第二十九章 投影与视图（单元测试·提升卷）数学人教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 投影与视图·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A D C C C C C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．中心 12．12 13．6 14．2108 15． 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解：该几何体的三视图如图所示． ---------6分 18．（1）解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱， 故答案为：圆柱； ---------2分 （2）解：， ， ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为． ---------6分 19．米 ---------1分 解：∵， ， 又∵， ---------2分 ， ∴， ∴（米）， ---------4分 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高为米． ---------6分 20．（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： ---------2分 （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； ---------3分 （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． ---------6分 21．（1）解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为，底面圆直径为6的圆锥，下部分是一个底面圆直径为6，高为4的圆柱， ∴这个几何体的体积为； ---------3分 （2）解：①如图所示： ---------6分 ②由题意可得：上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 故可得表面积为：． ---------8分 22．（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； ---------2分 （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； ---------5分 （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． ---------8分 23．解：（1）根据主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，图形如下： ---------4分 （2）由左视图和俯视图可知： ①该几何体最少由7个小立方体搭成； ②该几何体最多由10个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，主视图如下： ---------8分 24．（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； ---------3分 （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； ---------6分 （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ---------9分 ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． ---------12分 25．1）如图所示: ---------2分 （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； ---------5分 （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， ---------7分 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ---------9分 ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． ---------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是() 2 4 3 A. B C. D 目 2.一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把5个棱长为1dm的正方体摆在课桌上（如图所示)， 然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为() A.16dm2 B.15dm2 C.8dm2 D.20dm2 3.从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（) 从正面看 从左面看 从上面看 A.圆柱 B.棱柱 C.球 D.圆锥 4.在2025年11月举行的第十五届全运会上，山东省代表团获得金牌数和奖牌数双第一，实现了全运会历 史上金牌数和奖牌数的五连冠！全运会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，它的左视图是() 主视方向 A 5.手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏.在一次 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示.若在光源不动的情况下， 要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应() 影 光源 墙 图1 图2 A.增加0.5米B.增加1米 C.增加2米 D.减少1米 6.如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）.工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径 为3cm·现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（) （n取3，球的体积计算公式：V=4,P=7.8g1cm3) 3 0 r=3cm 比例尺3：10 A.83.7kg B.77.6kg C.93.6kg D.109.9kg 7.一块三角形纸板ABC如图所示，BC=15cm,AC=12cm,测得BC边的中心投影B,C的长为20cm,则 AC边的中心投影AC的长为() A.24cm B.20cm C.16cm D.8cm 8.如图，在大树AB的右侧有三个台阶T一T,每个台阶的高、宽分别是0.2m和0.4m·某一时刻，测得台 阶在地面上的影子DE=0.45m,此时树梢顶点A的影子落在台阶T,上（包含两个端点）.己知大树AB的底 部到台阶的距离BC=1.9m,则大树AB的高度可能是() 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B DE A.3m B.3.4m C.3.8m D.4.2m 9.一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所 需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是() 主视图 俯视图 A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图，一块周长为30cm的三角形硬纸板（记为ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的 投影是△AB,C(点A、B、C的对应点分别是点A、B、G),若OB:BB,=3:4,则△AB,C,的周长是() C B A.90cm B.70cm C.60cm D.60cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.台灯下数学书的影子是投影.（填平行”或“中心”） 12.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如 图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8米，EF=2米.已知B,C,E,F在同一 直线上，AB⊥BC,DE⊥EF,DE=3米，则AB=米. A E 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.如图，在平面直角坐标系中，点A1,4)是一个光源.木杆BC两端的坐标分别为(-1,2)，(2,2).则木杆 BC在x轴上的投影长为· B 14.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 16 10 个 主视图 左视图 15 ←-208← 俯视图 15.某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是 主视图 左视图 16.一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼 盒，所需胶带长度至少为 厘米 40cm-> 5cm 主视图 左视图 实物图 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图， 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正面 18.某工厂加工一批茶叶罐.设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：mm). 120 200 主视图 左视图 俯视图 (①)图中的立体图形的名称是： (②)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积. 19.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下， 分别测得该建筑物OB的影长0C为16米，OA的影长0D为22米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、 D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且A0⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为 1.8米，求旗杆的高AB 20.如图，在地面上竖直安装着AB,CD,EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB,CD形成的影 子分别为BG与DH. E A C G BHD F ()在图中画出光源的位置（用点P表示）： (2)此光源下形成的投影是 (填“中心投影”或“平行投影”)； (3)在图中画出立柱EF此时在该光源下所形成的影子（用线段FM表示）， 21.在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据己知条件解决 以下问题： 5/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 6 从正面看 从左面看 从正面看 从左面看 23 从上面看 从上面看 图① 图② (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积.（结果保留刀） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的 小立方块的个数 ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图： ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积.（包括底面积） 22.为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法. D C 7777777777777777777777777777 777777777777777777777777777 777777777777777777777 F E B E E B 图1（利用影子） 图2（利用镜子） 图3（利用标杆） (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE,此时，小组同学测得旗 杆AB的影长BC为1l.3m,据此可得旗杆高度为 m; (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小 李的眼晴距地面高度DE=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=16m,求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显 提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下： 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C ET 图4（找水平线）图5（定标高线） 图6（测雕塑高）〉 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M,N两点始终处于同一水平 线上 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q,标高线P9始终垂直于水平地面. 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D,G两点，并 标记观测视线DA与标高线交点C,测得标高CG=1.8m,DG=1.5m,将观测点D后移24m到D处，采用 同样方法，测得C'G'=1.2m,D'G'=2m·求雕塑高度（结果精确到1m). 23.(1)如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体 得到的形状图， 正面 从正面看 从左面看 从上面看 (2)一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示. ①该几何体最少由 个小立方体搭成； ②该几何体最多由 个小立方体搭成： ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图. 从左面看 从上面看 从正面看 24.如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1.6米.夜 晚，身高为1.6米的小明以1.5米秒的速度从路灯AB走向路灯CD,行走时间为t秒.当行走2秒时，他走 到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B).如图2，在行走过程中，小明在路灯 AB下的影子为FM,在路灯CD下的影子为FN· 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C A D 地面 B D 地面 图1 图2 (I)求路灯CD的高度. (2)当t=4秒时，求影子FN的长？ (3)常言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离， ①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN= (用含t的代数式表示)： ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N在 地面上移动的速度为米/秒： 25.背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的 方法.它在“AP领域有着广泛的应用. 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图.两个相机的投影中心O,O的连线叫做基线，距离为，基线与左、右 投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距，两投影面的长均为1(，f,1是同型号双目相机中，内置的 不变参数)，两投影中心O,O分别在左、右投影面的中心垂直线上.根据光的直线传播原理，可以确定 目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P,P表示.4，d分别是左、右成像点到各投影面左端的距 离 d,以 0 1基线 左侧投影面 右侧投影面 长度为1 长度为 图1 图2 材料二：重要定义 ①视差一点P在左、右相机的视差定义为d=d,-d,. 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②盲区一相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当月标点P位于该区域时，若在左、右投影面 上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）. ③感应区一承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区. 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，△0，PE-△P0,H,△0，PF-△P0,H,可得三QHOH' f EP FP 所以，=EP+FR (依据) zOH+OH y/m 0. p E P D F B B、CD 、 0 的 基线 图3 图4 任务： (I)请在图2中(A,B,C,D是两投影面端点)，画出感应区边界，并用阴影标示出感应区. (2)填空：材料三中的依据是指_；已知某双目相机的基线长为200mm,焦距f为4mm,则位于感应区的目 标点P到基线的距离z(mm)与视差d(mm)之间的函数关系式为_， (3)如图4，小明用(2)中那款双目相机（投影面CD长为10mm)正对天空连续拍摄时，一物体M正好从 相机观测平面的上方从左往右飞过，己知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时， d,=0.05mm,当M刚好经过点O的正上方时，视差d=0.02mm,在整个成像过程中，d呈现出大一小一 大的变化规律，当d恰好减小到上述d的上时，开始变大. ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物 线的表达式为-（友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m=1000mm); ②求物体M刚好落入“盲区时，距离基线的高度 9/9 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 根据俯视图可知，主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4．据此可画出图形． 【详解】解：由俯视图可得主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4． 即主视图为：． 故选：A． 2．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把5个棱长为的正方体摆在课桌上（如图所示），然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体表面积的计算，解题的关键在于理解露出的表面的算法．分别计算出上面一层和下面一层露出的表面积，然后相加即可． 【详解】解：根据题意得，上面一层露出的表面积为； 下面一层露出的表面积为， 所以表面被涂上颜色的部分的面积为 ． 故选：A． 3．从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个圆及圆心， ∴此几何体为圆锥， 故选：D． 4．在2025年11月举行的第十五届全运会上，山东省代表团获得金牌数和奖牌数双第一，实现了全运会历史上金牌数和奖牌数的五连冠！全运会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：全运会的领奖台的左视图是 故选：C． 5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， ， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 6．如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际问题，几何体的三视图，比例的性质，先根据比例求出球体的实际半径，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：比例尺为：， 这样的球形工件实际半径为：， 根据题意得：球的体积计算公式：；，， 工厂需要供应铁的质量为：， 故选：C． 7．一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 由投影得，由相似性质得，求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 9．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可． 【详解】解：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体， 第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个小正方体． 如图， 则所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是6， 故选：B． 10．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．台灯下数学书的影子是 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【详解】解：由于光源是由一点发出的，因此台灯下数学书的影子是中心投影， 故答案为：中心． 12．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 13．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆BC两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解是解决此类问题的基本方法．利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如图，设交x轴于点D，交x轴于点E，作轴于点N，交于点M， 木杆两端的坐标分别为，， ∴，， ∽， ， ∵， ∴，， 即， 解得：， 木杆BC在x轴上的投影长为． 故答案为： 14．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ． 【答案】2108 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体如图所示，由七个面组成， 这个几何体的表面积为 ． 故答案为：． 15．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的三视图与体积计算，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据长方体的主视图和左视图确定长方体的长、宽、高，再利用长方体体积公式计算体积． 【详解】由主视图可知，长方体的长为，高为， 由左视图可知，长方体的宽为，高为， 长方体的体积为：． 故答案为． 16．一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力，勾股定理，利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可．注意知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形求解． 【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底， 如图，将俯视图画出，连接，过点作，由题意可得， 因为正六边形每个内角为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 则胶带的长至少． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形，左视图是从几何体的左面看到的图形，俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行逐个作图，即可作答． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示． 18．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积： （1）根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：， ， ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为． 19．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高为米． 20．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 21．在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查从不同方向看几何体．求圆锥和圆柱的体积． （1）根据从不同方向看几何体可知，这个几何体的上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，据此求解即可． （2）①由已知条件可知，从正面看有2列，每列小正方数形数目分别为2，3，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可画出图形； ②上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而得出表面积． 【详解】（1）解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为，底面圆直径为6的圆锥，下部分是一个底面圆直径为6，高为4的圆柱， ∴这个几何体的体积为； （2）解：①如图所示： ②由题意可得：上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 故可得表面积为：． 22．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 23．（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 【答案】（1）答案见解析 （2）①该几何体最少由7个小立方体搭成；②该几何体最多由10个小立方体搭成；③主视图见解析 【分析】本题考查了作图—三视图，解题的关键是掌握：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的小立方体个数． （1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形即可 （2）根据左视图和俯视图，可确定几何体最少、最多小立方体个数，由最多的小立方体个数画出主视图即可． 【详解】解：（1）根据主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，图形如下： （2）由左视图和俯视图可知： ①该几何体最少由7个小立方体搭成； ②该几何体最多由10个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，主视图如下： 24．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 25．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)见解析 (2)等比性质； (3)① ② 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）利用盲区的定义作图即可； （2）根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）如图所示: （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 投影与视图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（   ） A． B． C． D． 2．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把5个棱长为的正方体摆在课桌上（如图所示），然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 4．在2025年11月举行的第十五届全运会上，山东省代表团获得金牌数和奖牌数双第一，实现了全运会历史上金牌数和奖牌数的五连冠！全运会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 6．如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 7．一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 9．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．台灯下数学书的影子是 投影．（填“平行”或“中心”） 12．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 13．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆BC两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为 ． 14．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ． 15．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是 ． 16．一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 18．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 19．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 20．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 21．在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 22．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 23．（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 24．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 25．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $