内蒙古包头市青山区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年内蒙古包头市青山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为(    ) A. B. C. D. 2.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若，，则菱形ABCD的周长是(    ) A. 24 B. 16 C. 20 D. 32 3.在中，，，则AC的长是(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.已知，那么下列等式中不正确的是(    ) A. B. C. D. 5.一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为(    ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 6.如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，的面积为4，则k的值为(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7.如图，五边形ABCDE，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，若五边形ABCDE的周长为16，则五边形的周长为(    ) A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 8.在平面直角坐标系中，二次函数为常数的图象经过点，其对称轴在y轴左侧，则下列结论正确的是(    ) A. 这个函数图象与x轴有1个交点 B. 这个函数图象的对称轴为直线 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. 这个函数有最小值 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值是        . 10.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流单位：与电阻R的阻值单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为       11.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC的长为1km，BC的长为，则点M，C之间的距离是        12.如图，在边长为6的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为      . 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题8分 计算：； 解方程： 14.本小题10分 北京时间2022年3月23日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：微重力环境下的太空“冰雪”实验，液桥演示实验，水油分离实验，太空抛物实验.观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图. 请根据图中信息，回答下列问题： 共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； 请补全条形统计图； 若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率. 15.本小题8分 某校组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为，B点在A点的南偏东方向处，C点在A点的北偏东方向，，求出检查点B和C之间的距离. 16.本小题14分 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. 求该品牌头盔销售量的月增长率； 若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到5250元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 在的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 17.本小题12分 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作，，CE和DE交于点 求证：四边形ODEC是矩形； 连接AE，交CD于点F，当，时，直接写出EA的长． 18.本小题12分 如图，在学校实践基地矩形MNKL中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，如图，米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且米.根据种植需求规划方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使，用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植牡丹； 第二步：在线段CP上取点不与C，P重合，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E，用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季. 为方便记录划分数据，在图中以点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 求花坛所在抛物线的函数表达式； 若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求DE与CF的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：俯视图为是. 故选： 2.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，，， ，， ，， ， 菱形ABCD的周长 故选： 由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到菱形ABCD的周长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，四条边相等． 3.【答案】A  【解析】解：是直角三角形，，， 为直角三角形的斜边， ， ， 故选： 根据正弦的定义即可解决问题． 本题考查解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、， ，故本选项正确； B、由可得，故本选项正确； C、由得， 可得，整理得，故本选项正确； D、， ，故本选项错误． 故选： 根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析求解即可判断． 本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积并灵活运用是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：设袋中有x个红球的个数 通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是， 估计摸到白球的概率是， ， 解得， 经检验为原方程的解． 答：袋中约有红球的个数为12个． 故选： 设袋中有x个红球的个数，利用频率根据概率得到摸到白球的概率是，则根据概率公式得到，然后求出x即可． 本题考查了利用频率估计概率，当大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 6.【答案】B  【解析】解：设，则， 的面积为4， ， 解得： 故选： 首先表示出BC，AB的长，再利用三角形面积得出k的值． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 7.【答案】A  【解析】解：五边形ABCDE和是以坐标原点O为位似中心的位似图形， 五边形ABCDE∽五边形， 点A，的坐标分别为，， 五边形ABCDE与五边形的相似比为2：3， 五边形ABCDE的周长为16， 五边形的周长24， 故选： 根据位似图形的概念得到五边形ABCDE∽五边形，根据题意求出相似比，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：由题意可得： ， 解得：或， 对称轴在y轴左侧， ， 解得：， ， 解析式为， ， 抛物线与x轴没有交点，故A错误，不符合题意； 而对称轴为直线，故B错误，不符合题意； ，对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而增大，故C错误，不符合题意； ，开口向上， 当时，这个函数有最小值，正确，符合题意． 故选： 根据二次函数为常数的图象经过点，则把代入求出函数解析式，再根据的图象与性质分别判断各选项即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式；解题的关键在于求出函数解析式． 9.【答案】2  【解析】解：由题意得：把代入一元二次方程中得：， 解得：， 故答案为： 根据题意可得：把代入一元二次方程中得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10.【答案】2  【解析】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ， 当时， 故答案为： 先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的I的值即可． 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 11.【答案】  【解析】解：由题意得：， ， 的长为1km，BC的长为， ， 点M是AB的中点， ， 点M，C之间的距离是， 故答案为： 先在中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P， ，， ， ， 四边形ABCD是正方形， ， ， 四边形ABPM是矩形， ， ， 为BE的中点， ， 在与中， ， ≌， ， ， ，， ， ， ， 故答案为： 过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，根据正方形的性质得到，推出四边形ABPM是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 13.【答案】  ，  【解析】解：原式 ； ， ， ， 或， ， 根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的意义以及二次根式的运算法则计算即可； 先将原方程进行变形，再用分解因式法解方程即可． 本题考查的知识点是实数的运算以及解一元二次方程，掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的运算法则和解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键． 14.【答案】，； 的人数为：人， 的人数为：人， 补全条形统计图如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， 抽到的学生恰好是一男一女的概率为  【解析】解：共调查的学生人数为：名， 图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； 的人数为：人， 的人数为：人， 补全条形统计图如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， 抽到的学生恰好是一男一女的概率为 由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题； 求出D、C的人数，即可解决问题； 画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15.【答案】  【解析】解：过点A作，垂足为 ， ， ， ， ， ， 依题意，， 则， ， ， 过点A作，垂足为D，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 本题主要考查解直角三角形的方位角应用，构造直角三角形正确进行计算是解题关键． 16.【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为  该品牌头盔的实际售价应定为45元  当时，w最大，最大利润为6250元  【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为400个，售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：不合题意，舍去，， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元； 设利润为w，则 ， 当时，w最大，最大利润为6250元． 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 根据月销售利润=每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论； 设利润为w，则，根据二次函数的性质，即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程或二次函数解析式． 17.【答案】证明：，， 四边形ODEC是平行四边形． 又菱形ABCD， ， 四边形ODEC是矩形． 解：中，， ， ，， ，，   【解析】先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形． 根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． 18.【答案】；   DE的长为4米，CF的长为2米  【解析】如图②， 所在直线是AB的垂直平分线，且， ， 点B的坐标为， ， 点P的坐标为， 点P是抛物线的顶点， 设， 点在抛物线上， 解得：， ； 点D，E在抛物线上， 设点E的坐标为， ，交y轴于点F， ，， ， 在中，，， ， ，根据题意，得， ， 解得：，不符合题意，舍去， ， ，， 答：若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，DE的长为4米，CF的长为2米． 建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； 在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解． 本题考查的是二次函数的运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $