精品解析：黑龙江省哈尔滨市松北区2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试卷

松北区2025-2026学年度上学期七年级期末调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷为数学试卷．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请考生将正确答案写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果水位下降，记作，那么水位上升，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为负，则另一个就用正表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位下降，记作，那么水位上升，记作． 故选：C． 2. 下列各式最符合代数式书写规范的是（ ） A. m B. C. 个 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式的书写规范． 代数式中数字与字母相乘时乘号省略且数字在前，带分数应化为假分数，单位应置于整个表达式后且代数式需加括号． 【详解】解：选项A：，使用带分数，不符合规范，应写为； 选项B：，乘号未省略且数字未在前，应写为； 选项C：个，代数式未加括号，不符合规范； 选项D：，书写规范； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、去括号等知识点，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C，，故该选项错误，不符合题意； D，，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4. 下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图．由11种正方体的展开图模型（“141”“231”“222”“33”），逐一分析选项． 【详解】正方体展开图有11种基本类型，需避免“田”型、“凹”型等结构： 选项A：出现了“凹”字结构，无法折叠成正方体． 选项B、C、D：均符合正方体展开图的形状，可以折叠成正方体． 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 是六次多项式 B. 不是单项式 C. 的系数是，次数是2次 D. 是多项式 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式、多项式的相关概念，正确把握相关概念是解题关键． 直接利用单项式的次数与系数的概念、多项式的相关概念分别判断得出即可． 【详解】解：∵ 对于A：的次数为3，的次数为4， ∴ 最高次项次数为4，不是六次多项式，故本选项不符合题意； 对于B：x是数字与字母的积，是单项式，故本选项不符合题意； 对于C：的系数为，次数为a和b的指数之和2，故本选项符合题意； 对于D：含有分母a，不是整式，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 下列变形中，正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握好等式的两条性质是解题关键． 根据等式的两条性质，判断每个选项的变形是否正确． 【详解】解：等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍成立； 等式性质2：同时乘以或除以同一个数或式（不为零），等式仍成立． 对于选项A：若，则，而非，故A错误； 对于选项B：由，得，而非，故 B错误； 对于选项C：由，当时，x与y不一定相等，故 C错误； 对于选项D：由于 ，因此当时，两边同除以，得，故D正确． 故选：D． 7. 在解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 去分母时，方程两边同时乘以分母4和3的最小公倍数12，得到． 【详解】解：方程， 两边同乘12得：， 即， 故选：C． 8. 已知一个角的余角是，那么这个角的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查余角的概念与角的和差计算，理解互余的概念并正确计算是解题关键． 根据余角的定义，这个角与已知余角之和为，因此用减去已知余角，即可得到这个角的度数，计算时需注意度分秒的转换． 【详解】解：根据余角的定义，这个角为． 故选：B． 9. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（ ） A. 15人 B. 39人 C. 41人 D. 20人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有辆车，乘车人数为人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设有辆车，总人数为人， 依题意得：， 解得：， 即总人数为39人， 故选：B． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负 B. 绝对值相等的两个数一定互为相反数 C. 圆柱底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系 D. 近似数1.8和近似数1.80的精确度相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法、绝对值、正比例关系和近似数精确度的概念， 根据有理数乘法、绝对值、正比例关系和近似数的知识点进行判断即可． 【详解】解：选项A：几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，但如有因数零，则积为零，故A错误，本选项不符合题意； 选项B： 绝对值相等的两个数不一定互为相反数，如5和5绝对值相等但它们不是互为相反数，故B错误，本选项不符合题意； 选项C：圆柱体积底面积高，当底面积一定时，体积与高成正比例关系，故C正确，本选项符合题意； 选项D：近似数1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，精确度不同，故D错误，本选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 将数字用科学记数法记____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用规范是关键． 用科学记数法表示较大的数时，结果为，其中，为整数． 【详解】解：对于 ，将小数点向左移动5位，可得， ∴． 故答案为：． 12. 已知单项式与是同类项，则的值是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得． 故答案为：3． 13. 如果关于方程和方程的解相同，那么____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是同解方程，一元一次方程的解法，掌握“两个方程同解的含义”是解本题的关键， 先解第一个方程得到 x 的值，再根据同解方程的含义代入第二个方程求解 k． 【详解】解：解方程 ，得 ， 因为关于的方程和方程的解相同， 所以 是方程的解， 将 代入方程 ， 得 ，即 ， 所以 ，解得 ． 故答案为 ：10． 14. 如图，小羽每天下午放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为____________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查钟面角，掌握钟面角的定义，理解钟面上时针和分针在旋转过程中所成角度的变化规律是正确解答的关键．根据钟面角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知， ，， 所以， 故答案为：70． 15. 将二进制数转化为十进制表示的数是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二进制数转换为十进制数的方法，通过每位数字乘以的相应幂次并求和即可． 【详解】解：根据二进制数转换为十进制数的规则，． 故答案为：． 16. 如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且|m|=1，则代数式_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，然后代入数值进行计算即可． 【详解】∵a、b互为倒数，c、d互为相反数， ∴ab＝1，c＋d＝0． 将ab＝1，c＋d＝0，|m|=1代入得：原式＝2×1−0＋12＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，求得ab＝1，c＋d＝0是解题的关键． 17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，根据图形找到规律即可求得结果． 【详解】解：每个图形是“十字形”结构，包含部分：上方固定个○；左右两边：第个图中，每边有个○，两边共个；下方：第个图中有个○， 因此，第个图形的○总数为：， 当时，总数为：． 故答案为：． 18. 已知平面内，，是的角平分线，则的度数为___________． 【答案】25或55 【解析】 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，正确进行分类讨论是解题关键． 根据角平分线的定义和角的和差关系，分在 内部和外部两种情况计算． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ①当在 内部时，如图， ∴； ②当 外部时，如图， ∴． 故答案为：25或55． 19. 按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是___________． 【答案】161 【解析】 【分析】考查程序流程图的循环运算；解题方法是按步骤重复计算，直到满足输出条件；解题关键是准确执行每一步运算；易错点是计算过程中的算术错误． 从开始，依次计算并判断是否大于100，不满足则重复代入，直到结果大于100时输出． 【详解】解：输入：，，返回输入； 输入：，，返回输入； 输入：，，输出结果． 故答案为：161． 20. 如图，，点、点在线段上，且点为线段的中点．有如下结论：①图中共有6条线段；②；③是一个定值；④若点是线段的中点，则，上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查线段的和差，直线，射线，线段，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用线段和差定义，线段中点的定义一一判断即可． 【详解】解：①图中线段有：，，，，，共有6条线段，故①正确； ②，错误，理由是不是的中点；故②错误； ③，是定值，故③正确； ④是的中点，是的中点， ，， ，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（21-27题，共60分） 21. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用有理数的混合运算法则计算即可； （2）运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可； （3）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，平面内有、、、四个点，请按要求作图： （1）直线与直线相交于点； （2）射线； （3）连接，延长至点，使． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查直线、射线、线段的作图，掌握直线、射线和线段的概念是关键． 直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，按照对应的特征进行作图即可． 【小问1详解】 解：点P如图所示； 【小问2详解】 解：射线如图所示； 【小问3详解】 解：点如图所示； 23. 先化简，再求值：，其中的值是方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值．先去括号，再合并同类项，即可化简，再解方程求得，代入进行计算即可． 【详解】解： ， 解方程， 去括号得， 移项合并得， 当时， 原式． 24. 【概念学习】 对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“源易数对”，记作，例如：，数对是“源易数对”． 【初步探究】 （1）数对①，②，③，其中是“源易数对”的是__________（填序号）； （2）若是“源易数对”，求的值； 【深入思考】 （3）若是“源易数对”，求的值． 【答案】（1）①③；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值及一元一次方程的应用； （1）根据已知条件中的新定义计算判断即可； （2）先根据新定义，列出关于x的方程，求出x的值即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于m，n的等式，然后再整体代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， 是“源易数对”； ， 不是“源易数对”； ， 是“源易数对”； 故答案为：①③； （2）是源易数对， ， ； （3）是源易数对， ， ． 25. 点是直线上的一点，，是的平分线． （1）【问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； （2）【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线有关计算，角的和差． （1）利用角平分线求出，再结合角平分线求出即可； （2）用含α的式子表示，再结合角平分线求出即可． 【小问1详解】 解：是的平分线， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， 是的平分线， . 26. 七年三班筹备召开新年联欢会，小阳负责为班级购买各项物品，在冰雪超市准备购买、两品牌礼物，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：品牌礼物的单价比品牌礼物单价多2元； 信息②：购买4个品牌礼物与9个品牌礼物共57元． （1）求品牌礼物和品牌礼物的单价；（用方程知识解答） （2）小阳说：“我买了、两品牌礼物，共40个，花了143元．”帆帆同学不同意小阳的说法．请你用方程的知识解释一下帆帆的观点是否合理？ （3）为使活动能够顺利开展，营造热烈的活动氛围，班级准备购置品牌礼物60个，品牌礼物40个．恰逢超市搞促销活动，提供了三种优惠方案： 方案一：品牌礼物打九折销售，品牌礼物每满100元减15元销售； 方案二：每买两个品牌礼物赠送一个品牌礼物； 方案三：针对购物总费用采用分段计费方式： 消费金额 不超过200元 超过200元但不超过300元的部分 超出300元部分 优惠政策 无优惠 打八折 打七折 请你通过计算说明按哪种方案购买比较合算？ 【答案】（1）品牌礼物每个3元，则品牌礼物每个5元 （2）帆帆的观点合理 （3）按方案二购买比较合算 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设品牌礼物每个元，根据品牌礼物的单价比品牌礼物单价多2元，购买4个品牌礼物与9个品牌礼物共57元，列出方程进行求解即可； （2）设购买品牌礼物个，根据买了、两品牌礼物，共40个，花了143元，列出方程进行求解后，判断即可； （3）分别求出三种方案需要的费用，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设品牌礼物每个元，则品牌礼物每个元． ， ， ， 答：品牌礼物每个3元，则品牌礼物每个5元． 【小问2详解】 解：设购买品牌礼物个，则品牌礼物个． 为整数， 不合题意， 帆帆的观点合理． 【小问3详解】 解：（元），（元） 方案一： （元） 方案二： （元） 方案三： （元） 按方案二购买比较合算． 27. 【背景知识】 数形结合思想是解决中学数学问题的一种很经典的思想方法，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过探究数轴特点我们可以获得很多重要的规律： 若数轴上、两点表示的数分别为，，则、两点之间的距离，例如，，，则． 【问题情境】 如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且． （1）__________，___________； 【综合运用】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴正方向以每秒4个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒，用含的式子表示线段的长（结果要化简绝对值）； （3）在（2）的条件下，当点运动到点时立即返回，速度变为每秒3个单位，到达自己的出发点后停止运动．同时点运动到点时立即以同样的速度返回，到达自己的出发点后停止运动．求在此运动过程中，为何值时满足． 【答案】（1） ①. ②. 24 （2）当点在的左边时，；当点在的右边时， （3）的值为2，5，，时，满足 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，计算求解即可； （2）当运动时间为时，点对应的数是，点对应的数是，则，分点在的左边或左边时，分别计算即可； （3））由题意得，点从点到点所需时间为（秒），从点到点所需时间为（秒），点从点到点、从点到点所需时间都为（秒），则点从点到点再回到点，点从点到点再到点所需时间都为14秒，然后分①当时，点对应的数为，点对应的数是，②当时，点对应的数为，点对应的数是，且点在的右边，③当时，点对应的数为，点对应的数是，然后根据列方程，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为；24． 【小问2详解】 解：由（1）可知，数轴上点对应的数为，点对应的数为14， 由题意知，运动秒时，点对应的数为，点对应的数是， ∴， 当点在的左边时，； 当点在的右边时，． 【小问3详解】 解：由题意得，点从点到点所需时间为（秒），从点到点所需时间为（秒），点从点到点、从点到点所需时间都为（秒），则点从点到点再回到点，点从点到点再到点所需时间都为14秒， ∴①当时，点对应的数为，点对应的数是， 当时，解得， ∴点与点第一次相遇时间为4秒，此时点、点对应的数是6，即相遇点在点右边， ∴当时，点在的左边，由（2）可知， ∵， ∴， 解得； 当时，点在的右边，由（2）可知， ∵， ∴， 解得； ②当时，点对应的数为，点对应的数是，且点在的右边， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）； ③当时，点对应的数为，点对应的数是， 当时，解得， ∴点与点第二次相遇时间为秒，此时点、点对应的数是，即相遇点在点右边， ∴当时，点在的右边， ， ∵， ∴， 解得； 当时，点在的左边， ， ∵， ∴， 解得； 综上所述，在运动过程中，的值为2，5，，时，满足． 【点睛】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松北区2025-2026学年度上学期七年级期末调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷为数学试卷．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请考生将正确答案写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果水位下降，记作，那么水位上升，记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式最符合代数式书写规范是（ ） A. m B. C. 个 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 是六次多项式 B. 不是单项式 C. 的系数是，次数是2次 D. 是多项式 6. 下列变形中，正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 由，得 D. 由，得 7. 在解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个角余角是，那么这个角的度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（ ） A. 15人 B. 39人 C. 41人 D. 20人 10. 下列说法正确的是（ ） A. 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负 B. 绝对值相等的两个数一定互为相反数 C. 圆柱底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系 D. 近似数1.8和近似数1.80的精确度相同 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 将数字用科学记数法记为____________． 12. 已知单项式与是同类项，则的值是____________． 13. 如果关于的方程和方程的解相同，那么____________． 14. 如图，小羽每天下午放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为____________． 15. 将二进制数转化为十进制表示的数是____________． 16. 如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且|m|=1，则代数式_______. 17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 18. 已知平面内，，是的角平分线，则的度数为___________． 19. 按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是___________． 20. 如图，，点、点在线段上，且点为线段的中点．有如下结论：①图中共有6条线段；②；③是一个定值；④若点是线段的中点，则，上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（21-27题，共60分） 21 计算： （1） （2） （3） 22. 如图，平面内有、、、四个点，请按要求作图： （1）直线与直线相交于点； （2）射线； （3）连接，延长至点，使． 23. 先化简，再求值：，其中的值是方程的解． 24. 【概念学习】 对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“源易数对”，记作，例如：，数对是“源易数对”． 【初步探究】 （1）数对①，②，③，其中是“源易数对”的是__________（填序号）； （2）若是“源易数对”，求的值； 深入思考】 （3）若是“源易数对”，求的值． 25. 点是直线上的一点，，是的平分线． （1）问题探究】 如图1，当在直线上方时，若，求的度数； （2）【方法迁移】 当绕点旋转到如图2位置时，若，求的度数（用含的式子表示）． 26. 七年三班筹备召开新年联欢会，小阳负责为班级购买各项物品，在冰雪超市准备购买、两品牌礼物，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：品牌礼物的单价比品牌礼物单价多2元； 信息②：购买4个品牌礼物与9个品牌礼物共57元． （1）求品牌礼物和品牌礼物的单价；（用方程知识解答） （2）小阳说：“我买了、两品牌礼物，共40个，花了143元．”帆帆同学不同意小阳的说法．请你用方程的知识解释一下帆帆的观点是否合理？ （3）为使活动能够顺利开展，营造热烈的活动氛围，班级准备购置品牌礼物60个，品牌礼物40个．恰逢超市搞促销活动，提供了三种优惠方案： 方案一：品牌礼物打九折销售，品牌礼物每满100元减15元销售； 方案二：每买两个品牌礼物赠送一个品牌礼物； 方案三：针对购物总费用采用分段计费方式： 消费金额 不超过200元 超过200元但不超过300元的部分 超出300元的部分 优惠政策 无优惠 打八折 打七折 请你通过计算说明按哪种方案购买比较合算？ 27. 【背景知识】 数形结合思想是解决中学数学问题的一种很经典的思想方法，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过探究数轴特点我们可以获得很多重要的规律： 若数轴上、两点表示的数分别为，，则、两点之间的距离，例如，，，则． 【问题情境】 如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且． （1）__________，___________； 【综合运用】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴正方向以每秒4个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒，用含的式子表示线段的长（结果要化简绝对值）； （3）在（2）的条件下，当点运动到点时立即返回，速度变为每秒3个单位，到达自己的出发点后停止运动．同时点运动到点时立即以同样的速度返回，到达自己的出发点后停止运动．求在此运动过程中，为何值时满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $