专题01 幂的运算（6大题型）（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01幂的运算 目录 A题型建模·专项突破 题型一、幂的混合运算 题型二、幂的逆运算…。 .3 题型三、幂的运算中化简求值… 题型四、利用幂的乘方比较大小…。 6 7 题型五、幂的运算中的新定义型问题… .11 题型六、零指数幂、负整数指数幂综合计算 …16 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、幂的混合运算 1.(25-26八年级上·河北廊坊·月考)计算： )a5.a3+2a2）-(-a°÷a2）月 (22a3-a2.a0+-2a2）}2÷a2 2.(2025七年级下全国专题练习)(1)计算：a°÷a2.a+(a2)-(-2a月 (2)计算：(x2）x3-(-x2x÷x2 3.(25-26八年级上广西崇左·月考)计算： (0)a2.a3+(-a）÷a; 2)32a2'+a3.a-a÷a2: (3)a5(-a3+a÷a2+-2ay2. 4.(2025七年级下·全国.专题练习)计算： a2(-a）'÷ay': 2)aa'-(-3a4）2+a0÷a2; 3x-y)'÷(y-x)°+(-x-y°÷(x+y)2; 题型二、幂的逆运算 5.(25-26八年级上重庆万州期中)(1)a"=2,d=3,求a2m+m的值； (2)若16=4×22-2,27”=9×3m3,求(m-n2025。 6.(24-25八年级上全国·月考)解答下列问题： 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若3x+4y-3=0,求27.81Ψ的值； (2)已知n为正整数，且x2m=4,求(x3)-2(x2)”的值； 7.(25-26八年级上福建厦门期中)若a"=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n,利用上面的 结论解决下面的问题： (1)如果3×9×27=326，求x的值； (2)己知m=63,n=54,用含m,的式子表示3036 8.(2025七年级上·全国专题练习)尝试解决下列有关幂的问题： (1)若9×27m÷9m=316,求m的值； (2)若24=a2=4,求a+b值； (3)若a=3-1,b9+3,用含a的代数式表示b. 题型三、幂的运算中化简求值 9.(2025七年级下·全国专题练习)先化简，再求值：[5a·a2-(3a)2÷(a2)]÷(2a2)2,其中a=-5. 10.(2025八年级上全国专题练习)先化简，再求值：(ab2-(a2b)°，其中a=6,b2”=8. 1.(23-24七年级下广西贺州月考)化简求值：(a+5-b-3(-ab门，其中，a=1,b=-1. 12.(24-25八年级上广西南宁月考)先化简，再求值：32x2y-x2y）+3xy)-4x2y,其中x=-1, y=1. 题型四、利用幂的乘方比较大小 13.(23-24六年级下山东济南月考)阅读下面的材料： 材料一：比较32和4的大小 材料二：比较28和8的大小. 解：因为4=(22”=22，且3>2，所以32>22， 解：因为82=(2=2，且8>6，所以2>2°，即 即322>4" 28>82 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来 确定两个幂的大小。 确定两个幂的大小。 解决下列问题： (1)比较34,43,522的大小： (2)比较275,450,826的大小. 14.(24-25七年级下·陕西西安期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的 情况下，比较指数（或底数)的大小，如：23>2,5>4，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较27与325的大小，因为270=(3)°=30,30>25，所以 330>325,即2710>325. (1)比较164,64的大小： (2)比较2555,3“，433的大小 15.(22-23七年级下·江苏盐城月考)阅读下面的材料： 材料一：比较32和4的大小 解：因为4=(2”=22，且3>2，所以32>20，即30>4， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小. 解：因为82=2)=2，且8>6，所以2°>2°，即2>82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较3“、43、622的大小： (2)比较8131、2741、91的大小： (3)比较42×510与4°×52的大小 16.(25-26七年级下·江苏泰州·月考)阅读下面的材料： 材料一：比较322和41的大小 解：因为4=(22”=22，且3>2， 所以32>222，即32>41」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小 解：因为82=(2)=2，且8>6， 所以2>2，即28>82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较34、43、522的大小： (2)比较8131271961的大小： (3)比较32×5与310×52的大小. 题型五、幂的运算中的新定义型问题 17.(25-26八年级上重庆合川期中)如果x”=y,那么我们记(x,y)=n.例如：因为32=9，所以 3/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3,9=2. (1)-2,16= ；(2,y)=5,则y= (2)已知(4,2)=a,4,32)=b,求a+b的值： 18.(22-23八年级上广东东莞期中)我们给出以下两个定义：①三角形 ②3×3 n 的方格图 =z×(xmXy") x m 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： 3 2 4 (2)填空： 3 5 3 81 y (3)若 =3 求 2 =1的值. 2y 9 19.(25-26七年级上·上海·期中)阅读材料，并解决问题 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplr,1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前， 直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707-1783)才发现指数与对数之间的联系.我们知道，n个相同的因 数a相乘a·a·…·a记为a,如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28,即log28=3. 一般地，若a”=b(a>0且a≠1，b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为logb,即logb=n.如 34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log81,即1og,81=4. (1)【概念理解】计算下列各对数的值：1og24= ,10g216= ’l0g264= (②)【性质发现】 ①观察1og24、log216、10g264之间满足的关系式是 ②归纳：logM+logN= (a>0,且a≠1，M>0,N>0). ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质am·a”=am+"(m,n是正整数)以及对数的含义说明上述结论。 (3)【拓展延伸】 ①当a>0且a≠1，M>0,N>0时，logM-log。N= 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②计算：l0g36-l0g4= 20.(25-26七年级上北京·期中)【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类 比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2，读作“2的下3次方”，（-3÷(-3)÷-3)÷(-3)记作(-3)4，读作 “-3的下4次方”.一般地，把0÷a÷a÷…÷g(a≠0)记作a,读作“a的下n次方”. ①直接写出计算结果：(-2)，=一，（令= (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？ 例如： 222*22-2x0 拉形式 类比上面的算式，将一个非零有理数a的下次方写成幂的形式是：a,=·(直接写出结果) (3)【结论应用】 己知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：325×32=325+2=32”. 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算625-5×(-)226的值. 6 题型六、零指数幂、负整数指数幂综合计算 21.②525人年级上甘南魔商期末)计第：+x-314(付+-2 2.(2425九年级上澜北十据阶段练习)计第：+--5x-3+月。 23.(25-26八年级上吉林松原期末)计算：-1224+(2025-π)°-32+-2 24.(25-26九年级上湖南长沙期中)计算：←1-{-（π-3.14°+2。 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 5/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上海南海口期中)下列运算中，正确的是（) A.x2.x4=x6B.3x2+2x3=5x3C.(x2）=x D.(2ab)'=6a'b 2.(25-26八年级上·云南昭通·月考)“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉 直径约为0.00000838米.则数据0.00000838用科学记数法表示为() A.8.38x10-7B.8.38×106 C.-8.38×10 D.-8.38×107 3.(24-25七年级下.全国课后作业)若2ab2÷a=2amb",则m,n的值分别为() A.4,0 B.4,2 C.5,2 D.5,0 4.(25-26八年级上黑龙江牡丹江·期末)已知xm=3,x”=2,则x2m-"的值() A.18 B.9 D号 5.(256八年级上全国灵后作业)若a0,定义新运m0a=+a+a,则P的值 1 () A.-3 B.11 C.3 D. 3 4 二、填空题 6。(2526人年级上广东联海期末)计第：(2025-a+（9 7.(25-26八年级上·贵州遵义期末)若5=2,5=3，则代数式53-2y= 8.(23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末)比较大小：35、44、533（用“<”连接) 9.(24-25七年级下，河南郑州月考)定义一种新运算：规定m*n=3”×3".若2*(x+1)=81,则x的值 为 10.(黑龙江省牡丹江市第五课改子联盟2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷)若(x-1)=1,则整数 x的值为」 三、解答题 11.(25-26八年级上全国·期末)计算： 0-+-34+÷- 2a2°(-a‘÷(-a2）月 12.(2324七年缓下江苏宿迁月考)先化简，再求值：。(-b+b),其中a=号b=2. 13.(25-26八年级上吉林期末)(1)已知5=m,5’=n,求5-y的值.（用含m,n的代数式表示） (2)已知3=2,3=4，求32a-b的值， 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(25-26七年级上广东深圳月考)(1)己知a=3,aa'=12,则求a+a的值； (2)若8“=2,8=3，求83a+2b的值 15.(25-26八年级上·吉林长春期末)在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已 知am=4,am+"=20,求a的值.”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 am+"=am·a",所以20=4×a",，所以a"=5. 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若a"=12,am-"=6,求a的值； 、2026 16.(25-26八年级上·河南南阳月考)若am=a（a>0且a≠1，m,n是正有理数)，则m=n.利用该结 论解决下面的问题： (1)如果272x=38,求x的值： (2)如果2+3+2+4=48，求x的值 17.(24-25七年级下·江苏南京·月考)(1)比较35、4“、533的大小； (2)比较811、271、91的大小： (3)已知正数a和b满足a2=2,b3=3,比较a、b的大小. 18.(25-26七年级上福建龙岩·期中)某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据am=b,知道a,m就 可以求b的值.如果知道a,b,可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a"=b,则T(a,b)=m. 例如：若32=9，则T(3,9)=2. (1)填空：T(2,4=-;T(-3,-27=_ (2)若T(4,a=2,Tb,8=3,求T(b,a的值 (3)探索T(2,3),T(2,7)与T(2,21之间的关系，并说明理由 7/7 专题01 幂的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂的混合运算 1 题型二、幂的逆运算 3 题型三、幂的运算中化简求值 6 题型四、利用幂的乘方比较大小 7 题型五、幂的运算中的新定义型问题 11 题型六、零指数幂、负整数指数幂综合计算 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、幂的混合运算 1．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 题型二、幂的逆运算 5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）12；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 6．（24-25八年级上·全国·月考）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 7．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若，，用含a的代数式表示b． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，列代数式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算将原式化为，根据同底数幂的乘除法运算法则得到，再解方程即可； （2）由条件可得，再由平方根的定义求解a，由幂的乘方逆运算得到，再求解b，即可求解的值； （3）先将转换为，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：，， ，， ，， ， 或； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 题型三、幂的运算中化简求值 9．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式， ． ∵，， ∴原式． 11．（23-24七年级下·广西贺州·月考）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（24-25八年级上·广西南宁·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了积的乘方及整式的加减，整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．化简，合并同类项计算，后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型四、利用幂的乘方比较大小 13．（23-24六年级下·山东济南·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可； （2）转化为同指数，，，然后比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 15．（22-23七年级下·江苏盐城·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ， 又∵， ∴． 题型五、幂的运算中的新定义型问题 17．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 【答案】(1)4；32 (2)3 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，本题是新定义型，熟练掌握新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用新定义的规定列式解答即可； （2）利用新定义的规定列式求得，，再代入运算即可． 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：4；32； （2）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 18．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 19．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算． （1）根据除方定义直接计算：，． （2）将除方转化为乘法，推导得． （3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算． 【详解】（1）解：． ． （2）解：． （3）解： ． 题型六、零指数幂、负整数指数幂综合计算 21．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 22．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 23．（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，再进行计算，即可求解． 【详解】解：    ． 24．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）及同类项合并，解题的关键是熟练掌握幂的运算规则和同类项的概念． 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， A、，正确； B、，不是同类项，不能合并，错误； C、，错误； D、，错误． 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：． 故选B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东珠海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加法． 【详解】解：原式． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的运算，利用指数运算的性质，将 转化为同底数幂的除法形式，再结合幂的乘方进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）比较大小：（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和有理数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．通过幂的乘方将指数化为相同形式，然后比较底数的大小． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南郑州·月考）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 10．（黑龙江省牡丹江市第五课改子联盟2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）若，则整数x的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂．分三种情况，结合零指数幂，负整数指数幂解答即可． 考虑方程 中整数 的取值，需分析指数为0时底数非0的情况和底数为1的情况，同时排除负指数无解的情形． 【详解】解：当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，满足题意； 综上所述，整数x的值为0或2． 故答案为：0或2． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．先算乘方，再算乘法，后算加减，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 13．（25-26八年级上·吉林·期末）（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 14．（25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【分析】本题考查求代数式的值，以及同底数幂的乘方、乘法计算，熟练掌握对应公式是解题的关键． （1）将代入，可求得的值，最后求出的值； （2）由变形成，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； 解：（2）∵， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 16．（25-26八年级上·河南南阳·月考）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、及相应的逆运算，解题的关键是将底化相同； （1）将等式左边化成以为底，得出，求解即可； （2）将方程左边提取公因式，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 解得． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得． 17．（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）比较、、的大小； （2）比较、、的大小； （3）已知正数a和b满足，，比较a、b的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查幂的乘法逆运算，同底数幂的逆运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）逆用幂的乘方进行变形，然后根据指数相同的幂的值，底数越大，结果越大可得答案． （2）将，，化为同底数幂，再根据底数为，指数越大，幂越大，进行比较，即可解题． （3）由，，可以得到，，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，即， （2），，． 因为， 所以，即． （3）∵，， ∴，， ∴， 又∵a、b都是正数 ∴． 18．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $