2.1.4直线与圆的位置关系（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.1.4直线与圆的位置关系 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握直线与圆位置关系的两种判断方法，并解决相关问题。 教学难点：含参数的直线与圆位置关系问题分析，数形结合思想的深化应用。 理解直线与圆的位置关系，掌握判断方法及适用条件； 能运用判断方法求解相关问题，解决简单情境问题； 深化数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：直线与圆位置关系判断； 逻辑推理：判断方法的关联性分析； 数学运算：距离、方程联立判别式求解等； 直观想象：位置关系的几何直观感知； 数学建模:实际问题中直线与圆位置关系模型的构建. 新知引入 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 平方和 特殊的二元二次方程 （a,b） r 我们把方程叫做圆的一般方程. 新知引入 情境：夕阳西下，饭后余晖，很有意境的画面中，可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？ 新知探究 地平线 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 直线与圆有两个公共点 直线与圆有一个公共点 直线与圆没有公共点 r d r d r d d < r d > r d = r 思考1：已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系？ 新知探究 位置关系 相离 相切 相交 图形 与的关系 交点个数 2个 1个 0个 r r r ∟ d ∟ d ∟ d 思考1：已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系？ 典例精讲 例7：已知圆的方程是.当为何值时，直线与圆分别有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 解：解方程组 把①化为，代入②式，得 即 方程③的判别式是 典例精讲 例7：已知圆的方程是.当为何值时，直线与圆分别有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 解：当，即时，方程③有两个不相等的实根，从而原方程组有两组不同的实数解，所以直线与圆有两个公共点。 当，即或时，方程③有两个相等的实根，从而原方程组有两组相同的实数解，所以直线与圆只有一个公共点。 当，即或时，方程③没有实根，从而原方程组没有实数解，所以直线与圆没有公共点。 练习巩固 练习1：求实数的取值范围，使直线与圆分别满足：(1)相交； (2)相切； (3)相离. 解：圆的方程化为标准形式为故圆心到直线的距离为，圆的半径为. (1)若相交，则，即，所以或； (2)若相切，则，即，所以； (3)若相离，则，即， 所以. 练习巩固 练习2：求直线被圆截得的弦长. 解：法一：圆可化为， 其圆心坐标为，半径. 点到直线的距离为，， 所以截得的弦长为. 法二：设直线与圆交于，两点.由得交点，， 所以弦的长为. 练习巩固 变式2：过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程. 解：由例题知，圆心，半径，又弦长为. 所以圆心到直线的距离. 又直线过点，知直线斜率一定存在. 可设直线斜率为，则直线方程为， 所以，解得或， 所以直线方程为或， 即或. 典例精讲 例8：（1）如图，已知为圆上一点，求过点的圆的切线的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程。 解：（1）因为是与圆的切点，可知，且过点的半径与垂直，即是的一个法向量，于是可得切线的点法式方程为： 整理，得 所以，过点的圆的切线的方程为 典例精讲 例8：（1）如图，已知为圆上一点，求过点的圆的切线的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程。 解：（2）由，知点在已知圆外。 先考虑过点且具有斜率的直线，可设其方程为 ，即 此直线与圆相切当且仅当圆心到该直线的距离为2，所以 ，即 典例精讲 例8：（1）如图，已知为圆上一点，求过点的圆的切线的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程。 解：（2）解得. 因此，得到过点的圆的一条切线，它的方程为 ，即 过点可以作圆的两条切线，故另一个切线的斜率不存在， 则其方程只能是，即 因此，所求直线的方程为或 典例精讲 例9：过圆外一点任意作一条割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹。 解：如图，设弦的中点的坐标为，连接。可得，从而 又因为，， 所以，即 因此，点的轨迹是以为圆心、以为半径，且位于圆内的一段圆弧 练习巩固 练习3：过点作圆的切线，求切线的方程. 解：法一：设切线的斜率为，则切线的方程为， 即. 由圆心到切线的距离等于圆的半径，得， 解得或. 因此，所求切线的方程为，或. 练习巩固 练习3：过点作圆的切线，求切线的方程. 解：法二：设切线的斜率为，则切线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组只有一组解. 消元，得. 因为方程只有一个解， 所以， 解得或. 所以，所求切线的方程为，或. 练习巩固 变式3-1：求与直线平行且与圆相切的直线的方程. 解：设直线的方程为，即， 的圆心坐标为，半径为. 由，得或， 所以直线的方程为或. 练习巩固 变式3-2：求与直线垂直且与圆相切的直线的方程. 解：设直线的方程为，即， 的圆心坐标为，半径为. 由，得或， 所以直线的方程为或. 练习巩固 练习4：如图所示，是的直径，是的一条弦，且，为垂足.利用坐标法证明是的中点. 证明：如图所示，以为坐标原点，以直径所在直线为轴建立平 面直角坐标系，设的半径为则的方程 为，设，， 则有，，即 是关于的方程的根，解得， 不妨设，，则的中点坐标为，即.故是的中点，即是的中点. 练习巩固 变式4-1：如图所示，为圆的定直径，为直径，自作的垂线，延长到，使，求证：直线必过一定点. 证明：以线段所在直线为轴，以中点为原点，建立直角坐标 系(如图)，设圆的方程为，直径位于轴上，动直 径为.令，则，所以.所 以直线的方程为， 即.所以直线过直线 的交点为，即直线过定点. 练习巩固 练习5：已知实数满足方程 (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 解：原方程可化为，表示以为圆心，半径为的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设，即. 当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得(如图). 所以的最大值为，最小值为. 练习巩固 练习5：已知实数满足方程 (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 解：原方程可化为，表示以为圆心，半径为的圆. (2)可看作是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值， 此时，解得(如图). 所以的最大值为，最小值为. 练习巩固 变式5：已知实数满足方程求的最大值和最小值. 解：表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图). 又圆心到原点的距离为， 所以的最大值是， 的最小值是. 小结 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 法一：距离 法二： 交点个数 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 判断方法 O . d O . d O . d 判断直线与圆位置关系的方法 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $