精品解析：甘肃省兰州市八校2025-2026学年高二上学期期末联考数学试卷

2025-2026学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 年级：高二科目：数学 试卷说明：共2页，共19小题，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 2. 已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 抛物线的焦点到点的距离为（　　） A. B. 4 C. D. 4. 若直线和互相垂直，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或2 5. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（ ） A. 4680 B. 4320 C. 3640 D. 3860 6. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列有（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线的方程为（其中为参数），则（ ） A. 若曲线表示圆，则 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示轴，则 11. 已知，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 平行直线与之间的距离是_____. 13. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 14. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，满足. （1）求和； （2）求数列的通项公式. 16. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 17. 已知抛物线过其中两点，为的焦点. （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 18. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，下列情况下，各有不同站法多少种? （1）两个女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻； （3）老师不站中间，女生甲不站左端. 19. 已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上． （1）求C的方程； （2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求； （3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 年级：高二科目：数学 试卷说明：共2页，共19小题，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 2. 已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到直线l的斜率，进而求出直线l的方程，求出纵截距. 【详解】直线l倾斜角为60°，则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 故直线l的纵截距为. 故选：D 3. 抛物线的焦点到点的距离为（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以所求距离为. 故选：A 4. 若直线和互相垂直，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程结合垂直关系列式求解即可. 【详解】若直线和互相垂直， 则，解得. 故选：B. 5. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（ ） A. 4680 B. 4320 C. 3640 D. 3860 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法列式计算即得. 【详解】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排，有种排法， 因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法. 故选：B 6. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线方程可得，运算求解即可. 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故选：C. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：将条件整理变形，可得，即可得答案；解法二：由二项式定理计算即可. 【详解】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1. 故选：C 8. 已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可判断. 【详解】设等比数列的公比分别为. 与可能为0，故A，B错误； ，故是等比数列，故C正确； ，故是等比数列，故D正确. 故答案为：CD. 10. 已知曲线的方程为（其中为参数），则（ ） A. 若曲线表示圆，则 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示轴，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程以及直线方程列式求解判断即得. 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得判断A；令得判断B；令得，结合B项求解判断C；根据二项式定理求解即可判断D. 【详解】对于A项，令，则，A项正确； 对于B项，令，则，B项正确； 对于C项，令，则，结合B项得，C项错误； 对于D项，，，则，D项正确． 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 平行直线与之间的距离是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故答案为：2. 13. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程. 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 将代入得， 故所求双曲线方程为，即. 故答案为： 14. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______． 【答案】个 【解析】 【分析】组成小于的正偶数，可以是一位数、两位数、三位数、四位数，再分类计算，即可得出结论. 【详解】有一位正偶数时，可选、， 当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有四位正偶数时，首项为时，由种， 首位为时，只有符合条件，所以共有种. 故答案为：个. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，满足. （1）求和； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定递推关系，赋值求解. （2）利用变形给定递推公式，再利用等比数列求出通项公式. 【小问1详解】 在数列中，，令，得，解得， 令，得，即，解得. 【小问2详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 因此数列是公比为2的等比数列，首项为， 所以数列的通项公式. 16. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可得结果； （2）利用点到直线距离解方程可得 【小问1详解】 由题意得，圆心在直线上， 即, 解得. 【小问2详解】 圆的半径为，圆心到直线的距离， 解得或. 17. 已知抛物线过其中两点，为的焦点. （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）分别选两点，代入抛物线方程求解即可； （2）设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及面积求出即可. 【小问1详解】 若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E的方程为. 【小问2详解】 如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 18. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? （1）两个女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻； （3）老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】（1）1440种 （2）144种 （3）3720种 【解析】 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【小问1详解】 两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． 【小问2详解】 ∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． 【小问3详解】 当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 19. 已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上． （1）求C的方程； （2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求； （3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据圆可得上顶点和焦点，即可得和椭圆方程； （2）根据直线与圆的性质求直线的方程，联立方程结合弦长公式求， （3）设直线，则直线，联立方程求M、N两点的纵坐标，进而求直线MN的斜率为m，即可得分析证明. 【小问1详解】 对于圆， 令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为； 令，可得，解得，可知椭圆的焦点为； 则，，则， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知：，圆的圆心为，直线与椭圆C必相交， 则，可得直线的斜率， 则直线的方程为， 设， 联立方程，消去y可得，解得或， 所以. 【小问3详解】 由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线，则直线， 联立方程，消去x可得，解得， 即，同理可得， 则，， 可得， 因为，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $