精品解析：吉林省长春市第八中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

长春八中2025-2026学年度上学期期末考试 高 一 年级（数学）试卷 出题人：吴宇杰 审题人：李伟、杨帆、王丽梅 时 间：120分钟 分 值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“命题与命题真假性相反”，可以把原问题转化成恒成立问题，然后分类讨论可得答案. 【详解】“，”为假命题， 等价于“，”为真命题. 当时，，成立； 当时，需满足， 解得； 综上： 故选：A 2. 已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（ ） A. 1rad B. 4rad C. 3rad D. 2rad 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形所对圆心角为，根据弧长公式得到方程，解得即可. 【详解】设扇形所对圆心角为，依题意可得，解得， 即该扇形所对圆心角的弧度是rad. 故选：D 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 4. 若a，b，c，满足，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的性质进行大小比较. 【详解】解，故； 又，故； ， ， 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数与指数函数的单调性的应用，关键是要对a，b，c的大小进行估算，是基础题. 5. 已知，则的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ．故选B． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】 ． 故选：B 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用变换得出曲线的方程，再结合正弦型函数的性质可得. 【详解】由题意可知，曲线：， 因为曲线关于轴对称，所以，即， 又，所以的最小值是. 故选：D 8. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，代入，结合倍角公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 则 . 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次不等式与二次方程的关系，可借助韦达定理来求解即可. 【详解】由不等式的解集为可得： 方程的两根为，且，故A正确； 再由韦达定理可得即， 所以，故B错误； 由不等式， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 由，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，函数，则下列选项中正确的有（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的最小值为1 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇函数定义判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；利用指数运算计算判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，函数是奇函数，A正确； 对于B，函数的定义域为R，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， ，解得：或， 如图，画出函数的图象， 时，与的图象有4个交点， 所以与的图象只能有1个交点，则，得， 由选项判断或成立. 故选：CD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知角的终边与单位圆交于点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合，即可求解. 【详解】由角的终边与单位圆交于点，可得， 又由. 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域即或， 令则在上单调递增，需求函数的单调递增区间，则由复合函数单调性判断方法“同增异减”， 可知需求单调递增区间，即，因此函数的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值； 【详解】由题意可知：定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时， 当时，可知，此时. 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的交、并运算，由可得m的值，进而得到集合B，利用交集的定义运算即可； （2）根据集合的包含关系求参数，对是否为空集讨论即可. 【小问1详解】 由可知且， 解得，所以， 所以； 【小问2详解】 由，得， ①若，则，解得； ②若，因为，所以，解得． 综上可知的取值范围为． 16. 求最值： （1）已知，，且满足，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，，且满足，求的最小值. 【答案】（1）12 （2）5 （3）25 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求和的最小值； （3）由，得，则有，展开后利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 已知，，且满足， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为12. 【小问2详解】 已知，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. 【小问3详解】 已知，，且满足，则有， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为25. 17. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 18. 设函数，． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）当 ， 求值域 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先验证定义域关于原点对称，再通过有理化化简，判断其与的关系（则为奇函数）即可； （2）用换元法令，将指数函数转化为二次函数，结合二次函数的对称轴与区间范围求最值，得到值域即可. 【小问1详解】 当时，显然恒成立， 当时，，则函数定义域是， ， 即，所以是奇函数. 【小问2详解】 令，因为，则 当时，代入，得； 当时，代入，得， 所以， 将转化为关于的函数， ， 令，其对称轴为，开口向上， 当时，； 当时，； 当时，. 因此，即的值域为. 19. 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围. 【小问1详解】 【小问2详解】 时，，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025-2026学年度上学期期末考试 高 一 年级（数学）试卷 出题人：吴宇杰 审题人：李伟、杨帆、王丽梅 时 间：120分钟 分 值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（ ） A. 1rad B. 4rad C. 3rad D. 2rad 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若a，b，c，满足，，，则 A. B. C. D. 5. 已知，则的值是 A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 中国数学家华罗庚倡导“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于不等式的解集为 D. 的最小值为2 10. 已知函数，函数，则下列选项中正确的有（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的最小值为1 C. D. 11. 已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（    ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知角终边与单位圆交于点，则______ 13. 函数单调递增区间是______． 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 求最值： （1）已知，，且满足，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，，且满足，求的最小值. 17. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 18. 设函数，． （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）当 ， 求值域 19. 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $