第8章 统计与概率的简单应用（必备知识+3大易错+易错训练）（知识清单）数学苏科版九年级下册

第8章 统计与概率的简单应用 一、调查收集数据的过程与方法 1、调查收集数据的过程与方法．解题关键是掌握收集数据的几种方法：查资料、做实验和做调查。 2、样品数据的应用，熟练掌握利用样品对总体进行估计的方法是解题关键。 3、总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位。 二、折线统计图 1、折线统计图：折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况,可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别. 三、用样本估计总体 1、用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，对总体的估计也就越精确． 2、用样本估计总体，熟记频数=频率×样本容量． 3、抽样调查是实际中经常采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体额情况．否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况． 4、用样本估计总体，熟知“部分÷总体=部分占总体的比”是解题的关键. 四、抽样调查的可靠性 1、抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 2、为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样.样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大. 3、抽样调查，抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调查的作用. 五、游戏的公平性 1、游戏公平性的判断：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 2、判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 六、概率 1、概率＝所求情况数与总情况数之比。 2、概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键。 3、用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。 4、用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求这个事件的概率。 七、求概率 1、几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 2、用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 易错01 统计时忽略样本的代表性 抽样调查中，选取的样本缺乏随机性、容量过小或针对性过强，导致无法用样本数据准确推断总体特征。 方法总结 1. 抽样原则要牢记 - 遵循随机抽样：确保总体中每个个体被抽到的概率相等，避免人为挑选样本（如只调查成绩好的学生判断全校学习情况）。 - 保证样本容量合理：样本容量过小会导致结果偶然性大，需根据总体规模确定合适的样本数量（如调查城市居民消费习惯，样本容量不宜低于500）。 - 兼顾样本广泛性：样本需覆盖总体的不同层次（如调查某产品质量，要抽取不同批次、不同生产时间的产品）。 2. 判断样本是否合理的3个步骤 a. 看抽样方式是否随机，有无主观筛选； b. 看样本是否覆盖总体的所有类型； c. 看样本容量是否能支撑结论的可靠性。 3. 常见错误规避 - 避免“以偏概全”：不能用局部样本推断整体（如仅调查一个班级的视力情况，得出全校学生视力不良的结论）。 - 避免“特殊样本”：拒绝选取具有特殊属性的样本（如调查手机续航，只选重度使用者或只选轻度使用者）。 例1：（2019·湖南邵阳·一模）为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案： 方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游； 方案二：在云龙湖景区随机调查400名游客； 方案三：在戏马台景区随机调查400名游客； 方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客． 在这四种调查方案中，最合理的是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．方案四 易错02 由样本数据计算总体数据时遗漏条件 用样本估计总体时，忽略抽样的前提条件（如抽样是否随机、样本与总体的对应关系）或数据的限定范围（如单位统一、分类标准一致），导致总体估算结果偏差。 方法总结 1. 估算前先验证2个前提 - 验证抽样的合理性：确认样本是随机抽取且具有代表性、广泛性，非随机样本不能用来估算总体。 - 验证样本与总体的关联性：明确样本所属的群体和总体的范围完全匹配（如用九年级学生的身高样本，不能估算全校所有年级学生的身高）。 2. 分步估算的规范流程 1. 计算样本的相关统计量（平均数、百分比、频数等）； 2. 核对样本与总体的条件是否一致（单位、分类、统计口径）； 3. 用“总体数量 = 样本统计量 × 总体规模”进行计算； 4. 结合实际情境判断结果是否合理（如人数必须为整数，需取整）。 3. 常见遗漏条件及规避方案 - 遗漏“抽样比例”：当样本是按特定比例抽取时，需先还原比例再估算，不能直接用 例2：（2026·浙江·模拟预测）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： (1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 易错03 误将频率等同于概率 混淆频率（多次重复试验中某事件发生的次数与试验总次数的比值）和概率（某事件在一次试验中发生的可能性大小，是理论固定值），用试验得到的频率直接代替概率进行计算或推断。 方法总结 1. 明确两者本质区别 - 概率是理论值：只与事件本身和试验条件有关，是固定不变的。 - 频率是试验值：会随着试验次数的变化而波动，试验次数越多，频率越趋近于概率，但不会完全等于概率。 2. 两者的正确使用场景 - 求概率：仅适用于等可能事件，可通过公式直接计算。 - 用频率：当事件不是等可能事件或无法直接计算概率时，可通过大量重复试验，用频率估计概率（如估算某批次产品的次品率）。 3. 规避错误的关键步骤 1. 分析事件是否为等可能事件，判断能否直接计算概率； 2. 若用频率估计概率，需保证试验次数足够多； 3. 描述结论时，区分“频率是多少”和“概率约为多少”，避免混淆表述。 例3：（2025·福建泉州·模拟预测）为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是 ．（单位：块） 一、单选题 1．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学校图书馆孙老师想了解本校学生课外阅读情况，他设计了如下调查表． 不足30分钟 30分钟-1小时 超过1小时 根据上表，他想调查的问题是（    ） A．你每月读多少本书 B．你了解哪些名人名著 C．你每天读书多长时间 D．你喜欢读什么类型的书籍 2．（24-25九年级下·云南昆明·月考）某校对七年级学生的体育成绩进行抽样调查，成绩评定采用四个等级，其中分别代表优秀，良好，合格，不合格．现对抽取的100份数据进行整理与描述，下列结论正确的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是80 B．体育成绩为等级对应的扇形圆心角度数是 C．体育成绩达到优秀等级的学生人数最多 D．若该校七年级共有学生1000人，则估计该校七年级学生体育成绩达到良好及以上的学生有690人 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）小亮收集了全班同学的相关数据，下表为整理的部分数据，其中说法正确的是（    ） 学号 性别 身高 ／cm 体重 ／kg 立定跳远 成绩／cm 美术 成绩 上学采用的 交通方式 1 男 165 44 180 优 步行 2 男 148 36 154 良 自行车 3 女 159 50 165 优 电动自行车 4 男 173 50 172 中 私家车 5 男 164 51 183 优 电动自行车 6 男 164 60 155 良 电动自行车 A．全班同学的性别是定量数据 B．全班同学的美术成绩是定量数据 C．全班同学的体重是定性数据 D．全班同学上学采用的交通方式是定性数据 4．（2025·云南临沧·三模）丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，海拔余米，全城面积达平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是 B．扇形统计图中的为 C．样本中选择公共交通出行的有人 D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人 5．（2025·云南·模拟预测）昆明享有“春城”之美誉，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列四个选项中，错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的为20 C．“自驾”所占扇形圆心角的度数为 D．若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12.5万人 二、填空题 6．（2025·河南郑州·模拟预测）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 7．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）某市为了解中学生的视力情况，随机抽取了500名中学生进行调查并整理样本数据，根据抽样的结果，视力在以上的学生有200名，则该市13000名中学生中，视力在以上的学生人数约为 ． 8．（2025·北京顺义·二模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人． 9．（2025·江西新余·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹤的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是 ． 10．（24-25七年级下·重庆铜梁·期末）某智能家居公司生产了1000台智能音箱．为了解这1000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取10台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下： 响应时间t（秒） 音箱数量（台） 2 5 2 1 根据以上数据，估计这1000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为 台． 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某中学以小元同学所在班级为例，对该班学生最喜爱的各类运动项目的情况进行了调查统计（最喜爱的项目只能选一项），并把调查的结果绘制成了如下图所示的两种不完全统计图，请你根据信息回答下列问题： (1)小元所在的班级共有多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)如果该中学总计有名学生，请你估计全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有多少人． 12．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 13．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）同学们计划在数学周开展“八年级同学最喜爱的球类运动”调查活动，号召同学们重视身体健康，热爱运动．九（1）班同学负责这项工作，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，以便更直观地了解八年级同学最喜欢的球类运动情况． (1)以下是他们调查方案的步骤，请你按照合理的统计工作顺序，将这些步骤进行正确排序填序号 正确顺序是：__________________④ ①以班为单位，调查每位同学最喜欢的球类运动，将各班数据进行整理，并汇总填入统计表． ②根据统计表中的数据绘制条形统计图和扇形统计图． ③设计一个包含“球类运动名称”和“喜欢人数”的统计表． ④根据统计图了解八年级同学最喜欢的球类运动情况，为后续组建球类社团提供依据． (2)请根据统计图中的信息可以算出参加本次调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整． (3)学校打算组建球类社团，请你结合数据提出合理建议． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）万家水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：） 如下： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 整理数据： 质量 数量（箱） 2 1 7 a 3 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 m b (1)表格中___________，___________． (2)求每箱荔枝的平均质量是多少千克？ (3)在荔枝损坏情况的统计中，每箱荔枝损坏的平均数（或平均损坏质量）最能直观反映这组数据的集中趋势。请你帮助该公司估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ 15．（25-26九年级上·河南新乡·月考）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有200名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这200名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． (1)若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，163，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； (2)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为_____度； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 统计与概率的简单应用 一、调查收集数据的过程与方法 1、调查收集数据的过程与方法．解题关键是掌握收集数据的几种方法：查资料、做实验和做调查。 2、样品数据的应用，熟练掌握利用样品对总体进行估计的方法是解题关键。 3、总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位。 二、折线统计图 1、折线统计图：折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况,可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别. 三、用样本估计总体 1、用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，对总体的估计也就越精确． 2、用样本估计总体，熟记频数=频率×样本容量． 3、抽样调查是实际中经常采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体额情况．否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况． 4、用样本估计总体，熟知“部分÷总体=部分占总体的比”是解题的关键. 四、抽样调查的可靠性 1、抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 2、为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样.样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大. 3、抽样调查，抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调查的作用. 五、游戏的公平性 1、游戏公平性的判断：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 2、判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 六、概率 1、概率＝所求情况数与总情况数之比。 2、概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键。 3、用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。 4、用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求这个事件的概率。 七、求概率 1、几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 2、用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 易错01 统计时忽略样本的代表性 抽样调查中，选取的样本缺乏随机性、容量过小或针对性过强，导致无法用样本数据准确推断总体特征。 方法总结 1. 抽样原则要牢记 - 遵循随机抽样：确保总体中每个个体被抽到的概率相等，避免人为挑选样本（如只调查成绩好的学生判断全校学习情况）。 - 保证样本容量合理：样本容量过小会导致结果偶然性大，需根据总体规模确定合适的样本数量（如调查城市居民消费习惯，样本容量不宜低于500）。 - 兼顾样本广泛性：样本需覆盖总体的不同层次（如调查某产品质量，要抽取不同批次、不同生产时间的产品）。 2. 判断样本是否合理的3个步骤 a. 看抽样方式是否随机，有无主观筛选； b. 看样本是否覆盖总体的所有类型； c. 看样本容量是否能支撑结论的可靠性。 3. 常见错误规避 - 避免“以偏概全”：不能用局部样本推断整体（如仅调查一个班级的视力情况，得出全校学生视力不良的结论）。 - 避免“特殊样本”：拒绝选取具有特殊属性的样本（如调查手机续航，只选重度使用者或只选轻度使用者）。 例1：（2019·湖南邵阳·一模）为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案： 方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游； 方案二：在云龙湖景区随机调查400名游客； 方案三：在戏马台景区随机调查400名游客； 方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客． 在这四种调查方案中，最合理的是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．方案四 【答案】D 【分析】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集代表性是解题关键．根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，应在上述四个景区各随机调查400名游客． 故选：D． 易错02 由样本数据计算总体数据时遗漏条件 用样本估计总体时，忽略抽样的前提条件（如抽样是否随机、样本与总体的对应关系）或数据的限定范围（如单位统一、分类标准一致），导致总体估算结果偏差。 方法总结 1. 估算前先验证2个前提 - 验证抽样的合理性：确认样本是随机抽取且具有代表性、广泛性，非随机样本不能用来估算总体。 - 验证样本与总体的关联性：明确样本所属的群体和总体的范围完全匹配（如用九年级学生的身高样本，不能估算全校所有年级学生的身高）。 2. 分步估算的规范流程 1. 计算样本的相关统计量（平均数、百分比、频数等）； 2. 核对样本与总体的条件是否一致（单位、分类、统计口径）； 3. 用“总体数量 = 样本统计量 × 总体规模”进行计算； 4. 结合实际情境判断结果是否合理（如人数必须为整数，需取整）。 3. 常见遗漏条件及规避方案 - 遗漏“抽样比例”：当样本是按特定比例抽取时，需先还原比例再估算，不能直接用 例2：（2026·浙江·模拟预测）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： (1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【答案】(1)83 (2)720人 【分析】本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数， 由条形统计图可得第25，26个数据在组， 而， ∴第25，26个数据为，， ∴中位数为， 故答案为：； （2）解：（人）， 答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人． 易错03 误将频率等同于概率 混淆频率（多次重复试验中某事件发生的次数与试验总次数的比值）和概率（某事件在一次试验中发生的可能性大小，是理论固定值），用试验得到的频率直接代替概率进行计算或推断。 方法总结 1. 明确两者本质区别 - 概率是理论值：只与事件本身和试验条件有关，是固定不变的。 - 频率是试验值：会随着试验次数的变化而波动，试验次数越多，频率越趋近于概率，但不会完全等于概率。 2. 两者的正确使用场景 - 求概率：仅适用于等可能事件，可通过公式直接计算。 - 用频率：当事件不是等可能事件或无法直接计算概率时，可通过大量重复试验，用频率估计概率（如估算某批次产品的次品率）。 3. 规避错误的关键步骤 1. 分析事件是否为等可能事件，判断能否直接计算概率； 2. 若用频率估计概率，需保证试验次数足够多； 3. 描述结论时，区分“频率是多少”和“概率约为多少”，避免混淆表述。 例3：（2025·福建泉州·模拟预测）为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是 ．（单位：块） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率）． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可知：随着累计试验芯片数的增大，良品率测试的频率稳定在， 如果需要425块良品芯片，需要准备的试验芯片数是： （块）， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学校图书馆孙老师想了解本校学生课外阅读情况，他设计了如下调查表． 不足30分钟 30分钟-1小时 超过1小时 根据上表，他想调查的问题是（    ） A．你每月读多少本书 B．你了解哪些名人名著 C．你每天读书多长时间 D．你喜欢读什么类型的书籍 【答案】C 【分析】本题考查了调查问题．根据表格中的时间选项，确定调查问题的核心内容． 【详解】解：表格中的三个选项均为时间范围：“不足30分钟”“30分钟-1小时”“超过1小时”，均与阅读时长相关． 选项C“你每天读书多长时间”直接对应时间段的划分，符合表格设计的目的． 选项A涉及数量而非时间， 选项B、D涉及书籍内容或类型，均与表格中的时间分类无关． 因此正确答案为C． 故选：C． 2．（24-25九年级下·云南昆明·月考）某校对七年级学生的体育成绩进行抽样调查，成绩评定采用四个等级，其中分别代表优秀，良好，合格，不合格．现对抽取的100份数据进行整理与描述，下列结论正确的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是80 B．体育成绩为等级对应的扇形圆心角度数是 C．体育成绩达到优秀等级的学生人数最多 D．若该校七年级共有学生1000人，则估计该校七年级学生体育成绩达到良好及以上的学生有690人 【答案】D 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，样本容量．分别根据样本容量的定义；用360度乘以等级的学生所占的百分比；用总人数乘以成绩达到良好及以上的学生所占的百分比即可． 【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是100，故本选项错误，不符合题意； B、体育成绩为等级对应的扇形圆心角度数是，故本选项错误，不符合题意； C、体育成绩达到良好等级的学生人数最多，故本选项错误，不符合题意； D、该校七年级学生体育成绩达到良好及以上的学生有人，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）小亮收集了全班同学的相关数据，下表为整理的部分数据，其中说法正确的是（    ） 学号 性别 身高 ／cm 体重 ／kg 立定跳远 成绩／cm 美术 成绩 上学采用的 交通方式 1 男 165 44 180 优 步行 2 男 148 36 154 良 自行车 3 女 159 50 165 优 电动自行车 4 男 173 50 172 中 私家车 5 男 164 51 183 优 电动自行车 6 男 164 60 155 良 电动自行车 A．全班同学的性别是定量数据 B．全班同学的美术成绩是定量数据 C．全班同学的体重是定性数据 D．全班同学上学采用的交通方式是定性数据 【答案】D 【分析】本题考查了统计表，掌握相关定义是解答本题的关键． 根据定性数据和定量数据的定义解答即可． 【详解】解：A．全班同学的性别是定性数据，因此选项A不符合题意； B．全班同学的美术成绩是定性数据，因此选项B不符合题意； C．全班同学的体重是定量数据，因此选项C不符合题意； D．全班同学的上学采用的交通方式是定性数据，因此选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025·云南临沧·三模）丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，海拔余米，全城面积达平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是 B．扇形统计图中的为 C．样本中选择公共交通出行的有人 D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人 【答案】A 【分析】本题主要考查了统计图的实际应用，根据统计图的信息关联找出有用的信息是解题的关键；用自驾人数2000除以其所占总人数百分率即可得出样本容量；用单位减去公共交通与自驾的百分比即可得出的值；用样本容量乘以公共交通占总人数的百分率即可得出实际人数；用万人乘以自驾人数占样本容量的百分率即可得出实际人数，按照以上方法依次求出答案，然后进一步对比即可． 【详解】解：A：本次抽样调查的样本容量是，选项A错误； B：扇形统计图中，选项B正确； C：样本中选择公共交通出行的人约有：（人），选项C正确； D：万游客中选择自驾方式出行的约有：（万人），选项D正确． 故选：A． 5．（2025·云南·模拟预测）昆明享有“春城”之美誉，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列四个选项中，错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的为20 C．“自驾”所占扇形圆心角的度数为 D．若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12.5万人 【答案】B 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求扇形统计图圆心角，用样本估计总体， 根据坐火车的人数与所占比例求出样本容量，即可判断A；用了坐飞机的人数除以样本容量即可求出坐飞机的百分比，即可判断B；用自驾的百分比乘以360度即可求出圆心角，即可判断C；用50万人乘以乘飞机的百分比即可求出选择飞机出行的人数，即可判断D． 【详解】解：A、样本容量为，正确，不符合题意； B、，则m的值为25，原说法错误，符合题意； C、“自驾”所占扇形圆心角的度数为，正确，不符合题意； D、若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，选择飞机出行的约有（万人），正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（2025·河南郑州·模拟预测）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率．解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为（）． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）某市为了解中学生的视力情况，随机抽取了500名中学生进行调查并整理样本数据，根据抽样的结果，视力在以上的学生有200名，则该市13000名中学生中，视力在以上的学生人数约为 ． 【答案】5200 【分析】本题主要考查用样本估计总体，掌握用样本估计整体的思路成为解题的关键． 用总人数乘以样本中视力不低于的人数占被调查人数的比例即可． 【详解】解：估计该区13000名初中学生视力不低于的人数是． 故答案为5200． 8．（2025·北京顺义·二模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人． 【答案】750 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体． 用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：750． 9．（2025·江西新余·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹤的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是 ． 【答案】②→④→③→① 【分析】此题考查了折线统计图，调查收集数据的过程与方法，以及统计表，统计的步骤大致为：数据的收集，数据的整理，绘制统计图，分析统计图．根据数据的收集与整理顺序判断即可． 【详解】解：统计步骤应为： ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ④整理每年到公园过冬的东方白鹤的数量，并制成统计表； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势． 则统计步骤正确的是②→④→③→①． 故答案为：②→④→③→①． 10．（24-25七年级下·重庆铜梁·期末）某智能家居公司生产了1000台智能音箱．为了解这1000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取10台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下： 响应时间t（秒） 音箱数量（台） 2 5 2 1 根据以上数据，估计这1000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为 台． 【答案】700 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用1000乘以样本中音箱中响应时间小于1秒的音箱数量占比即可． 【详解】解：台， 则这1000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为700台， 故答案为：700 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某中学以小元同学所在班级为例，对该班学生最喜爱的各类运动项目的情况进行了调查统计（最喜爱的项目只能选一项），并把调查的结果绘制成了如下图所示的两种不完全统计图，请你根据信息回答下列问题： (1)小元所在的班级共有多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)如果该中学总计有名学生，请你估计全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有多少人． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键． （1）利用喜欢跳绳的人数除以其所占班级总人数的百分比即可求出结论； （2）利用班级总人数减去喜欢跳绳、乒乓球和其它的人数即可求出喜欢篮球的人数，然后补全条形统计图即可； （3）先求出最喜欢参加篮球和最喜欢乒乓球所占百分比再乘即可． 【详解】（1）解：（名） 答：小元所在的班级共有名学生． （2）解：（名） 喜欢篮球运动的有5名学生． 补全图形如下 （3）解：（人） 答：全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有人． 12．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)，，D (2) (3)见详解， 【分析】本题考查统计图，求样本容量、中位数、概率，用样本估计总体，找到频数直方图和扇形图之间的联系是解题的关键． （1）根据频数直方图和扇形图中的C组信息和找中位数的方法，即可求解； （2）先求出样本中成绩在8分及以上为优秀所占比，用样本估计总体即可求解； （3）先画树状图，再利用概率的公式即可求解． 【详解】（1）解：根据统计图可得， 总人数为（名）， B组人数为（名）， 所抽取学生成绩的中位数是第和的平均数，A，B，C组共有名，D组有名， 所抽取学生成绩的中位数落在D组， 故答案为：，，D； （2）成绩在8分及以上为优秀， 成绩优秀所占百分比为， （人）， 则该校成绩优秀的八年级学生估计有人； （3）树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生共有8种等可能的结果， ， 则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 13．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）同学们计划在数学周开展“八年级同学最喜爱的球类运动”调查活动，号召同学们重视身体健康，热爱运动．九（1）班同学负责这项工作，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，以便更直观地了解八年级同学最喜欢的球类运动情况． (1)以下是他们调查方案的步骤，请你按照合理的统计工作顺序，将这些步骤进行正确排序填序号 正确顺序是：__________________④ ①以班为单位，调查每位同学最喜欢的球类运动，将各班数据进行整理，并汇总填入统计表． ②根据统计表中的数据绘制条形统计图和扇形统计图． ③设计一个包含“球类运动名称”和“喜欢人数”的统计表． ④根据统计图了解八年级同学最喜欢的球类运动情况，为后续组建球类社团提供依据． (2)请根据统计图中的信息可以算出参加本次调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整． (3)学校打算组建球类社团，请你结合数据提出合理建议． 【答案】(1)③；①；② (2)；补图见解析 (3)建议优先组建篮球社团，其次可以组建羽毛球社团．同时，也可以根据实际情况，考虑组建足球、乒乓球社团，满足部分同学的需求 【分析】本题主要考查了统计的相关知识，包括统计工作的步骤、从统计图中获取信息进行计算以及根据统计结果提出建议等，熟练掌握统计的基本方法和从统计图中分析数据的技巧是解题的关键． （1）统计工作一般先明确目的，再设计统计表，接着收集数据，然后整理数据，最后绘制统计图并应用，按此逻辑对步骤排序； （2）从条形统计图知喜欢篮球的有70人，扇形统计图中篮球占比，根据“总人数=喜欢篮球的人数篮球占比”计算总人数，先算出喜欢羽毛球的人数总人数减去喜欢足球、篮球、排球、乒乓球的人数，再补充条形统计图； （3）根据各类运动喜欢的人数多少，人数多的优先组建社团． 【详解】（1）解：正确顺序是：③①②④ 故答案为：③①②； （2）解：从条形统计图知喜欢篮球的有70人，扇形统计图中篮球占比，根据“总人数=喜欢篮球的人数篮球占比”计算总人数可得： 人， 故答案为：200； 喜欢羽毛球的人数：人， 补充条形统计图如下． （3）解：因为喜欢篮球的人数最多，其次是羽毛球， 所以建议优先组建篮球社团，其次可以组建羽毛球社团．同时，也可以根据实际情况，考虑组建足球、乒乓球社团，满足部分同学的需求． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）万家水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：） 如下： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 整理数据： 质量 数量（箱） 2 1 7 a 3 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 m b (1)表格中___________，___________． (2)求每箱荔枝的平均质量是多少千克？ (3)在荔枝损坏情况的统计中，每箱荔枝损坏的平均数（或平均损坏质量）最能直观反映这组数据的集中趋势。请你帮助该公司估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ 【答案】(1)6， (2) (3)共损坏约 【分析】本题考查了平均数、中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题； （1）利用20箱减去另外的箱数即可求解，利用中位数的概念求解； （2）利用平均数的概念求解； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将数据从小到大排列位于第10，11位分别是，， 故中位数为：， 故答案为：6，； （2）解：每箱荔枝的平均质量是； （3）解：估算这2000箱荔枝共损坏了． 15．（25-26九年级上·河南新乡·月考）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有200名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这200名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． (1)若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，163，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； (2)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为_____度； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】(1)；163 (2)350；108 (3) 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）先求出全校男生的总人数，再乘以选择B项目的男生所占的比例即可；用乘以D项目所占的比例即可得出结果； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，将该组数据按照从小到大排列，处在第、第位的数据为162、163，故中位数为； 该组数据中出现次数最多的为，故众数为； （2）解：由题意可得，全校男生的总人数为：（人）， 故估计选择B项目的男生共有人， 扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为度； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $