【方法点拨】（1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 例9．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（   ） A． B． C． D． 例10．一个扇形的周长为，面积为，则此扇形的圆心角为 .（用弧度制表示） 变式5-1．用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 . 变式5-2．莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 考点06 利用定义求三角函数值 【方法点拨】需在终边上任取一点，然后利用三角函数的定义求解即可 例11．（多选）已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D．点在第二象限 例12．如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（多选）已知角的终边上一点的坐标为，则（    ） A．为第四象限角 B． C． D． 变式6-2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 变式6-3．已知角的终边上有一点，且，求：的值 考点07 三角函数的符号判断 【方法点拨】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． 例13．已知为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 例14．“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-1．“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-2．若，，则的终边在第 象限． 变式7-3．（多选）已知，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 考点08 sinα、cosα、tanα知一求二 【方法点拨】（1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 例15．已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例16．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（    ）. A． B． C． D． 变式8-1．已知，求． 变式8-2．（多选）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 考点09 正余弦齐次式的应用 【方法点拨】（1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. （2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 例17．已知，则（   ） A． B． C． D．3 例18．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式9-1．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 变式9-2．（1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 变式9-3．已知函数，则 . 考点10 sinα·cosα、sinα±cosα关系 【方法点拨】与的关系： 例19．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例20．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 变式10-1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 变式10-3．已知，则 ． 考点11 利用诱导公式化简求值 【方法点拨】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角；②“大化小”：用公式一将角化为到间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角；④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 2+3新 例21．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 例22．已知 (1)化简； (2)若，求的值： (3)若为第三象限角，且，求的值. 变式11-1．已知，则 . 变式11-2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式11-3．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（2024-25高一上·陕西榆林·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（2024-25高一上·陕西榆林·期末）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024-2025学年高三上学期期末统考数学试卷）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024-25高一上·广东广州·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为（   ） A．4 B．1 C． D．2 5．（2024-25高一上·河北保定·阶段练习）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 6．（2024-25高三上·山东青岛·期中）已知命题“，使得”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·海南海口·阶段练习）（多选）下列说法正确的有（    ） A．角是第三象限角 B．锐角都是第一象限角 C．若为第二象限角，则为第二象限或第三象限角 D．若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角为 8．（2024-25高一上·江苏南京·阶段练习）（多选）在中，下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024-25高一上·上海浦东新·期末）已知，若将角的终边顺时针旋转，所得的角的终边与角的终边重合.则角 . 10．（2024-25高三上·河北张家口·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是 . 11．（2024-25高一上·上海浦东新·期末）已知为锐角，，则可用表示为 . 12．（2024-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 13．（2024-25高一上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 14．（2024-25高一上·吉林长春·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求出m的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，若，求的值． 15．（2024-25高一上·四川成都·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$