第02讲 直线与圆，圆与圆的位置关系（6大知识点+8种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第02讲 直线与圆，圆与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法 2.会求与圆有关的直线方程与圆的方程 3.会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等 4.会求待定参数并能解决与之相关的综合问题 5.掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法 6.应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题. 知识点01．直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 1 d>r⇔圆与直线相离； 2 d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 知识点02．弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). 知识点03．直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条。 知识点04．利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 知识点05．圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点06．两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 考点01．判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·上海奉贤·期中）圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相交且过圆心 D．相离 2．（21-22高二·全国·课后作业）直线和的位置关系是 ． 3．（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4．（22-23高二下·上海黄浦·期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 考点02．求直线与圆交点的坐标 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若，则点A的横坐标为 . 3．（21-22高二下·上海杨浦·期中）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是 . 4．（23-24高二上·上海·期末）设圆的方程是，其中，，下列说法是否正确，请说明理由： (1)该圆的圆心为； (2)该圆过原点； (3)该圆与轴相交于两个不同点． 考点03．过圆上一点和圆外一点的圆的切线方程 1．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 2．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 3．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，点 (1)求圆C的圆心C的坐标、及半径大小； (2)求过点A与圆C相切的直线方程. 4．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 6．（23-24高二上·上海杨浦·期中）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 考点04． 圆的弦长与中点弦 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（23-24高二上·上海·期末）设直线与圆相交于A、B两点，则的值可能是（    ） A．3.5 B．5 C．6.5 D．7 3．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 4．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）直线被圆C：所截得的弦长为 . 考点05．直线与圆的位置关系求距离的最值 1．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 2．（21-22高二下·上海闵行·期末）直线与圆交于两点，则 ． 3．（21-22高二上·上海闵行·期末）已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是 ． 4．（22-23高二上·上海嘉定·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ． 5．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 考点06．判断圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 2．（24-25高二·上海·随堂练习）圆与圆的位置关系为 ． 3．（21-22高二下·上海黄浦·期中）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（    ） A．4条 B．2条 C．1条 D．0条 4．（2024高二下·上海·专题练习）已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 考点07．由圆的位置关系确定参数、范围或圆的方程 1．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 2．（21-22高二上·上海静安·期末）设集合，，如果命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个 A．9 B．7 C．5 D．3 4．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 6．（23-24高二上·上海·期末）已知定点，圆O：． (1)求圆心O到点A的距离； (2)若以为圆心，R为半径的圆与圆O有两个不同公共点，求R的取值范围． 考点08．两圆的公共弦 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·上海·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 4．（22-23高二上·上海普陀·期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有 条. 5．（2023·上海·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 2．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 3．（22-23高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）若直线与圆相切.则实数 . 6．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）若圆与轴相切，则实数的值是 . 8．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 9．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 10．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是 ． 11．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为 . 12．（22-23高二下·上海浦东新·期中）平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是 13．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 14．（21-22高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 15．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知圆和圆外切，则实数的值为 ． 16．（21-22高二下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. (1)求圆M的标准方程； (2)若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 18.（24-25高二上·上海·期中）已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 19．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知圆经过，圆. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值. 20．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 21．（21-22高二下·上海宝山·期中）已知圆，定点，其中为正实数， (1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值； (2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直线与圆，圆与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法 2.会求与圆有关的直线方程与圆的方程 3.会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等 4.会求待定参数并能解决与之相关的综合问题 5.掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法 6.应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题. 知识点01．直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 1 d>r⇔圆与直线相离； 2 d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 知识点02．弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). 知识点03．直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条。 知识点04．利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 知识点05．圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点06．两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 考点01．判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·上海奉贤·期中）圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相交且过圆心 D．相离 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】联立直线与圆的方程，根据解的个数判断直线与圆的位置关系. 【详解】由，可得，即， 即直线与圆有一个公共点， 所以直线与圆相切于点， 故选：A 2．（21-22高二·全国·课后作业）直线和的位置关系是 ． 【答案】相切 【难度】0.94 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； 【详解】解：圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离，则直线与圆相切； 故答案为：相切 3．（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，与半径进行对比即可得到答案. 【详解】由点在圆外，可得， 求得圆心到直线的距离， 故直线和圆C相交， 故选:A. 【点睛】判断直线与圆的位置关系主要有两种方法： （1）代数方法：联立方程，利用判断二者位置关系，比较繁琐； （2）几何方法：利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定，比较简单. 4．（22-23高二下·上海黄浦·期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果. 【详解】因为化为标准方程为， 所以圆心，圆的半径， 又因为圆心C到直线的距离为， 所以， 所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线的距离为的点共有3个. 故选：B. 考点02．求直线与圆交点的坐标 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求直线与圆交点的坐标 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】由题意，联立，有，解得，， 若，则，则. 故答案为：4. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若，则点A的横坐标为 . 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、求直线与圆交点的坐标 【分析】先设点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点坐标，然后根据向量垂直求出参数，求出点坐标. 【详解】设，因为，所以， 则圆的方程为，即， 联立，解得， 由，得，解得或， 又，所以，即 ，所以点的横坐标为5. 故答案为：5 3．（21-22高二下·上海杨浦·期中）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求直线与圆交点的坐标、轨迹问题——圆 【分析】设，由得点轨迹为；由可知当三点共线且在线段上时取得最小值，联立圆的方程和直线方程即可求得结果. 【详解】设，则，整理可得：； ， 当三点共线且在线段上时，取得最小值， 又直线方程为：，即， 由得：或， 又在线段上，. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·期末）设圆的方程是，其中，，下列说法是否正确，请说明理由： (1)该圆的圆心为； (2)该圆过原点； (3)该圆与轴相交于两个不同点． 【答案】(1)错误 (2)正确 (3)正确 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、求直线与圆交点的坐标 【分析】（1）根据圆的标准方程求出圆心坐标即可判断； （2）将原点坐标代入圆的方程即可判断； （3）令，求出，即可判断. 【详解】（1）圆的方程是的圆心为， 所以此命题错误； （2）因为， 所以该圆过原点， 所以此命题正确； （3）令，得， 解得或， 所以该圆与轴得交点坐标为， 所以此命题正确. 考点03．过圆上一点和圆外一点的圆的切线方程 1．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、已知直线垂直求参数、由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，点 (1)求圆C的圆心C的坐标、及半径大小； (2)求过点A与圆C相切的直线方程. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】 （1）将圆的一般方程配方即得标准方程，可直接写出圆心和半径； （2）由点在圆上，由直线垂直的性质及直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）由圆配方得：，则圆C的圆心C的坐标为：,半径为. （2）由题意，点在圆上，且， 所以切线的斜率， 所以过点A与圆C相切的直线方程为，即 4．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求直线交点坐标、由直线与圆的位置关系求参数、求点关于直线的对称点 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 5．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】由题意分直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意. 故答案为：或. 6．（23-24高二上·上海杨浦·期中）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】 考虑所作切线斜率是否存在，存在时，设出其方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列式计算，求得参数，即可求得答案. 【详解】由圆可知圆心为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到的距离为，此时和圆相切； 当过点的直线斜率存在且和圆相切时， 设其方程为，即， 则，解得， 即切线方程为，即， 故切线的方程为或， 故答案为：或 考点04． 圆的弦长与中点弦 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案. 【详解】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为. 故选：B. 2．（23-24高二上·上海·期末）设直线与圆相交于A、B两点，则的值可能是（    ） A．3.5 B．5 C．6.5 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、直线过定点问题 【分析】求出直线过的定点，当与垂直时，最小，由垂径定理得到最小值，并得到最大值为直径，从而得到答案. 【详解】因为恒过定点，的圆心为，半径为3， 其中， 当与垂直时，最小，此时， 当经过圆心时，最大，最大值为直径6， 故的可能值为5，B正确，其他选项不合要求. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 5．（23-24高二上·上海·期末）直线被圆C：所截得的弦长为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用几何法求弦长. 【详解】圆C：，圆心为，半径，圆心到直线距离为： ，弦长为：. 故答案为： 考点05．直线与圆的位置关系求距离的最值 1．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    2．（21-22高二下·上海闵行·期末）直线与圆交于两点，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理即可求解. 【详解】直线到圆距离， 由垂径定理可得：， 故答案为：. 3．（21-22高二上·上海闵行·期末）已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点到直线的最大距离和最小距离. 【详解】即， 所以曲线是圆心为，半径为1的圆的上半部分， 如图，点是曲线上的动点， 则点到直线距离的最大值为原点到直线距离加上圆的半径，即， 点为时到直线的距离最小，最小值为． 则点到直线距离的取值范围是． 故答案为： 4．（22-23高二上·上海嘉定·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离， 从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】由题意得：，     由圆知：圆心，半径 圆心到直线距离 到直线距离，即 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆上各点到直线的距离的最大值为即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以圆上各点到直线的距离的最大值为. 考点06．判断圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 2．（24-25高二·上海·随堂练习）圆与圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【难度】0.94 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】计算两圆的圆心距，再与两圆半径比较即得. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为， 由，显然， 故圆与圆相交． 故答案为：相交. 3．（21-22高二下·上海黄浦·期中）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（    ） A．4条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】利用已知条件判断圆与圆的关系，进而可以求解. 【详解】由，得圆，半径为， 由，得，半径为 所以， ，， 所以，所以圆与圆相交， 所以圆与圆有两条公共的切线. 故选：B. 4．（2024高二下·上海·专题练习）已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、求点到直线的距离 【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离，进一步可求线段长度的最小值． 【详解】如图，    由题可知，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，，使得恒成立， 则始终在以为直径的圆内或圆上. 如图：    设为直线上一点，延长交圆于. 当时，以为圆心，为半径做圆，交直线于、两点，此时. 也因为此时取得最小值，所以此时的长度取得最小值. 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为． 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【难度】0.65 【知识点】求两圆的交点坐标、判断圆与圆的位置关系 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 考点07．由圆的位置关系确定参数、范围或圆的方程 1．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得. 【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径； 圆的方程可化为，圆心为，半径. 因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切. 所以有，即，所以. 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A. 2．（21-22高二上·上海静安·期末）设集合，，如果命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据集合可判断两个集合分别表示圆，如果命题为真命题即两圆有公共点，结合几何性质列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】解：因为，表示平面坐标系中以为圆心，半径为1的圆， ，表示以为圆心，半径为1的圆，且其圆心在直线上，如图． 如果命题“存在，”是真命题，即两圆有公共点， 则圆心到直线的距离不大于两圆圆心距2， 即，解得． 所以实数的取值范围是. 故选：B． 3．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个 A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】求出两圆圆心、半径，根据两外切，一外切一内切，两外切讨论，即可求得. 【详解】设圆圆心，半径， 圆心，半径. 由已知圆，半径. 当圆与两圆都外切时，有，即有， 可得在的垂直平分线上，即， 由，可得，有2个圆满足； 当圆与圆相外切，与圆相内切时，有 ，即，解得，即有2个圆满足； 同理，当圆与圆相外切，与圆相内切时，有2个圆满足； 当圆与两圆都内切时，有，即有， 解得，即有1个圆满足. 综上所述，共有7个圆满足情况. 故选：B. 4．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海·期末）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】 （1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解. 【详解】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 6．（23-24高二上·上海·期末）已知定点，圆O：． (1)求圆心O到点A的距离； (2)若以为圆心，R为半径的圆与圆O有两个不同公共点，求R的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、求平面两点间的距离 【分析】（1）利用两点间的距离公式求解； （2）利用两圆相交列式求解. 【详解】（1）由题意得：； （2）以为圆心，R为半径的圆的方程为， 由题意，两圆有两个不同公共点，所以两圆相交， 所以，解得. 考点08．两圆的公共弦 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两圆的公共弦长、圆的一般方程与标准方程之间的互化、相交圆的公共弦方程 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 2．（2023·上海·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解. 【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为， 则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：D. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、求点到直线的距离 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·上海普陀·期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有 条. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数 【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，从而利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，即是直线l的条数． 【详解】由已知可把直线l看成是以为圆心，4为半径的圆的切线， 同时是以为圆心，9为半径的圆的切线， 由于两圆圆心距，所以两圆相外切， 根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线有3条． 故答案为：3． 5．（2023·上海·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆的公切线方程 【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率． 【详解】对于圆，令，得，解得或， 则，． 设，∵，∴， 则，整理得， 则点N的轨迹是圆心为，半径为的圆． 又圆M的方程为，则圆M的圆心为，半径为． ∵，∴两圆相交， 设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D， 连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形， ∵，，∴， 则， 则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为． 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可. 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 2．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【详解】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 3．（22-23高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【详解】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）若直线与圆相切.则实数 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、斜率公式的应用 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期中）若圆与轴相切，则实数的值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得圆心与半径，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得， 方程表示圆，则可得圆心为，半径为， 由圆与轴相切，则可得，解得. 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 9．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 点与圆心的距离， 则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长， 当时，最短，过的最短的弦长， 所以四边形的面积. 故答案为： 10．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用条件，将问题转化成求直线与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果. 【详解】由题知，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，所以点的轨迹方程为， 当直线与圆相切时，设直线方程为，即， 所以，解得，因为的纵坐标小于等于零，所以， 由图易知，直线的斜率的取值范围， 故答案为： 11．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意，求得关于直线的对称点，结合图像即可得到当三点共线时，取得最小值. 【详解】 如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆， 则根据圆的性质可知，的最小值为， 设关于直线的对称点为， 则可得，解得，即， 连接，分别交直线与圆于， 则， 当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为: 12．（22-23高二下·上海浦东新·期中）平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、点与圆的位置关系求参数 【分析】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部，结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值，即可求解. 【详解】解：要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部， 点P、Q在直线上， 点到直线l：距离， 以PQ为直径的圆半径的最小值为， 所以PQ的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是， 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求两圆的交点坐标 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 14．（21-22高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 15．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知圆和圆外切，则实数的值为 ． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、求平面两点间的距离 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆外切，圆心距等于半径之和，列方程解实数的值. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为：12 16．（21-22高二下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出两圆的圆心、半径.根据已知，可得在直线两侧或在直线上，进而即可得出的取值范围. 【详解】由已知可得，圆的圆心，半径； 圆的圆心为，半径. 所以，. 因为两圆相交，所以，所以. 若在直线上存在一点，使得， 所以在直线两侧或在直线上. 当在直线两侧时，显然有成立. 如图1，只需，即，所以， 当在直线上时，如图2. 此时由，可知，显然此时值最大. 从而的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. (1)求圆M的标准方程； (2)若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆方程，代入已知点坐标到方程以及圆心的关系，解得参数，写出圆的方程； （2）讨论斜率是否存在：斜率不存在时直接得到直线方程，验证交点弦长满足题意；当斜率不存在时，设用点斜式设直线，求出圆心到直线距离，由垂径定理建立等式，求得斜率值，写出直线方程. 【详解】（1）设圆M的方程为：， 由题意得，解得， 圆M的标准方程为； （2）由（1）可知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线， 由被圆截得的弦长为，可得，则， 解得，所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 18.（24-25高二上·上海·期中）已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数、求点到直线的距离 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【详解】（1）由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. （2）因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 19．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知圆经过，圆. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可； （2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可. 【详解】（1）设圆，因为圆过三点， 则，所以，所以， 即； （2）圆化为标准方程为， 因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且， 则有，解得. 20．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)Q，A，B，C四点共圆的证明见解析，点Q恒在直线上，理由见解析 【难度】0.45 【知识点】相交圆的公共弦方程、判断直线与圆的位置关系、由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断即可； （2）求出圆的圆心坐标，设出M的坐标，利用垂径定理，转化求解轨迹方程即可； （3）设点，证明Q，A，B，C四点共圆，求出圆的方程，求出与圆相交弦的方程，即为直线l的方程，可求点坐标的特征． 【详解】（1）证明：如图所示， 圆，化成标准方程为，圆心，半径为2， 直线过定点，定点到圆心距离为1，即在圆内，故直线l与圆C相交； （2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M， 设点，由垂径定理得，即，整理得， 直线l不过圆心C，则， 所以点M的轨迹方程为； （3）依题意有，， 四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径， 设，则圆心坐标为， 半径为， 则圆的标准方程为 ， 整理得，与圆C的方程联立， 消去二次项得∶，即为直线l的方程， 因为直线过定点，所以，解得：， 所以当m变化时，点Q恒在直线上． 21．（21-22高二下·上海宝山·期中）已知圆，定点，其中为正实数， (1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值； (2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、点与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）设点，由，得到即，结合，得到，根据因为点为圆上任意一点，得出方程组，即可求解. （2）求得直线的方程为，设，求得的坐标，根据都在圆，得出方程组化简得到，结合的方程组有解，转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系，得到关于的不等式组，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设点，则， 因为，可得， 即， 又由时，圆，即，可得， 代入上式可得， 整理得， 因为点为圆上任意一点，所以， 又由，解得. （2）解：当时，可得，此时直线的方程为， 设，其中，， 因为点为的中点，所以， 又因为都在圆， 可得，即， 由关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，半径的圆有公共点， 所以，即， 又由点为线段上的任意一点，所以对所有成立， 由在上的值域为， 所以，即， 又由线段与圆无公共点，所以，即， 所以实数的取值范围是. 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