专题03 乘法公式（9大题型）（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题03 乘法公式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否可用乘法公式运算 1 题型二、求完全平方式中的字母系数 3 题型三、乘法公式的运算 4 题型四、乘法公式中的化简求值问题 7 题型五、利用乘法公式进行简便运算 10 题型六、通过对完全平方公式变形求值 12 题型七、乘法公式中的新定义型问题 14 题型八、平方差公式在几何图形中的应用 19 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否可用乘法公式运算 1．（25-26八年级上·四川凉山·月考）下列各式中，能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为，需找出选项中两个二项式乘积符合此形式者，即可求解． 【详解】解：选项A∶，不符合平方差公式 选项B∶，不符合平方差公式 选项C∶ ， 符合平方差公式； 选项D∶，不符合平方差公式 故选：C． 2．（25-26八年级上·天津宁河·月考）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的结构特点，不符合题意； B、，不符合平方差公式的结构特点，不符合题意； C、，符合平方差公式的结构特点，符合题意； D、，不符合平方差公式的结构特点，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算结果正确的是（  ） A． B． C．． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边对比，判断等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、由于，则A错误； 选项B、，则B正确； 选项C、，则C错误； 选项D、，则D错误； 故选：B． 题型二、求完全平方式中的字母系数 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若是一个关于x的完全平方式，则k的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式；将表达式与完全平方公式对比，根据一次项系数求出常数项的值. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴它可以写成， ∴比较系数，得，解得. ∴. 故答案为：9. 6．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方式的结构特征，常数项为16，可确定一次项系数的可能值，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为16， ∴一次项系数应满足，即， 当时，解得， 当时，解得； 故a的值为1或； 故答案为1或． 7．（25-26八年级上·福建莆田·期中）若关于的多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解完全平方公式有和与差两种形式是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，建立关于k的方程求解． 【详解】解：由于多项式 是完全平方式，可设其等于 ， 比较系数，一次项系数为，因此有 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 两种情况下，常数项 ， 又常数项为 ，故 ， 解方程得 或 ，即 或 ． 故答案为：7或． 8．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 题型三、乘法公式的运算 9．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，平方差公式等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其解题方法； （1）先去括号，根据平方差公式，单项式乘多项式最后合并同类项即可； （2）先去括号，根据完全平方公式，平方差公式最后合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式. 10．（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 11．（25-26八年级上·天津和平·月考）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式及整式的加减，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算整式的加减即可得答案； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东临沂·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，正确进行计算是解题的关键． （1）先进行同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，然后进行合并同类项； （2）利用完全平方公式进行简化运算即可； （3）先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可； （4）先构造平方差公式，然后利用平方差公式进行运算，再运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， 题型四、乘法公式中的化简求值问题 13．（25-26八年级上·海南海口·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，计算除法，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 14．（25-26八年级上·广东江门·月考）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和多项式乘以多项式法则． 根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和多项式乘以多项式法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15．（2026七年级上·重庆·专题练习）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】； 【分析】本题考查完全平方公式的运用，平方数的非负性以及整式的混合计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由，进行变形得，求出、的值，再对原式进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， 解得，， 将，代入， 原式 16．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 【答案】任务一：①；②一 ，的展开式在去括号时符号错误；任务二：过程见解析；任务三：见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 任务一：①根据完全平方公式即可得出答案；②根据去括号法则即可得出答案； 任务二：根据整式的混合运算顺序解答即可； 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号 【详解】解：任务一：①第一步运算中用到的乘法公式为； ②以上步骤第一步出现了错误，错误的具体原因是：的展开式在去括号时符号错误； 故答案为：一 ；的展开式在去括号时符号错误； 任务二： ． 当，时，原式． 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号（答案不唯一）． 题型五、利用乘法公式进行简便运算 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算的简便计算，掌握平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行简便计算； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)9991 (2)10000 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 19．（2026七年级上·重庆·专题练习）用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)255 【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为，即可利用完全平方公式进行计算； （2）将原式视为，再将变形为，依次利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握公式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型六、通过对完全平方公式变形求值 21．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， 22．（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1)28 (2)22 【分析】本题考查代数式求值，利用完全平方公式变形计算，熟练掌握整体代入法，完全平方公式是解题的关键： （1）整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 23．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式，得到，代值计算即可； （2）根据，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)52； (2)； (3)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 题型七、乘法公式中的新定义型问题 25．（24-25八年级上·四川眉山·期末）我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)若可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； (2)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)拓展结论：已知x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)13，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （2）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （3）由条件可得，两边加上，可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】（1）解：， ∵可配方成， ∴，， ∴； 故答案为：2； （2）解： ， 当S为完美数时， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， 即的最小值为4． 26．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1) 3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，然后根据完全平方公式变形计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． （3）解：①原式 ， ，， ； ②由题意得：， ， 四边形的面积为， ， 解得：． 28．（25-26八年级上·福建泉州·月考）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”． 理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你判断是否为“完全数”__________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为____________； 探究问题： （3）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． （4）已知实数，满足，求的最小值． 【答案】（）是；（）；（）；（）的最小值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，代数式求值，掌握公式的形式是解题的关键． （）根据“完全数”即可求解； （）由，得，，然后代入即可求解； （）得，然后根据“完全数”即可求解； （）由，得，则有，从而可求的最小值． 【详解】解：（）∵， ∴是否为“完全数”， 故答案为：是； （）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （） ， ∵为“完全数”， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型八、平方差公式在几何图形中的应用 29．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_______． (2)利用你得到的公式，计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)2026 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：图2中长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， ∵图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图1和图2阴影部分的面积相等， ∴． 故答案为：． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 30．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 31．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 32．（20-21七年级下·陕西西安·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)B (2)①；②127 【分析】此题考查了平方差公式的应用． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式即可得到得到答案；②利用平方差公式得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：因为图1中阴影部分的面积等于，图2是长为，宽为得长方形， ∵图2是由图1中的阴影部分拼成的， ∴， 故选：B； （2）解：①由（1）得， ∵ ∴， ∵， ∴. ② ∵， ∴． 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 33．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 34．（25-26八年级上·山东日照·月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： (1)①若，，则______， ②若，求的值； (2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 【答案】(1) ① ② (2)阴影部分的面积和为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键． （1）①根据，代入求值即可； ②类比①可得，，代入求值即可； （2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可． 【详解】（1）解：①； ② 类比①可得， ； （2）解：设正方形边长为m，正方形的边长为n， 由题意可知，，，即， 两个正方形的面积之和为， 空白面积为， ∴阴影部分的面积和为． 35．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； (3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)方法1：；方法2： (3) (4)17 【分析】本题考查了代数式的几何意义，完全平方公式的应用，用两种不同的方法表示同一图形的面积是解题的关键． （1）直接写出阴影部分的正方形的边长即可； （2）按题目要求回答即可； （3）根据（2）问中的两个结论用等式表示出来即可； （4）结合图形，通过图形拼补即可表示出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图1中每个小长方形的长为宽为，图2中阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，即， 故答案为：； （2）解：方法1：直接用正方形面积公式，边长为，面积为； 方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积．大正方形边长为，面积为；4个小长方形面积为,因此阴影面积为； 故答案为：，； （3）解：由阴影面积的两种表示方法，可得：； 故答案为：； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ， ， ∵， ∴， ， ∴阴影部分面积． 36．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第38页的部分内容． 观察图，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 用等式表示图中图形的面积的运算为_____． 【类比探究】观察图①，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_____． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若，则_____； （2）若满足，求的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为_____． 【答案】【教材呈现】包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形；； 【类比探究】； 【尝试应用】（1）；（2）； 【拓展延伸】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解题意，数形结合得到是解决问题的关键． 【教材呈现】由图直接分析它包含哪些长方形和正方形，再由图形的拆解过程可得图中图形的面积运算情况； 【类比探究】由【教材呈现】中得到的，恒等变形即可确定图①中阴影部分图形的面积和； 【尝试应用】（1）由【类比探究】知，两个正方形的面积和为，将题中代入计算即可得到答案； （2）采用换元法，令，，则，再根据代值计算即可得到答案； 【拓展延伸】如图所示，设，，根据题意得到，再将恒等变形得到，将代入计算即可得到答案． 【详解】【教材呈现】解：如图所示： 包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形； 用等式表示图中图形的面积的运算为：； 故答案为：； 【类比探究】解：如图所示： 由【教材呈现】知，， 两个正方形的面积和为：， 故答案为：； 【尝试应用】（1）解：由【类比探究】知，两个正方形的面积和为：， ， ； 故答案为：10； （2）解：令，， ， ， ， 则， ； 【拓展延伸】解：如图所示： 设，， ， ， 种花区域的面积和为， ， 则， 种草区域的面积和为： ， ， ， 则种草区域的面积和为， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握“平方差公式适用于两个二项式相乘、且一项相同、一项互为相反数”是解题的关键． 根据平方差公式的适用条件（两个二项式相乘，一项相同、一项互为相反数），逐一判断选项． 【详解】解：A：，是相同项，与是相反项，符合平方差公式； B：，不符合平方差公式； C：，不符合平方差公式； D：，无相同项或相反项，不符合平方差公式； 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方式的定义，多项式可表示为的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：是完全平方式， 可表示为， 比较系数，得：，， 或， 当时，或， 当时，或， 综上所述，或， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山西·月考）已知，则的值为（    ） A．13 B．10 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值，利用整体思想解题是关键．利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 【答案】B 【分析】先化简“奇差数”的表达式，得到，即“奇差数”是 8 的倍数，再验证各选项是否能被 8 整除． 本题考查了平方差公式的应用，化简是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ “奇差数”是 8 的倍数. A. ，不能被 8 整除； B. ，能被 8 整除； C. ，不能被 8 整除； D. ，不能被 8 整除. ∴ 只有 88 是“奇差数”． 故选 B． 5．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（    ） A．4 B．9 C．13 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，列代数式，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，得整理得，即可作答． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴ 则， 即， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东汕头·月考）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式．第一个表达式使用平方差公式计算；第二个表达式使用完全平方公式计算，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：，， 故答案为：，． 7．（2025八年级上·山东济宁·专题练习）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平方差公式，准确的计算是解决本题的关键． 利用平方差公式将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：5． 8．（25-26七年级上·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京·月考）图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西赣州·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 ． 【答案】，，，或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式添加一个单项式后需满足的形式．通过比较系数和项数，得出可能添加的单项式． 【详解】解：∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； 综上，多项式添加，，，或可构成完全平方式， 故答案为：，，，或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； （3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案； （4）根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）先化简，再求值 (1)，其中 (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）先计算多项式的乘法和完全平方公式，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可； （2）先计算乘法公式，单项式乘以多项式，再合并同类项，然后计算除法，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）将式子运用平方差公式进行变形，结合零指数幂即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）运用平方差公式进行变形计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ； （3），， ． 15．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·月考）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 16．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则 ； ②若，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）①21；②7；（3）一块直角三角板的面积为30 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式等知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①由，则，即，然后代入计算即可；②由可得，即，然后将代入计算即可； （3）设，，由题意可得：，再由求出的值即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）①∵， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． （3）设，， ，， ， ∴， ，即， ，答：一块直角三角板的面积为30． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03乘法公式 目录知 A题型建模·专项突破 题型一、判断是否可用乘法公式运算.1 题型二、求完全平方式中的字母系数… 题型三、乘法公式的运算…。 3 .4 题型四、乘法公式中的化简求值问题… .7 题型五、利用乘法公式进行简便运算。 .10 题型六、通过对完全平方公式变形求值 .12 题型七、乘法公式中的新定义型问题 .14 题型八、平方差公式在几何图形中的应用… 19 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用… .24 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、判断是否可用乘法公式运算 1.(25-26八年级上四川凉山月考)下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.（-x+yy-x B.+y (-x-y) C.(-x+y)(-x-y) D.（-x+yx-y 2.(25-26八年级上·天津宁河·月考)下列能用平方差公式计算的是() A.(-a+b)(a-b) B.x+2)(2+x c. D.（x-2)(1+x 3.(24-25八年级上江西南昌期末)下列各式中，能用完全平方公式计算的是() A.2a-3b(-2a-3b B.(a+3b)(a+3b) C.(a-3b)(a+3b D.(3a-4b)(4a+3b 4.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)下列计算结果正确的是（) A.（x+2)(x-2)=x2-2 B.-a-2)(a-2=4-a2 C.(a+b)2=a2+b2. D.(a-b)2=a2-ab+b2 题型二、求完全平方式中的字母系数 5.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)若x2-6x+k是一个关于x的完全平方式，则k的值为」 6.(25-26八年级上陕西榆林月考)若x2-4(a+1x+16是一个完全平方式，则a的值为 7.（25-26八年级上·福建莆田期中)若关于x的多项式x2-12x+(k-1)是完全平方式，则k的值为」 8.(25-26八年级上四川眉山月考)已知4x2+你+9是一个完全平方式，那么k的值为」 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为， 题型三、乘法公式的运算 9.(25-26八年级上·全国期末)计算： (1)(x+3)x-3)-xx-2 (2)(2a-b)'+(a+b)(a-b) 10.(25-26八年级上·天津月考)计算： (0)(3x+2(3x-2-5xx-1-(x-12 (2(a-2b+c (3)(a+b-2c)(a-b-2c) 11.(25-26八年级上·天津和平.月考)运用乘法公式计算： (1)川x+3)+(2x-3)(2x+3-5x2: (2)x+2y-3)x-2y+3). 12.(25-26八年级上山东临沂·月考)计算： ()x2x2x+(x3--2x2x (2)186.72-2×186.7×86.7+86.72 (3)2x+3y)2-(2x+y)(2x-y) (4)(a+2b+3c(a+2b-3c 题型四、乘法公式中的化简求值问题 13.(25-26八年级上海南海口·月考)先化简，再求值：[2y3x+y)-(x-2y)2+2y2]÷(2x),其中x=-2, y=1. 14.(25-26八年级上·广东江门月考)先化简，再求值： [a-bj(2a+50+(2b-a(a+2b)-(a-2b](-2b),其中a=-2,b= 2 15.(2026七年级上·重庆，专题练习)先化简，再求值： [x+3-5x+2(x-)-3y+2x-y(2x+列](-2列，其中x,y满足(x-12+y2+6y+9=0. 16.(25-26八年级上山西吕梁月考)阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： (2x+y2x-)-(2x-3y)]÷(-2y列，其中x=1,y=2 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：原式=4x2-y2-4x2-12xy+9y2)÷(-2y)第一步 =(-12xy+8y2)÷(-2y)第二步 =6x-4y.第三步 当x=1,y=-2时，原式=14.第四步 任务一： ①第一步运算中(2x-3y)2用到的乘法公式为 (用含字母a,b的式子表示) ②以上步骤第 步出现了错误，错误的具体原因是 任务二：请写出正确的解答过程 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议. 题型五、利用乘法公式进行简便运算 17.(25-26八年级上·全国单元测试)利用因式分解计算： (1)3.62-5.62: (2)40×3.52+80×3.5×1.5+40×1.52. 18.(2025八年级上·河北邯郸·专题练习)运用乘法公式简便计算： (1)103×97; (2)1882-376×88+882 19.(2026七年级上·重庆·专题练习)用乘法公式进行简便计算. (1)1012-99×202+992; (2)2+1)(22+1(24+1. 20.(24-25七年级下·全国·课后作业)计算： (1)200-400×199+1992. (2)101×99-99.52. 题型六、通过对完全平方公式变形求值 21.(25-26七年级上上海普陀期中)已知ab=2,a+b=5,求： (1)(a-b)2: 2(a2-1(b2-1. 22.(25-26八年级上四川巴中期中)已知a+b=6,ab=7,求下列式子的值： (1)7a+7b-2ab (2)a2+b2 23.(25-26八年级上四川乐山期中)若x+y=4,y=3,求下列各式的值： 3/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2+y2: (2(x-y2-20y. 24.(25-26八年级上湖南长沙.期中)已知m+n=10,mn=24. (1)求m2+n2的值； (2)求m-n的值： (3)若m>n,求m2-3mn-n2的值. 题型七、乘法公式中的新定义型问题 25.(24-25八年级上四川眉山期末)我们定义：一个整数能表示成a2+b2(Q,b是整数)的形式，则称 这个数为“完美数.例如，5是“完美数”.理由：因为5=22+1P,所以5是“完美数” (1)若x2-4x+5可配方成(x-m)+n(m,n为常数)，则m的值为； (2)探究问题：已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条 件的一个k值，并说明理由； (3)拓展结论：己知x,y满足-x2+3x+y-5=0,求x+y的最小值 26.(25-26八年级上北京期中)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项 式x2-2x+3,由于x2-2x+3=(x-1)+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2-2x+3的 值是相等的，例如，当x-1=±1，即x=2或x=0时，x2-2x+3的值均为3；当x-1=±2，即x=3或-1时， x2-2x+3的值均为6. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 就称该多项式关于x=t对称.例如x2-2x+3关于x=1对称， 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-6x+10关于x= 对称： (2)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=4对称，则b的值为 (3)整式(x2+6x+9x2+2x+1关于x= 对称. 27.(24-25七年级下·辽宁丹东期中)对于任意有理数a,b,c,d,定义一种新运算： 「ab1 =a2+d2+bc. c d 2-2 31 (2)对于有理数x,y,若 x k 是一个完全平方式，则k=; xy y (3)对于有理数x,y,若x+y=8,xy=12. 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-y y-x ①求 的值； 3x-y y ②将长方形ABFG和长方形BCDE按照如图方式进行放置，其中点A,B,C在同一条直线上，点E在边 BF上，连接AF,AD,若GF=x,AG=nx,CD=y,BC=y,图中阴影部分的面积为34，求的值. G 28.(25-26八年级上·福建泉州·月考)配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全 平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解 题的有力手段之一。 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a,b是整数)的形式，则称这个数为“完全数”.例如，10是“完全 数”. 理由：因为10=32+12.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数)，所以M也是“完全数”. 解决问题： (1)请你判断40是否为“完全数” (2)若二次三项式x2-4x+8(x是整数)是“完全数”，可配方成(x-m2+n2(m,n为常数)，则m2n的 值为 探究问题： (3)已知S=x2+4y2+2x-12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值. (4)已知实数x,y满足-x2+3x+y-2=0,求x+y的最小值. 题型八、平方差公式在几何图形中的应用 29.(25-26八年级上·甘肃庆阳期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将 剩余部分拼成一个长方形（如图2）. -a 一b 图1 图2 (①)上述操作可以得到一个公式： (2)利用你得到的公式，计算：20252-2024×2026. 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)计算：4050× -0190-4-2024j 1 20252 30.(24-25七年级上·江苏南通期中)如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2 是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.设图1中阴影部分的面积为S,图2中阴影部分面积为S2, a 图1 图2 (1)用含有字母a和b的式子分别表示S,与S2的面积：S=,S2= (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式. ②运用以上等式可以简化一些乘法计算.例如，计算51×49，可作如下变形： 51×49=(50+1)×(50-1)=502-12=2500-1=2499. 运用上述方法计算199×201. 31.(24-25七年级下·安徽宿州月考)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）· a a 图1 图2 ()比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知4m2-n2=12,2m+n=4,求2m-n的值； ②计算：20252-2023×2027. 32.(20-21七年级下·陕西西安期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2）. b 图1 图2 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个) A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.a(a+b)=a2+ab (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y2=12,x+2y=4.求x-2y的值； ②若a2=128,求(a-1(a+1(a2+1(a4+1(a8+1(a6+1的值. 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 33.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)【阅读材料】若x满足(8-x)x-3)=4,求(8-x)2+(x-3)2的值. 解：设8-x=a,x-3=b.则(8-x(x-3)=ab=4,a+b=8-x+(x-3)=5. (8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. 这里用到了完全平方公式的变形： a2+b2=(a+b2-2ab,或2ab=(a+b)2-a2+b2)）, 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： (a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2=(a-b)2+4ab. 【类比探究】解决下列问题： (1)若(n-2022)2+(2026-n)2=4,求(n-2022)(2026-n)的值. 【拓展应用】 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x,E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形 EMFD的面积是24，分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH.求阴影部分的面积 B G F D 34.(25-26八年级上·山东日照·月考)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积 可以验证一些代数恒等式.如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分 别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式(a+b)2=a2+2ab+b2. 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q b G b D 图① 图② 利用上述公式解决问题： (1)①若xy=9,x+y=7,则x2+y2= ②若(7-x(x-1=4,求(7-x)2+(x-1)的值： (②)如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD,DE为边作正方形ABCD、DEFG,连接BG、CG、EG.若 CE的长为10，△CDG的面积为11，求阴影部分的面积和. 35.(25-26八年级上·辽宁大连·期末)通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等 式 图1 图2 图3 如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的 形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_； (②)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： 方法2： (3)观察图2，请你写出(a+b)2、(a-b)、ab之间的等量关系是；-； (4)如图3，点C是线段BG上的一点，以BC,CG为边向两边作正方形ABCD,正方形CEFG,两正方形 的面积分别是S,和S2,若BG=9,两正方形的面积S,+S2=47,求图中阴影部分的面积 36.(25-26八年级上·吉林长春·期末)【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第38页的部分内容 观察图11.33，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图11.3.3 十 用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图①，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 【尝试应用】(1)根据图①所得的等式，若a+b=4,ab=3,则a2+b2= (2)若x满足(9-x)(x-4)=3，,求(9-x+(x-4)的值. 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计 划在ADE和△BCE区域内种花，在△ABE和△CDE的区域内种草，经测量AC=7,种花区域的面积和为 ，则种草区域的面积和为 25 D 花 草 草花 b 图① 图② B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·广东东莞·期中)下列各式中能用平方差公式计算的是() A.（4x-y)(4x+y B.(2-3x)(3x-2 C.m+3n)(-3n-m D.(3a+2b3b-2a 2.(25-26八年级上·云南怒江月考)若关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为() A.3 B.±6 C.9 D.6 3.(25-26八年级上山西月考)已知a+b=2,ab=-3,则a2+b2+4ab的值为() A.13 B.10 C.2 D.-2 4.(25-26八年级上湖北十堰期末)如果一个数a=(2n+1)2-（2n-1)2(n为整数)，那么我们称这个数a 为“奇差数”.下列数中为“奇差数”的是() 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.66 B.88 C.94 D.126 5.(25-26八年级上·山西朔州月考)如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长 为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差.图2是A种 纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为S,=6, S2=15,则(a-b)=() 5 S b 图1 图2 图3 A.4 B.9 C.13 D.16 二、填空题 6.(25-26八年级上广东汕头·月考)计算：（x+2y)(x-2y)= ；（2m+1）2= 7.(2025八年级上山东济宁.专题练习)若x-y=2,x2-y2=10,则x+y= 8.(25-26七年级上·上海普陀·期中)新定义：对于任意四个有理数α、b、c、d,有一种新的运算： C2=z2+dP+bc如果 m -n =(m-2n),那么k=· km 2n 9.(25-26八年级上北京·月考)图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为S.图2是由长 方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为S2.比较S,与S,的大小，则SS,(填“>”、“<”或 =”). a 号b 5 a-b 图1 图2 10.(25-26八年级上江西赣州月考)所谓完全平方式，就是对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使 A=B2,则称整式A是完全平方式.例如：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b),所以 a2+2ab+b2,a2-2ab+b2就是完全平方式.多项式x2+1添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加 的单项式可以是」 三、解答题 11.(25-26八年级上·天津·月考)运用乘法公式计算 (1)(-p+3g); (2)-x-2y)(x-2y 3)[a+(2b+3c][a-(2b+3c]: 10/12