第02讲 三角形边角关系与三条重要线段（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习讲义聚焦三角形边角关系与重要线段，覆盖概念分类、性质应用及A字、8字等倒角模型，构建“概念-性质-模型-应用”知识链。通过考点深解梳理命题要点，真题典例讲解解题技巧，难点攻坚突破模型综合题，实现系统性与针对性复习。 亮点在于“模型化”复习策略，如通过推导双内角角平分线模型∠O=90°+1/2∠A，培养推理意识。结合2025年中考真题设计变式训练，分层练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，提升学生几何直观与问题解决能力。

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形 第02讲三角形边角关系与三条重要线段 目 录 目标导图口口构建知识脉络 考点深解和口速通命题要点 考点1三角形的概念及分类 考点2三角形的基本性质 考点3三角形中的重要线段 命题突破如口破解常考题型 题型1三角形中的三边关系 题型2三角形内角和定理 题型3三角形外角关系 题型4三角形的高线 题型5三角形的中线 题型4三角形的角平分线 难点攻坚T口攻克易错难点 难点1三角形中的倒角模型之“A”字模型 难点2三角形中的倒角模型之“8”字模型 难点3三角形中的倒角模型之燕尾模型 难点4三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 难点5三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 难点6三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 难点7三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 练测提能D口效果及时检测 测能力/提能力 1/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 构建知识脉络 三角形的定义：由不在同一直线上的三条 三角形的橱念及分类 线段首尾顺次联结所组成的图形 儿三角形的分类：按边分类、按角分类。 三边关系：三角形的任意两边之和大于第 三边，任意两边之差小于第三边 三角形内角和定理及推论：()定理：三角 形的内角和等于(2推论：三角形三个外角 的和等于360° 三角 知识 三角形的基本性质 内外角的关系：)三角形的外角和等于与 它不相邻的两个内角的和。(2)三角形的外 形边 梳理 角大于任何一个与它不相邻阳的内角。 角关 边角关系：同个三角形中，大边对大 角，小边对小角 系与 、三角形具有稳定性 判断能否构成三角形（三边关系） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对 利用内角和求角 ~边角关系解题三步、 三条 边作垂线，顶点与垂足之间的线段 根据边角关系判断大小 学法 重要 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对 见中点一想中线（重心） 三角形中的重要线段， 指导 线段 边中点的线段 见垂直一想高线（垂心） 三角形的角平分线：三角形的一个内角的 重要线段识别 角平分线与对边相交于一点顶点与交点之 见角平分一想角平分线定理 间的线段 等腰三角形一想”三线合一 速通命题要点 ◇考点 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 不等边三角形 锐角三角形 (1)按边分类可以分为 底边和腰不相等的等腰三角形： (2)按角分类可以分为 直角三角形 等腰三角形 等边三角形 钝角三角形 易混易错 1.等腰三角形含等边，等边是特例，分类易混淆 2.直角三角形按角分类，与按边分类标准不同，易交叉错乱 3.钝角、锐角三角形判定依赖最大角，易忽略“只一个钝角” 4.等腰直角三角形归类易重复或遗漏，属双重标准分类 ◇考点2三角形的基本性质 1.三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 2/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.三角形内角和定理及推论： (1)定理：三角形的内角和等于180°. (2)推论：三角形三个外角的和等于360°。 3.内外角的关系 ()三角形的外角和等于与它不相邻的两个内角的和。 (2)三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 5.三角形具有稳定性。 易混易错 1.内角和恒为180°，与形状无关，易误以为可变 2.外角等于不相邻两内角和，非相邻内角补角 3.三角形两边和大于第三边，差小于第三边，两边关系判断易忽略差条件 ◇考点3三角形中的重要线段 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段： 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以 后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表 如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与 从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点和 文字语言 它的对边相交，这个角的顶 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段. 它对边中点的线段， 点与交点之间的线段 图形语言 B B D 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接AD. 作∠BAC的平分线AD,交 作图语言 BC于点D. 标示图形 B B D D 1.AD是△ABC的高. 1.AD是△ABC的中线. 1.AD是△ABC的角平分线 符号语言 2.AD是△ABC中BC边上的高. 2.AD是△ABC中BC边上 2.AD平分∠BAC,交BC于 3.AD⊥BC于点D. 的中线. 点D. 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.∠ADC=90°，∠ADB=90° BD=DC=1BC 3. 3.∠1=∠2=1 ∠BAC. (或∠ADC=∠ADB=90°) 2 4.点D是BC边的中点. 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC. 因为AD是△ABC的中线， 因为AD平分∠BAC,所以∠ 推理语言 (或∠ADB=∠ADC=90°) 1 所以BD=DC=二BC. 1=∠2= ∠BAC. 用途举例 1.线段垂直.2.角度相等， 1. 线段相等.2.面积相等 角度相等. 1.与边的垂线不同 注意事项 与角的平分线不同 2.不一定在三角形内. 三角形的三条高（或它们的延长线）交于 一个三角形有三条中线，它 一个三角形有三条角平分 重要特征 点 们交于三角形内一点. 线，它们交于三角形内一点. 易混易错 1.中线平分对边，重心分中线2：1，易误为平分面积比 2. 角平分线到角两边距离相等，非对边比例 3.高线可在形外（钝角三角形），易漏画 4.三线（中线、高、角平分线）概念与性质混淆，适用条件不清 →破解常考题型 ◇题型1 三角形中的三边关系 典例1(2025江苏连云港中考真题)下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(） A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 典例2(2025海南中考真题)已知三角形三条边的长分别为3、5、x,则x的值可能是() A.2 B.5 C.8 D.11 解题技巧 技巧：列出三不等式，先确定范围；遇等腰分类讨论，验两边和大于第三边。 变式1(2025江苏宿迁·中考真题)等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm,则该等腰三角形的周长为 cm 变式2(2024青海西宁.中考真题)若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可 以是 (写出一个即可) ◇题型2三角形内角和定理 4/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 典例1(2025西藏中考真题)如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是BC延长线上的一点， ∠ACD=110°，则∠A的度数为() B D A.70° B.55 C.40° D.35o 典例2(2025吉林.中考真题)如图，正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则LF的大小为_ 度. B 解|题|技|巧 技巧：见到求角，立即用“三角形内角和为180°”列方程。遇多角可设未知数，巧用外角等于不相 邻两内角和，复杂图形优先拆分三角形。 变式1(2025·黑龙江哈尔滨·中考真题)在ABC中，∠A=80°，点D在射线AB上，AD=AC,连接CD, ∠BCD=10°，则∠ABC=度 变式2(2025湖南长沙.中考真题)如图，在ABC中，AB=AC,LB=72°，以点C为圆心，适当长为半 径作弧，交CA于点M交CB于点N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相 交于点P,作射线CP交AB于点D. (I)求∠BCD的度数； (2)若BC=2.5,求AD的长. ◇题型3三角形外角关系 典例1(2025山东淄博.中考真题)已知：如图，AB∥CD,∠1=36°，∠2=60°，则∠3的度数是() 5/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -B -D A.36° B.34° C.26° D.24° 典例2(2025辽宁.中考真题)如图，点C在∠A0B的边OA上，CD1OB，垂足为D,DE∥OA,若 ∠EDB=40°，则∠ACD的度数为() C E D B A.50° B.120° C.130° D.140° 解题技|巧 技巧：优先使用“外角等于不相邻两内角和”直接求角；遇折线或多外角，反复利用此定理转化， 常与内角和180°结合列方程。 变式1(2024四川攀枝花中考真题)将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若 ∠3=65°，则∠2为() 09 3 A. 50° B.55° C.60° D.65° 变式2(2024四川达州中考真题)如图，在ABC中，AE,BE,分别是内角∠CAB、外角LCBD的三等 分线，且∠EAD-CB,∠EBD-CBD,在A4BE中，4，BE:分别是内角∠EAB,外角 3 ∠EBD的三等分线.且∠E,4D-写E4B,∠EBD-写EBD,,以此规律作下去若∠C=m.则 ∠E=度. 6/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◇题型4 三角形的高线 典例1(25-26八年级上·云南玉溪·期中)下面四个图形中，线段BD是ABC的高的图形是() B B B B C D CD 典例2(2025陕西西安模拟预测)如图，ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则 BC边上的高等于() A.② B.2 C.2 D.2√2 解题|技巧 技巧：1.高线必垂直，见到直角速联想面积法；2.钝角三角形高在形外，作图延长对边；3.多高问 题常结合等面积建立方程。 变式1(2025四川乐山中考真题)如图，在ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，AC=2. B450 602C (I)求AB的长： (2)求点C到线段AB的距离. 变式2(2025浙江模拟预测)定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点 之间的距离称为这条边上的“中高距”，如图，ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则 DE的长称为BC边上的“中高距”. B 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)若BC边上的中高距”为0，求证：AB=AC; (2)若∠B=30°，∠C=45°，AB=4,求BC边上的“中高距”. ◇题型5三角形的中线 典例1(2025安徽毫州一模)如图，在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，连接BE,CD,线 段BE与CD交于点F,连接DE,下列结论错误的是() D A.SACEF=S△BCE 3 B. 8 C.C△E=2 △ABC D.SABDF =SACEF 解题技|巧 技巧：中线必平分对边。遇中线立即想到：1.等分线段，2.倍长中线构造全等，3.中线与面积关系（等 分三角形面积)。 典例2(2025甘肃武威模拟预测)如图，在ABC中，CD平分∠ACB,过点B作BD⊥CD,垂足为D, 连接AD.若BC=8,AC=10,△ABC的面积为28，则△ADB的面积为 D 变式1(2024安徽模拟预测)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、 BC、CA至A、B、C,使得A,B=2AB,B,C=2BC,CA=2CA,顺次连接A、B、C,得到△AB,C, 记其面积为S;第二次操作，分别延长AB,,B,C,CA至A,B,C,使得A,B=2A,B,BC,=2B,C ,C,A,=2C,A,顺次连接A,B,C,得到△AB,C2,记其面积为S2…,按此规律继续下去，可得到 △AB,C,则其面积为S= 第n次操作得到△4.B.C,则△A.B.C的面积Sn= 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C B A 变式2(2025浙江丽水·二模)如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D在AB上（不与点A,B 重合)，连接CD交BE于点O. B (I)若CD是AB边上的中线，BC-AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. (2)若CD⊥AB于点D,∠ABC=60°，求∠BOC的度数. ◇题型6 三角形的角平分线 典例I(2025吉林松原三模)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F在AB边上，AE⊥CF且AE 平分∠BAC,已知DE=1,AC=4,则AB的长为 B 典例2(2025重庆模拟预测)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE,AB=8,AC=5 ,则DE的长度为」 解|题技|巧 技巧：角平分线必分角相等。见到它，立即联想：1.等角关系设未知数；2结合内角和列方程；3折 叠问题中找对称角与边。 变式1(2025陕西宝鸡模拟预测)如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E, 连接BE,AB=6,AC=8,则△ABE的面积是 9/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2(2025浙江杭州模拟预测)如图，在口ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,作LDCB的平分线交 DE于F,且DE=CD,若DF=6,AE=9,则BE的长为 难点攻坚 ·攻克易错难点 ◇难点1三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1如图1，直线I与△ABC的边AC,AB分别相交于点D,E(都不与点A重合). 图1 图2 图3 图4 (1)若∠A=64°，①求∠1+∠2的度数；②如图2，直线m与边AB,AC相交得到∠3和∠4，直接写出 ∠3+∠4的度数.(2)如图3，EO,D0分别平分∠BED和∠CDE，,写出∠EOD和∠A的数量关系，并说明理 由： (3)如图4，在四边形BCDE中，点M,N分别是线段DC、线段BE上的点，NG,MG分别平分∠BNM和 ∠CMN,直接写出∠NGM与∠E,∠D的关系 变式1【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与 ∠2分别为ABC的两个外角，则1+L2=180°+LA. 【推理证明】：∠1与∠2分别为ABC的两个外角， .∠1=LA+-，∠2=∠A+-, ∠1+∠2=. .∠3+∠4+∠A=180°， ∠1+∠2=180°+LA. 10/20 第四章 三角形 第02讲 三角形边角关系与三条重要线段 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1三角形的概念及分类 考点2三角形的基本性质 考点3三角形中的重要线段 命题突破👉破解常考题型 题型1三角形中的三边关系 题型2三角形内角和定理 题型3三角形外角关系 题型4三角形的高线 题型5三角形的中线 题型4三角形的角平分线 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1三角形中的倒角模型之“A”字模型 难点2三角形中的倒角模型之“8”字模型 难点3三角形中的倒角模型之燕尾模型 难点4 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 难点5 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 难点6 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 难点7 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 1. 等腰三角形含等边，等边是特例，分类易混淆 2. 直角三角形按角分类，与按边分类标准不同，易交叉错乱 3. 钝角、锐角三角形判定依赖最大角，易忽略“只一个钝角” 4. 等腰直角三角形归类易重复或遗漏，属双重标准分类 ◇考点 2 三角形的基本性质 1.三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 2.三角形内角和定理及推论： (1)定理：三角形的内角和等于. (2)推论：三角形三个外角的和等于360°。 3.内外角的关系 (1)三角形的外角和等于与它不相邻的两个内角的和。 (2)三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 5.三角形具有稳定性。 1. 内角和恒为180°，与形状无关，易误以为可变 2. 外角等于不相邻两内角和，非相邻内角补角 3. 三角形两边和大于第三边，差小于第三边，两边关系判断易忽略差条件 ◇考点 3 三角形中的重要线段 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 1. 中线平分对边，重心分中线2:1，易误为平分面积比 2. 角平分线到角两边距离相等，非对边比例 3. 高线可在形外（钝角三角形），易漏画 4. 三线（中线、高、角平分线）概念与性质混淆，适用条件不清 ◇题型 1 三角形中的三边关系 典例1（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 典例2（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 解｜题｜技｜巧 技巧：列出三不等式，先确定范围；遇等腰分类讨论，验两边和大于第三边。 变式1（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 变式2（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． ◇题型 2 三角形内角和定理 典例1（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 典例2（2025·吉林·中考真题）如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 技巧：见到求角，立即用“三角形内角和为180°”列方程。遇多角可设未知数，巧用外角等于不相邻两内角和，复杂图形优先拆分三角形。 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 变式2（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． ◇题型 3 三角形外角关系 典例1（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 典例2（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 解｜题｜技｜巧 技巧：优先使用“外角等于不相邻两内角和”直接求角；遇折线或多外角，反复利用此定理转化，常与内角和180°结合列方程。 变式1（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 变式2（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． ◇题型 4 三角形的高线 典例1（25-26八年级上·云南玉溪·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，由此逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据三角形的高的定义可得，线段是的高的图形是 故选：D． 典例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 解｜题｜技｜巧 技巧：1. 高线必垂直，见到直角速联想面积法；2. 钝角三角形高在形外，作图延长对边；3. 多高问题常结合等面积建立方程。 变式1（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 变式2（2025·浙江·模拟预测）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． (1)若边上的“中高距”为0，求证：； (2)若，，，求边上的“中高距”． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）利用垂直平分线的性质即可解答； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，，根据等腰直角三角形的性质得，可得，由即可求解． 【详解】（1）证明：边上的“中高距”为0， 中边上的中线、高线重合， 即垂直平分， ； （2）解：，，，， ，，， ， ∴， 为边上的中线， ， ． ◇题型 5 三角形的中线 典例1（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，点D，E分别是边的中点，连接，线段与交于点F，连接，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识； 由三角形中位线性质定理得，，则可判断选项C；证明，则，利用等高的两个三角形面积关系，可判断选项A；利用等底等高的两个三角形面积相等可判断选项D；利用三角形中线平分三角形面积可判断选项B． 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵共高， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴等底等高， ∴， ∴， ∴， 故选项D正确； ∵点D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， 故选项B错误． 故选：B． 解｜题｜技｜巧 技巧：中线必平分对边。遇中线立即想到：1.等分线段，2.倍长中线构造全等，3.中线与面积关系（等分三角形面积）。 典例2（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中,平分，过点B作，垂足为D，连接．若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 平分，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 变式1（2024·安徽·模拟预测）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为，按此规律继续下去，可得到，则其面积为 ． 第次操作得到，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键．连接，根据同高的两个三角形的面积之比等于底边之比，依次得到，然后得到，进而得到，同理可得，，然后得到，即，以此类推，即可得到，，，，，． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， 即； 同理可得，， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 变式2（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，由的周长为得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ∵的周长为， 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． ◇题型 6 三角形的角平分线 典例1（2025·吉林松原·三模）如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，得到，得出点为中点，利用中位线的性质确定，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵点是边的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：． 典例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 技巧：角平分线必分角相等。见到它，立即联想：1.等角关系设未知数；2.结合内角和列方程；3.折叠问题中找对称角与边。 变式1（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】先由平行四边形的性质以及垂直的定义得出，构造辅助线延长至点G，使，连接，由“”证明，利用全等三角形的性质以及角平分线的性质进行倒角得到，即，由勾股定理得到的长，即的长，最后由线段之间和差关系得到长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，． ， ． ． 延长至点G，使，连接． ，， ． ． 平分， ． 设． 则，． ． ． ． ． ◇难点 1 三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 变式1【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． ◇难点 2 三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例1如图，线段与相交于点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，，根据可得； （2）由（1）知，，即，根据平分，平分得到，，则，同（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：由（1）知，． ，， ， 则． 平分，平分， ，， ， 则． 同（1）可得， ， 即． ． 变式1【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ ◇难点 3 三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例1如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 变式1【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◇难点 4 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． （3）解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 变式1模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． ◇难点 5 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例1如图，是的平分线，是的外角的平分线． (1)若，求的度数； (2)结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的定义，得出，，再根据，故，又因为是的外角的平分线，得，再代入数值到进行计算，即可作答． （2）结合角平分线的定义以及三角形外角性质进行分析，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； （2）解：，过程如下： 设， ∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； ∴． 变式1如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导角度关系． （1）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和； （2）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． ◇难点 6 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例1如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 变式1【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． ◇难点 7 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例1在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得出，然后根据高线的定义即可求出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出，根据高线和三角形内角和定理得出，然后根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴． 变式1【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． ◇测能力 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据利用三角支架可以固定平板电脑的位置，得出这样做的数学原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2025·山东菏泽·三模）在中，，则的长度可能是 ．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·江西·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角定理，关键是利用 “反射角等于入射角” 这一条件得到，进而在中利用内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作 的垂线，过点作的垂线，两线交于点 由题意可得 (提示∶反射角等于入射角)， 故答案为：． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，是的角平分线． (1)用直尺和圆规过点作，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质， （1）利用基本作图，过点作于； （2）如图，过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得，可得答案； 解题的关键是熟练掌握种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，过点作于， ∵是的角平分线，于， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 6．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ◇提能力 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合的条件确定的范围．本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 是解题的关键． 【详解】解：∵ 三角形三边为，，， ∴ ，即． 又∵ ，也就是， ∴ 综合可得． 故选：． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转，得到，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与旋转的性质，解题的关键是利用旋转的性质得到对应角相等，结合平角定义求出相关角的度数． 先由等腰的性质求出的度数；再根据旋转的性质得，结合平角定义求出的度数；最后计算与的差得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 由旋转的性质，得． ∵点在BC的延长线上， ∴． ∴． 故选：B． 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（2025·广东东莞·一模）如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作图是关键． 根据三角形的重心得到，证明，求出，再证明即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接， ∵点为三角形的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2所示，过作于， ∵是的中线， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ． 故选：． 5．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题时要注意三角形的中线和周长的综合应用．先根据的周长求出，再根据三角形中线的定义求得，即可求出结果． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：8． 7．（2025·陕西渭南·一模）如图，为菱形的一条对角线，过点C作于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/56度 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理、等边对等角，先求出，再由菱形的性质可得，由等边对等角可得，最后由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线与面积关系，等腰三角形的判定与性质，如图，延长交的延长线于，过作于，证明，可得，证明，可得，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形面积最大值为， 故答案为： 9．（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 10．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、余弦的定义，解决本题的关键是作辅助线得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到边之间的关系． 11．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图1，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】：（1）__________，__________： 【问题再探】：（2）如图2，过点作． (1)求证：； (2)若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)①见解析；②或 【分析】（1）根据角的平分线的定义，平角定义，外角的性质，三角形内角和定理，角的和计算即可． （2）①延长交于点M，则， 证明，结合，得到，解答即可； ②根据旋转的性质，平行线的判定，分类解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵三个内角平分线交于点O， ∴平分， ∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）①证明：延长交于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：根据前面证明，得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， 如图所示： ∴， ∴， ∴； 如图所示，∵ ∴， 综上所述，的度数或． 12．（2025·宁夏中卫·三模）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null