专题01 相交线（6大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题01 相交线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、对顶角、邻补角的识别 1 题型二、对顶角、邻补角性质的综合 3 题型三、作平行线、垂线 6 题型四、点到直线的距离 11 题型五、利用垂线的定义求角的度数 13 题型六、同位角、内错角、同旁内角的辨别 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、对顶角、邻补角的识别 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 根据对顶角的定义作出判断即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有D选项的是对顶角，其它都不是． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·新疆和田·月考）如图，与互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角的概念，掌握邻补角的概念，数形结合分分析是关键． 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， ∴符合题意， 故选：D ． 题型二、对顶角、邻补角性质的综合 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由邻补角的定义可得的度数． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，， ． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由邻补角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由邻补角的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，， ， 平分， ， ． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 【详解】（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 8．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，垂足为，求的度数； (2)若平分． ①求证：； ②当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义． （1）利用对顶角相等求得，利用角平分线的定义求得，再利用余角的性质求解即可； （2）①设，则，再利用邻补角的性质求得，再利用角平分线的定义证明即可；②设，求得，利用平角的性质得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：设， ∵平分， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型三、作平行线、垂线 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，在网格中找出特殊的格点，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，使得等于直线与网格水平线形成的锐角，再根据角度运算可得，即可得到． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了画线段，平行线，垂线，垂线段最短的性质以及平行线的性质． （1）根据网格特征即可作图； （2）根据垂线段最短即可求解； （3）根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段，直线，直线即为所求； （2）解：由垂线段最短可得， 故答案为：，垂线段最短； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)、；，垂线段最短 【分析】此题考查了作图−平行线；作图−垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念， （1）根据作图-平行线，结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线，结合题意画图即可求解； （3）根据邻补角的定义、平行线的性质、垂线段最短等即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图， 与互补的角是、， ∵， ∴， ∵与是邻补角， ∴， ∴与互补的角是、， 由图可知，，理由垂线段最短． 故答案为：、；，垂线段最短． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． (1)过点作的垂线，垂足为点； (2)过点作的平行线（点、在点的异侧，点在点上方）； (3)是线段与网格线的交点，连接、． 写出的同旁内角 ； 写出与相等的角 ； 比较线段的大小： ， ．（填“＞”、“＝”、“＜”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；；． 【分析】此题考查了作图平行线；作图垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念， （1）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （3）根据同旁内角的定义、线段的比较、角结合题意填空即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）的同旁内角为． ， ∴， 与相等的角为． 由图可知，，． 故答案为：；；；． 题型四、点到直线的距离 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 14．如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 15．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 题型五、利用垂线的定义求角的度数 17．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 18．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角和邻补角、垂直、角平分线，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）根据对顶角和邻补角的定义即可得； （2）先根据垂直的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，则可得，然后根据对顶角相等即可得； （3）先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：的对顶角是， ∵， ∴与互为邻补角， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 由对顶角相等得：． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 20．（24-25七年级下·吉林白城·月考）【问题背景】直线，相交于点，（在的逆时针方向），的平分线在直线上． 【数学理解】（1）如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，写出的度数（用含的代数式表示）． 【构建联系】（2）如图2，平分，若，写出的度数． 【总结应用】（3）如图2，平分，若，写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角和邻补角的性质，掌握垂线的定义，角平分线的定义，对顶角和邻补角的性质是解本题的关键． （1）①首先由得出，再根据邻补角定义得出，接着利用角平分线的定义得到，然后依据对顶角相等得到，最后通过即可计算出的度数； ②同样先由得出，再根据邻补角定义得出，接着利用角平分线的定义得到，然后依据对顶角相等得到，最后通过即可计算出（用含的代数式表示）； （2）先根据邻补角的定义求出，再由平分得出，最后根据得出的度数； （3）同样先根据邻补角的定义求出，再由平分得出，再根据得出的度数，最后利用平角的定义即可得出． 【详解】（1）①解：， ， ，， ， 平分， ， 直线，相交于点， ， ， ； ②解：当时， ， ， ， 平分， ， 直线，相交于点， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 题型六、同位角、内错角、同旁内角的辨别 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 22．（25-26七年级下·全国·单元测试）几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的定义和运用．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答． 【详解】解：A、与不是同位角，故该选项不符合题意； B、与不是同位角，故该选项不符合题意； C、与不是同位角，故该选项不符合题意； D、根据同位角的定义可知D选项中与在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角． 故选：D 23．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 24．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东滨州·月考）如图，直线和相交于点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平角的性质、垂直的性质，解题的关键是利用垂直得到直角，再结合角的和差关系计算． 先由得，再结合，求出． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，在直角三角形中，，，， ，，则下列说法中，正确的序号有 （          ） ①点A到的距离是；②点B到的距离是；③点C到的距离是；④点B到的距离是． A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．根据面积公式求得的长度，再根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A到的距离是，①的说法错误； 点B到的距离是，②的说法正确； 点C到的距离是，③的说法正确； ④点B到的距离小于的长，不可能是，④的说法错误． 综上，正确的有②③， 故选：C． 4．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知直线和相交于点O，平分，，则下列结论中：①；②；③；④．正确的为（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角、角的概念、角平分线的定义，灵活运用以上知识点是解题的关键． 先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差求出，进而求出的度数，最后利用角的和差求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①②③正确． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·河南·月考）如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与互为邻补角， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是直线上的一点，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，关键是根据图形得出．根据邻补角的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 故答案为：127． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 10．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，直线、相交于点，． (1)直接写出图中的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是对顶角，邻补角的定义，角的和差运算，垂直的定义． （1）根据对顶角与邻补角的定义可得答案； （2）根据邻补角的定义得，根据得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ， ． 12．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线与相交于点，且平分． (1)若，求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，以及角之间的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）先根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）先根据求出，然后再根据求解即可． 【详解】（1）， ． 平分， ； （2），， ． ， ， ． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)＜，垂线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可； （4）因为直线，所以，再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题； （5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可． 【详解】（1）解：直线如图所示： （2）解：的垂线段如图所示： （3）解：直线如图所示： （4）点到直线的距离是线段的长度 （5）解：点A到直线的距离是线段的长度，因为垂线段最短，所以， 故线段和线段长度的大小关系为：，理由：垂线段最短． 14．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线AB，CD相交于点，，垂足为O，OE平分． (1)若，求的度数； (2)若，则_____（用含的式子表示）； (3)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义，邻补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可； 【详解】（1）解： ， 平分 ， ， ， 的度数为； （2）平分，， ， ， 故答案为：． （3）设，则， 平分 ， ， ， 解得：， ， ， 的度数为． 15．（23-24七年级下·北京密云·期末）如图，为钝角，过点C作的垂线与的平分线交于点E，射线在内部，且．    (1)设，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点C作，垂足为F． ①求证：平分； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，则可求出，由垂线的定义可得，则； （2）①设，则，由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，则平分；②设，由（1）可得，由（2）①可得， 即可证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴平分；    ②，证明如下： 设， 由（1）可得，由（2）①可得， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、对顶角、邻补角的识别 1 题型二、对顶角、邻补角性质的综合 3 题型三、作平行线、垂线 6 题型四、点到直线的距离 11 题型五、利用垂线的定义求角的度数 13 题型六、同位角、内错角、同旁内角的辨别 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、对顶角、邻补角的识别 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·新疆和田·月考）如图，与互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 题型二、对顶角、邻补角性质的综合 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 8．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，垂足为，求的度数； (2)若平分． ①求证：； ②当时，直接写出的度数． 题型三、作平行线、垂线 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． (1)过点作的垂线，垂足为点； (2)过点作的平行线（点、在点的异侧，点在点上方）； (3)是线段与网格线的交点，连接、． 写出的同旁内角 ； 写出与相等的角 ； 比较线段的大小： ， ．（填“＞”、“＝”、“＜”） 题型四、点到直线的距离 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 14．如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 15．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 题型五、利用垂线的定义求角的度数 17．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 18．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线． (1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角； (2)若，射线平分，求的度数； (3)若，求的度数． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 20．（24-25七年级下·吉林白城·月考）【问题背景】直线，相交于点，（在的逆时针方向），的平分线在直线上． 【数学理解】（1）如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，写出的度数（用含的代数式表示）． 【构建联系】（2）如图2，平分，若，写出的度数． 【总结应用】（3）如图2，平分，若，写出的度数（用含的代数式表示）． 题型六、同位角、内错角、同旁内角的辨别 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·全国·单元测试）几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 24．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 2．（24-25七年级下·山东滨州·月考）如图，直线和相交于点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，在直角三角形中，，，， ，，则下列说法中，正确的序号有 （          ） ①点A到的距离是；②点B到的距离是；③点C到的距离是；④点B到的距离是． A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 4．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知直线和相交于点O，平分，，则下列结论中：①；②；③；④．正确的为（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 6．（24-25七年级下·河南·月考）如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 7．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是直线上的一点，，则 度． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 10．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，直线、相交于点，． (1)直接写出图中的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，求的度数． 12．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线与相交于点，且平分． (1)若，求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求的度数． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 14．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线AB，CD相交于点，，垂足为O，OE平分． (1)若，求的度数； (2)若，则_____（用含的式子表示）； (3)若比大，求的度数． 15．（23-24七年级下·北京密云·期末）如图，为钝角，过点C作的垂线与的平分线交于点E，射线在内部，且．    (1)设，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点C作，垂足为F． ①求证：平分； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $