精品解析：山东省德州市庆云县第二中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

九年级1月份第一次学情调研数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 2025年中国新能源汽车市场呈现爆发式增长，渗透率突破，全国销量预计达到1650万辆．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 下列关于反比例函数的结论中，不正确的是（ ） A. 该函数图象为双曲线 B. 该函数图象在第二、四象限 C. 点在反比例函数图象上 D. 若，则 4. 为了让学生在自然中观察、学习并体验劳动的乐趣．某校积极组织学生参加义务植树活动，八年级学生在第一天种植了100棵树苗，第三天种植了169棵树苗．若每天的植树增长率相同，设每天植树的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 切线长定理 C. 切线的性质定理 D. 切线的判定定理 6. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为（　　） A. 110° B. 105° C. 100° D. 95° 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 11. 如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 4.8 C. 4.9 D. 5.2 12. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴是直线_______，顶点坐标是__________． 14. 用描点法画二次函数的图象时，列出了如下表格，那么______________． …… 0 2 3 …… …… 5 8 5 …… 15. 如图，A是y轴正半轴上一点，过点A作x轴平行线交反比例函数的图像于点B，交反比例函数的图像于点C，若，则m的值是______． 16. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 17. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 三、解答题 18. 计算： （1）． （2）解方程： （3）解方程： 19. 华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） （1）小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； （2）若规定：抽取两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）画出绕点B顺时针旋转后得到； （2）点的坐标为______； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 21. 项目式学习． 背景 小智计划利用所学知识测量某槐树的高度（如图） 素材 首先，小智在点处放置一个高度为1米的测角仪（即米），测得为；小智在点处放置一面平面镜，随后，他从点处沿方向移动2米到达点处（即米），恰好在平面镜中看到槐树的顶端的像，小智眼睛到地面的高度为米，经测量得知：米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 问题 请你帮助小智求出该槐树的高度．（平面镜的大小忽略不计） 22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元，且不低于成本（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把台灯售价定为x元． （1）该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ （3）台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，，，是半径为2的上三个点，为直径，的平分线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 24. 综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： （）值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移个单位，解析式中的反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿轴方向向右平移个单位或向左平移个单位；再沿轴向上平移个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． （）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； （）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于两点，，当平移路径最短时，求的值． 25. 【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】的直角顶点E在矩形的对角线上运动，斜边交于G点，且， ①如图1，当，，则的值为______；的值为______． 【问题拓展】 ②如图2，在矩形中，，当时，求证：； ③如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级1月份第一次学情调研数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 2025年中国新能源汽车市场呈现爆发式增长，渗透率突破，全国销量预计达到1650万辆．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D. 该选项是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程的相关知识点是解题关键．根据一元二次方程的根可以使方程两边相等，求出，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，求出，即可得解． 【详解】解：的一元二次方程的一个根是0， ， ， ， ， ， 故选：A． 3. 下列关于反比例函数的结论中，不正确的是（ ） A. 该函数图象为双曲线 B. 该函数图象在第二、四象限 C. 点在反比例函数图象上 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 详解】解：∵反比例函数，故A正确； ∵， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故B正确， 当时，，则点在反比例函数的图象上，故C正确， 当时，，故D错误， 故选：D． 4. 为了让学生在自然中观察、学习并体验劳动的乐趣．某校积极组织学生参加义务植树活动，八年级学生在第一天种植了100棵树苗，第三天种植了169棵树苗．若每天的植树增长率相同，设每天植树的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），正确理解题意是解题的关键． 根据第三天种植数量=第一天种植数量（平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设每天植树的平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 5. 如图，过外一点P画切线，图中画法的根据是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 切线长定理 C. 切线的性质定理 D. 切线的判定定理 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D． 6. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 7. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 8. 如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为（　　） A. 110° B. 105° C. 100° D. 95° 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由，则，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图： 连接，则， ， ， ， ， ∵， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故D选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，B选项正确． 故选：B． 10. 抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题．根据图象中直线不在抛物线下方的的取值范围求解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于A，B两点，的横坐标为0，的横坐标为3， ∴当时，抛物线在直线下方， ∵不等式的解集即为的解集，也是的解集， ∴不等式的解集为， 故选：D． 11. 如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 4.8 C. 4.9 D. 5.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由正方形的性质得出，，，得出，再由，得出，由勾股定理求出，得出，由得出比例式，求出，即可得出的长． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C 12. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴是直线_______，顶点坐标是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化为抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性． 【详解】解：抛物线， ∴对称轴是直线，顶点坐标为． 故答案为：，． 【点睛】此题考查二次函数的性质，把函数一般形式化为顶点式是解决问题的关键． 14. 用描点法画二次函数的图象时，列出了如下表格，那么______________． …… 0 2 3 …… …… 5 8 5 …… 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的对称性，掌握“与对称轴距离相等的点的函数值相等”是解本题的关键． 由表格信息先求解抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值都为5， ∴函数的对称轴为： ， 结合二次函数的对称性可得：当时的函数值相等， ∴当时，则，即， 故答案为：8． 15. 如图，A是y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图像于点B，交反比例函数的图像于点C，若，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质；设，根据题意得到，计算求解即可． 【详解】解：设， 根据题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 三、解答题 18. 计算： （1）． （2）解方程： （3）解方程： 【答案】（1）0 （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质，特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可； （3）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 19. 华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） （1）小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； （2）若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 【答案】（1） （2）游戏不公平 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数，分别求出小宇和小辰获胜的概率，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是； 【小问2详解】 设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得： ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小辰获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）画出绕点B顺时针旋转后得到； （2）点的坐标为______； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质作图； （2）根据图形得出点的坐标； （3）根据勾股定理求出BC的长，再根据弧长公式求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：； 【小问3详解】 由勾股定理，得， 点C经过的路径长 21. 项目式学习． 背景 小智计划利用所学知识测量某槐树的高度（如图） 素材 首先，小智在点处放置一个高度为1米的测角仪（即米），测得为；小智在点处放置一面平面镜，随后，他从点处沿方向移动2米到达点处（即米），恰好在平面镜中看到槐树的顶端的像，小智眼睛到地面的高度为米，经测量得知：米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 问题 请你帮助小智求出该槐树的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】该槐树的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 延长交点，证明四边形为矩形，得出相等的边，然后证明，最后利用对应线段成比例进行求解即可． 详解】解：如图，延长交点，根据题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 米，， ， ， ， ， ； ； ， 即， 解得， 该槐树的高度为米． 22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元，且不低于成本（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把台灯售价定为x元． （1）该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ （3）台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为45元 （3）台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个列式求解即可； （2）根据总利润等于单个台灯的利润乘以销售量建立方程求解即可； （3）设月销售利润为W元，根据总利润等于单个台灯的利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，该商场平均每月可售出个台灯， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为45元； 【小问3详解】 解：设月销售利润为W元， 由题意得， ， ∵该台灯的售价不超过50元，且不低于成本（售价为整数）， ∴，且x为整数， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 答：台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元． 23. 如图，，，是半径为2的上三个点，为直径，的平分线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，问题得证； （2）先求出，再根据证明，求出，，根据三角函数定义即可求解． 【详解】解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵中，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，求三角函数值等知识，综合性强，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线构造直角三角形、等腰三角形、相似三角形是解题关键． 24. 综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： （）的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移个单位，解析式中的反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿轴方向向右平移个单位或向左平移个单位；再沿轴向上平移个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． （）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； （）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于两点，，当平移路径最短时，求的值． 【答案】（），（）；（）， 【解析】 【分析】（）根据平移的规律解答即可求解； （）设反比例函数上任意一点，将函数图象按平移后，的对应点为，进而推出与，与之间的关系，再根据在反比例函数上即可求出． （）根据抛物线的顶点，可得按平移以后的抛物线顶点坐标为，进而得出平移后的解析式为，联立一次函数解析式，利用一元二次方程根和系数的关系求得，，再根据，可求出，设平移后的路径长为，即，然后利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象的性质，函数图象的平移等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（）解：∵向下平移个单位长度， ∴， ∵向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后对应点坐标为，即 故答案为：，； （）设点是反比例函数图象上的任意一点， 将函数图象按平移后，的对应点为， 则， ，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ 即点在函数上， ∴平移后的函数解析式为； （）由题可知，抛物线的顶点， 按平移后，抛物线顶点坐标为， 设平移后的解析式为，与直线的两个交点分别为，， 联立①②得，， 整理得，， ∴，， 由勾股定理得，， ，， 代入上式，再两边平方，整理得， ， 将③代入，得， 整理得，， ∴， 设平移后的路径长为，由已知可得， 将代入上式，得， ， ∴当时，最小，即最小， 此时 ∴当平移路径最短时，，． 25. 【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】的直角顶点E在矩形的对角线上运动，斜边交于G点，且， ①如图1，当，，则的值为______；的值为______． 【问题拓展】 ②如图2，在矩形中，，当时，求证：； ③如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】①12，5②见详解③ 【解析】 【分析】①利用矩形的性质和勾股定理即可求出，利用旋转的方法将绕点A旋转至，连接，得到，在中，运用勾股定理建立方程求解； ②延长、交于点，将顺时针旋转至，得到，连接、，通过证明三角形全等和角的关系，得到，在中，运用勾股定理得到，再进行等量代换证明； ③将绕点旋转至，并使得，得到， 作，，证明，得到，，证明，得到，进而得到． 【详解】解：①四边形是矩形且， 矩形是正方形， ， 又 是正方形的对角线， 根据勾股定理，， ， 把绕点A旋转至，连接，如图， ，，，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 在中，根据勾股定理，， 设，则， ， 解得， ． 故答案为12，5． ②延长、交于点，将顺时针旋转至，连接、， ， ，， ， ， 又四边形是矩形， ，， ， ，， 又 ， 即， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 又， ， ． ③如图所示，将绕点旋转至，并使得， 四边形是矩形， 又，， ， 作，， ， ， ，， ， 又， ， ，， ， ，， ， 又， 在与中， ， ， ， 又， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．利用旋转的方法将分散的线段集中到一个三角形以便利用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $