专题02 均值不等式求最值8大题型（寒假复习讲义）高一数学人教B版

专题02 均值不等式求最值8大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：直接法求最值 ①积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②求最值时要求“一正、二定、三相等” 知识点2：配凑法求最值 将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 知识点3：商式求最值 利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 知识点4：“1”的代换求最值 ①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用均值不等式求解最值. 知识点5：消元法求最值 从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用均值不等式求解注意所保留变量的取值范围 知识点6：两次均值不等式求最值 注意两点:一是由均值不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用均值不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 知识点7：等式有积有和求最值 寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 【题型01 直接法求最值】 1．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 3．函数的最大值是    4．设、．已知，则的最大值为 ． 5．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【题型02 配凑法求最值】 7．已知，，则，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 8．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知，则的最小值为 . 10．已知，则的最大值为 . 11．已知实数，若，则的最大值为 . 12．设，则 （    ） A． B． C． D． 13．已知正实数，满足，则的最大值为 . 【题型03 商式求最值】 14．已知，求的最小值； 15．已知且，则的最大值为 ． 16．函数的值域为 ． 17．已知，则的最小值为 . 18．函数的值域是 ． 【题型04 “1”的代换求最值】 19．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 20．两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．函数的最小值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．49 22．已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 23．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 24．已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 25．设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 【题型05 消元法求最值】 26．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 28．若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 29．已知，若，则的最小值为 ． 30．若正实数，满足，则的最小值为 . 【题型06 两次均值不等式求最值】 31．若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 32．已知，都为正实数，则的最小值为 . 33．已知，当取到最小值时， ． 【题型07 等式有积有和求最值】 34．若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 36．设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 37．若，则的最小值为（   ） A． B． C．20 D．400 38．（多选）设实数，满足，则的可能取值有（   ） A． B． C． D． 【题型08 均值不等式的恒成立问题】 39．设，，且恒成立，则n的最大值为 . 40．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 42．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 43．已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是 . 44．已知，且，恒成立，则实数的最大值为 . 一、单选题 1．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 2．若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 3．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 4．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 5．设，则取最小值时，的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为6 7．已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题 8．已知，，且，则xy的取值范围是 ． 9．已知正实数，，满足，则的最小值为 . 10．已知正实数a，b满足，则的最小值是 . 四、解答题 11．已知，且，求的最小值． 12．已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 13．若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 均值不等式求最值8大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：直接法求最值 ①积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②求最值时要求“一正、二定、三相等” 知识点2：配凑法求最值 将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 知识点3：商式求最值 利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 知识点4：“1”的代换求最值 ①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用均值不等式求解最值. 知识点5：消元法求最值 从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用均值不等式求解注意所保留变量的取值范围 知识点6：两次均值不等式求最值 注意两点:一是由均值不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用均值不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 知识点7：等式有积有和求最值 寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 【题型01 直接法求最值】 1．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 2．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 3．函数的最大值是    【答案】5 【详解】易知，可得； 所以，当且仅当，即时等号成立， 故函数的最大值是5， 故答案为：5 4．设、．已知，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】因为、，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 5．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为8. 故答案为：C. 6．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 【题型02 配凑法求最值】 7．已知，，则，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】由，得，则， 当且仅当时取等号，而当时，， 所以，之间的大小关系是. 故选：A 8．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由得， 因为，，则，可得， 则， 当且仅当，即，时，取得等号， 所以的最小值为3. 故选：B. 9．已知，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：4 10．已知，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 11．已知实数，若，则的最大值为 . 【答案】4 【详解】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 12．设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 13．已知正实数，满足，则的最大值为 . 【答案】3 【详解】因为，为正实数，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则的最大值为3. 故答案为：3. 【题型03 商式求最值】 14．已知，求的最小值； 【答案】 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 15．已知且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 16．函数的值域为 ． 【答案】. 【详解】由函数， 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，可得， 当且仅当，即时取等号，， 综上可得，函数的值域为. 故答案为：. 17．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 18．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 【题型04 “1”的代换求最值】 19．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 20．两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 21．函数的最小值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【详解】因为，所以，所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最小值为49. 故选：D. 22．已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 23．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 那么. 因为，所以. 所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时等号成立. 此时取最小值为1. 故选：C. 24．已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 25．设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 【题型05 消元法求最值】 26．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 27．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，当时，等式不成立， 所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 28．若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 29．已知，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3， 故答案为：3. 30．若正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】由，，得，且， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 【题型06 两次均值不等式求最值】 31．若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当时，即，等号成立； ，解得，， 所以的最大值为 故选：A 32．已知，都为正实数，则的最小值为 . 【答案】 【详解】∵，都为正实数， ∴ 当且仅当及时，即时取等号. 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 33．已知，当取到最小值时， ． 【答案】/0.75 【详解】由题意知： ， 当且仅当，即时取等， 故当取到最小值时，. 故答案为：. 【题型07 等式有积有和求最值】 34．若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 35．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D. 36．设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 37．若，则的最小值为（   ） A． B． C．20 D．400 【答案】C 【详解】由，可知，则，故,则可得， 所以，即得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为20. 故选：C. 38．（多选）设实数，满足，则的可能取值有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由得，因为，所以，解得. 故选：AD. 【题型08 均值不等式的恒成立问题】 39．设，，且恒成立，则n的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 40．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 41．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 42．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 因为， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4． 因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 43．已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 由恒成立可得， 所以即， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 44．已知，且，恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，且，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，所以，解得， 因此实数的最大值为. 故答案为：. 一、单选题 1．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 2．若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A. 3．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由题意. ，即， 当且仅当时等号成立. 所以此三角形面积的最大值为3. 故选：B. 4．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】设，由，得, 因，故，当且仅当即时取最大值. 此时，代入， 得 则当时，取得最大值为. 故选：A 5．设，则取最小值时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 因为，当且仅当时等号成立， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，，，即，，时，等号成立，此时. 故选：D. 二、多选题 6．设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为6 【答案】AC 【详解】因为为正数，且，，当且仅当时取等号，故A正确； ，当且仅当，即时取等号，故B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ， 当且仅当，即时取等号，故D错误． 故选：AC． 7．已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由可得：， 因为，所以， 解得或，由于，所以舍去， 即，此时取等号条件是，与联立可解得：，故A正确； 由可得：， 因为，所以， 又因为，所以解得， 此时取等号条件是，与联立可解得：，故C正确； 由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确； 取，可得，故B错误； 故选：ACD． 三、填空题 8．已知，，且，则xy的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由基本不等式，得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是． 故答案为：. 9．已知正实数，，满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由已知可得，，，， 因为， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 当且仅当，即时，两个等号同时成立， ∴. 故答案为：. 10．已知正实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 11．已知，且，求的最小值． 【答案】 【详解】， 又因为，故有， 因为，所以， 令，则，， 所以， 当且仅当即，也即时，取得最小值. 12．已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)49 (2)64 【分析】 【详解】（1）因，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为49. （2）因，则， 即，可得， 即或（舍），解得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为64. 13．若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【分析】 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $