精品解析：天津市天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

数学试题 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. 40 D. 80 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 6. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，先将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C D. 11. 已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 13. 计算：_____________． 14. 计算：____________． 15. 已知，，若，则实数的取值范围是______． 16 已知，，则__________. 17. 定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为__________. 18. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是______ 三、解答题：本题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 20. 已知函数，，且. （1）求的值； （2）求的定义域； （3）求不等式的解集. 21. 已知函数. （1）求最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 22. 已知二次函数的图象关于直线对称，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值； （3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. 设命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于. 【详解】，的否定是，. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当时，不妨取，，则，所以，“”“”， 另一方面，当时，由不等式的基本性质可得， 所以，“”“”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式及角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】由扇形面积公式可知； ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，角度制与弧度制的互化，属于容易题. 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解最小值 【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6 故选：B 6. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，可判断C，D错误，当时可判断A，B. 【详解】当时，，其在单调递增，C，D错误； 当时，，在单调递减，B错误，A正确. 故选：A 7. 用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，计算端点处函数值，即可求解. 【详解】由于 均为定义域内的单调递增函数，故在单调递增， 故存在，使得 ， 故选：B 8. 已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设幂函数，依次将点，点坐标代入，可得，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案. 【详解】设幂函数，因为点在的图象上， 所以，，即， 又点在的图象上，所以，则， 所以，，， 所以， 故选：B 9. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式和弦化切化简三角函数式，再根据求出的正切，故可求三角函数式的值. 【详解】， 而角终边经过点，故，故， 故选：B. 10. 已知函数，先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解. 【详解】解：先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，则， 故选：A． 11. 已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式． 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增 ， 因为，所以由偶函数性质知 所以，解得：. 故选：C． 12. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析； 【详解】因为， 当时，因为，则， 因函数在上存在最值， 则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，； 当时，； 当时，． 又因为2，因此的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 13. 计算：_____________． 【答案】24 【解析】 【分析】由指数幂运算和对数运算可求. 【详解】． 故答案为：24 14. 计算：____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 15. 已知，，若，则实数取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式，得到集合，由，得，解出的取值范围. 【详解】不等式化简可得， 所以，则， 因为，所以，所以， 即. 故答案为：. 16. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式可求的值. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 17. 定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：1. 18. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由，可得或，画出函数的图象，由图象可知，有3个不等的实根，从而可得有3不等实根，进而可得，求解即可. 【详解】函数的图象如图，且，   令，则，可得或，， 当时，有3个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有3不等实根，所以，解得. 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】（1）定义域为；值域为. （2）最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【解析】 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【小问1详解】 令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. 【小问2详解】 ∵函数中，∴函数最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中， ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 20. 已知函数，，且. （1）求的值； （2）求的定义域； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据的解析式，结合，即可求得； （2）根据对数的真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果； （3）根据对数函数的单调性，结合函数定义域，即可求得不等式解集. 【小问1详解】 由题可知，又因为，即， 所以. 【小问2详解】 由知，， 若使有意义，只须， 解得或， 所以函数的定义域为或. 【小问3详解】 由对数函数的单调性可得： 由，解得或， 由，解得， 所以或， 不等式的解集为或. 21. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，由此求得的最小正周期和对称中心. （2）利用整体代入法求得的单调递增区间. （3）由，转化为求三角函数的值域来求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为， 令，，解得，，， 所以函数的对称中心为，. 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 当时，，故， 所以，即，故实数的取值范围为. 22. 已知二次函数的图象关于直线对称，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值； （3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的零点，再结合双根式可求函数的解析式； （2）就对称轴的位置分类讨论后可得的最小值； （3）先求出的最小值，从而可得在上有解，利用参变分离结合基本不等式可求参数的取值范围. 【小问1详解】 二次函数的图象关于直线对称，且在轴上截得的线段长为4， 故的零点为，故设， 而，故，故. 【小问2详解】 ， 当即时，； 当即时，； 当时，， 故. 【小问3详解】 ， 当时，，而，故， 而任意，总存在，使得成立， 故在上有解，故在上有解， 当时，不成立； 当时，有在上有解， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立，而， 故，故即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $