2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上学期期末考试试卷

2025-2026学年度八年级上学期数学期末考试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版新教材八年级数学上册(全部内容)。 第一部分选择题 1、 单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 一、单选题 1．下列四个数是无理数的是（   ） A． B． C．0.1313 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题关键． 无理数是无限不循环小数，根据概念逐项判断即可． 【详解】解：A：，为整数； B：选项中含π，π为无理数，故该选项为无理数； C：0.1313为有限小数，为有理数； D：为分数，为有理数， 故选：B． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，勾股数的定义，需同时满足正整数和勾股定理两个条件． 根据三角形三边关系判断是否构成三角形，根据勾股数是满足的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足勾股定理， 对于A：，，不是正整数，故不是勾股数； 对于B：不是正整数，故不是勾股数； 对于C：9，12，15均为正整数，且，满足勾股定理，故是勾股数； 对于D：5，7，12均为正整数，但，不能构成三角形，故不是勾股数； 故选：C． 3．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 4．已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．关键是求出，． 【详解】解：是高，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、∵ ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、 ∴ 不是直角三角形，故B符合题意； C、∵ ∴设 ∴ ∴ 是直角三角形 故C不符合题意； D、∵ ∴ ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 6．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的算术平方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥5 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 9． ； ． 【答案】 / / 【分析】本题考查绝对值的化简与分母有理化，解题的关键是掌握绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），以及分母有理化的方法（乘共轭根式）． ①根据与3的大小关系，利用绝对值的性质化简；②通过给分子分母同乘共扼根式，进行分母有理化计算． 【详解】解：①， ， ； ② ． 故答案为：；． 10．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式和解一元二次方程，先求出方程的根，再分解因式即可．能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 【详解】解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．设，是的两根，则 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，，，再逐步代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 12．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 13．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到、、的距离相等，再结合的长度求出点P到的距离． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：8． 14．小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，根据点在数轴上的位置，得到点为的中点，再根据斜边上的中线，求出的长即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴点为的中点， ∴； 故答案为：4． 15．图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，，， ∴， ∵． 故答案为：21． 16．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 17．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 18．如图，在和中， ，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共7小题，19-23每题6分，第24题10分，第25题12分，共52分） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，然后合并计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法则计算，然后合并解题即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 20．解方程（注意解题要求） （1）；（配方法） (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解： 解得， 经检验，是增根，应舍去． 故原方程的解为． 21．已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式、解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式列方程，然后解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， 解得， 故m的取值范围． （2）解：设是方程的两个实数根， 则，，且， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 故． 22．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （）设月平均增长率为，已知月份销售量是万件，根据增长率公式，月份销售量为万件，3月份销售量为万件，列方程，即可解答； （）设售价应降低元，已知进价为每件60元，原售价为每件元，原每天销售件，售价每降价1元，每天可售出件； 则降价后售价为元，每天销售量为件， 根据每天获利元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程即可解答； 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 可得方程， 因为增长率， 所以舍去， 解得， 即， 答：月平均增长率是； （2）设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低元． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)为直角三角形，见解析； (2)． 【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状； （2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可. 【详解】（1）解：为直角三角形． 理由如下：由题意， ， ， ， ∴， ∴，为直角三角形． （2）解：在中，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键. 24.如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又是边上的高，所以，由是等腰三角形，则，然后通过角度和差即可求解； （）由是等边三角形，是等边三角形，得，，，然后通过“”即可求证； （）由等边三角形性质可得，，又是边上的高，所以，，由全等三角形性质可得，故有当时，最小，最后通过含度直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴，， 由（）得，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为． 25．【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【答案】(1) (2)28 (3)24 (4)10 (5) 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期数学期末考试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版新教材八年级数学上册(全部内容)。 第一部分选择题 1、 单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 一、单选题 1．下列四个数是无理数的是（   ） A． B． C．0.1313 D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 3．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的算术平方根是 ． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 9． ； ． 10．在实数范围内因式分解： ． 11．设，是的两根，则 ． 12．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 13．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 14．小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为 ． 15．图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为 ． 16．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 17．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 18．如图，在和中， ，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的序号为 ． 三、解答题（本大题共7小题，19-23每题6分，第24题10分，第25题12分，共52分） 19．计算： (1)； (2)． 20．解方程（注意解题要求） （1）；（配方法） (2) 21．已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 22．年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 24.如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 25．【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $