精品解析：山东省菏泽经济技术开发区2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

八年级数学试题 2026.1.4 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数9、、、中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 4. 2025年9月，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机、所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数与正比例函数的图象位置可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 7. 某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 1.2，1.3 B. 1.3，1.3 C. 1.4，1.35 D. 1.4，1.3 8. 某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 10. 阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ） A. B. C. D. 方程组的解为 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 点在y轴上，则点A的坐标为______． 12. 若是二次根式，则x的取值范围是______． 13. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”）__________． 14. 已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值_______． 15. 如图，已知A点的坐标为，直线与y轴交于点B，连接，若，则____________. 16. 如图，在中，，是的中点，交延长线于点，射线，交于点，若，，则的面积为________． 三、解答题（本大题7个小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程组：． 19. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙 n 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； （2）本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 20. 编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． （1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） （2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 21. 已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，求证． 22. 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／(元／） 第一档 3 第二档 5 第三档 6 （1）当时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1130元，求该户去年一年的用水量． 23. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． （1）求直线的函数解析式和点B的坐标； （2）在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 2026.1.4 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数9、、、中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，掌握其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解： 9是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有2个． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根、有理化分母和平方运算的基本概念．选项A通过有理化分母验证正确；选项B错误因为负数没有实数平方根；选项C错误因为平方运算后结果应为而非；选项D错误因为算术平方根结果非负． 【详解】解：对于A：∵ ， ∴ A正确． 对于B：∵ 在实数范围内，负数没有平方根， ∴ 无意义，B错误． 对于C：∵ ， ∴ C错误． 对于D：∵ 算术平方根非负， ∴ ， ∴ D错误． 故选：A． 3. 平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴且， ∵点P到y轴的距离是4， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 4. 2025年9月，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机、所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标规律，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：由题知，点B和点C关于y轴对称， 因为， 所以飞机的坐标为， 故选：B． 5. 一次函数与正比例函数的图象位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据图象判断系数、的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 通过一次函数的图象确定（斜率）和（截距）的符号，再判断正比例函数的图象是否与的符号匹配，匹配则符合题意． 【详解】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理． 根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 7. 某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 1.2，1.3 B. 1.3，1.3 C. 1.4，1.35 D. 1.4，1.3 【答案】D 【解析】 【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可． 【详解】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多， ∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4； 每天所走的步数的中位数是： （1.3+1.3）÷2=1.3， ∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据． 8. 某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．正确得出等量关系是解题的关键． 根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=35；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树=87棵，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】该班男生有人，女生有人， ∵该班共35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵， ∴得． 故选：D． 9. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用两函数图象结合与坐标轴交点进而分别分析得出答案． 【详解】如图所示： ∵y1=ax，经过第一、三象限， ∴a＞0，故①正确； ∵与y轴交在正半轴， ∴b＞0， 故②错误； ∵正比例函数y1=ax，经过原点， ∴当x＜0时，函数图像位于x轴下方，∴y1＜0；故③正确； 当x＞2时，y1＞y2，故④错误． 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合分析是解题关键． 10. 阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ） A. B. C. D. 方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键． 根据行列式定义计算、、及方程组的解，对比选项判断正误即可． 【详解】解：， 则A正确； ， 则正确； ， 则错误； ，， 因此方程组的解为， 则D正确； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 点在y轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系坐标轴上点的坐标特点，y轴上的点横坐标为0，由此求出m的值，进而求出纵坐标，即可求解． 【详解】解：点在y轴上， ， ， ， 点A的坐标为， 故答案为：． 12. 若是二次根式，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，即，据此求得的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 13. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”）__________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性；方差是反映一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，稳定性越好，长势越整齐． 【详解】解：∵，，且， ∴甲种小麦的方差较小，长势更整齐． 故答案为：甲． 14. 已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由与互为相反数，得，代入原方程组，得到关于和的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 将代入方程组得： 化简得： ， 得：， 解得： 故答案为． 15. 如图，已知A点的坐标为，直线与y轴交于点B，连接，若，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】如图，设直线与x轴交于点C，由直线的解析式是，可得，继而得，再根据三角形外角的性质结合可求得，从而可得，根据点A的坐标可得的长，在中，根据勾股定理即可得解． 【详解】设直线与x轴交于点C，如图所示， ∵直线的解析式是， ∴，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 而点A的坐标是， ∴， 在中，， 即 ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、勾股定理的应用、三角形外角的性质等，求得是解答本题的关键． 16. 如图，在中，，是的中点，交延长线于点，射线，交于点，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理；连接，根据题意可得垂直平分，进而可得，在中，勾股定理求得，进而得出，根据中线的性质即可求解． 【详解】解：连接， 是的中点， ． ， ， 是的中垂线， ． ，， ． 在中，， ， ． 三、解答题（本大题7个小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的加减运算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 19. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙 n 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； （2）本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【答案】（1）29，28， （2）甲队员表现更好 （3）乙在篮板方面表现的更好 【解析】 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【小问1详解】 解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； 【小问2详解】 解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． 【小问3详解】 解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 20. 编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． （1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） （2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹 （2）有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【解析】 【分析】（）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； 【小问2详解】 解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 21. 已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，求证． 【答案】（1）2 （2） 证明：连接，如图：  与都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、平行线的性质： （1）根据等腰直角三角形的性质得，再根据平行线的性质得，进而可得，进而可得，进而可求解； （2）连接，根据等腰三角形的性质得，，，进而可得，再利用可证得，可证，，进而可证，再利用勾股定理即可求证结论； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， 所以 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 22. 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／(元／） 第一档 3 第二档 5 第三档 6 （1）当时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1130元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1） （2） 元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量的值，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出水费与单价的关系式即可； （2）将代入（1）中所求得的解析式计算即可； （3）先判断该户居民的用水量，然后将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：， ， 整理，得， 即； 【小问2详解】 将代入得， (元） 答：该户这一年的水费为元； 【小问3详解】 当用水量为，需交水费元， 当用水量为，需交水费（元）， ， ， 把代入得，， 解得, 答：该户去年一年的用水量为． 23. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． （1）求直线的函数解析式和点B的坐标； （2）在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面积，运用数形结合思想解题是解本题的关键． （1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再令可得的坐标； （2）先求解四边形的面积为；可得的面积为，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴； ∵：(k、b为常数，且)与x轴交于点，且经过点P， ∴， 解得：， ∴：； 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，轴， ∴， ∴四边形的面积为； ∴的面积为， 如图，存在两个这样的点C， 设； ∴的面积， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $