精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

6学科网 列组卷网 2025一2026学年度上学期八年级数学试卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清 楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题纸上答题无效. 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚. 5,保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是() 【答案】A 第1页/共32页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对 称图形.根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可. 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意： B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意： 故选：A. 31 x2+2x+1m+n 2.在m,x,x-1, 5,m-n中，分式的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键. 根据分式的定义（分母中含有字母的有理式），判断每个表达式是否为分式. 31m+n 【详解】解：由题意得，m,x,m-n是分式； x2+2x+1 x-1, 5 是整式； 分式共有3个 故选B, 3.下列计算结果正确的是() A.a3.a2=a6 B.a.a3=a c (a)'-d D.x8÷x2=x(x≠0) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，解题的关键是熟练掌握它们的运算法则. 根据幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，对每个选项进行判断即可· 【详解】解：A、a·a=a=d≠ ，该选项错误，不符合题意； 第2页/共32页 6学科网命组卷网 B、 aa3=d3=a4≠a ,该选项错误，不符合题意： C、(a)=a=a”≠a',该选项错误，不符合思意： D、x8÷x2=x8-2=x(x≠0) 该选项正确，符合题意. 故选D. 4.如图，在△ABC中，AB=BC=CA,点O在△ABC内，OA=OB=OC,图中一共有()个等腰 三角形. A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可. 【详解】解：，OA=OB=OC, △AOB,△BOC,△AOC 是等腰三角形； AB=BC=CA △ABC是等腰三角形， △AOB,△BOC,△AOC,△ABC 综上分析可知：等腰三角形有： 故选：A。 5.下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是() Aa-4=(a+2)(a-2) B.4a(a+2b)=4a2+8ab 第3页/共32页 学科网命组卷网 C2-3x+2=x(x-3)+2 D.a2-b+1=(a+b)(a-b)+1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分.根据因式 分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解， 【详解】解：A,左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意： B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意： C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意： D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意。 故选：A. 6.如图，在四边形 BCD中，AD‖BC,MB=6,BC=10.按下列步骤作图：①以点4为圆心，适 1 EF 当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点：②分别以点E、F为圆心，大于2的长为半 径画弧，两弧相交于点P:③作射线AP交BC于点G,则CG的长为() A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识.根据题意可得： AP ∠BAD∠BAG=∠DAG BA=BG=6 平分 ,即 ,根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得 进一步即可求解. 第4页/共32页 学科网组卷网 【详解】解：根据题意可得：AP平分∠BAD,即∠BAG=∠DAG, .AD∥BC, .∠DAG=∠BGA, ∴.∠BAG=∠BGA, .BA=BG=6, BC=10, .CG=BC-BG=4, 故选：C 7.下列命题的逆命题不成立的是() A.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B.两直线平行，同位角相等 C.全等三角形的对应边相等 D.全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题的判定与真假判断、全等三角形的判定、平行线的判定和绝对值的定义，解题的 关键是先写出每个命题的逆命题，再判断其是否成立， 分别写出各选项命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假. 【详解】解：A、逆命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等， .a=b. .lal=l ∴逆命题成立，不符合题意； B、逆命题：同位角相等，两直线平行， ,平行线判定定理， ∴逆命题成立，不符合题意； C、逆命题：对应边相等的三角形全等， 第5页/共32页 6学科网 命组卷网 SSS全等判定， 逆命题成立，不符合题意； D、逆命题：对应角相等的三角形全等， ,对应角相等只能证明相似，不一定全等， ∴逆命题不成立，符合题意： 故选D. &如图，在△MBC中，MB=1C∠B=309,1D1B,交BC于点D.若MD=2,则BC 中， ,交 的长为( B D 10 A. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题 关键，根据等腰三角形性质得∠C=∠B=30°，进而得∠BAC=120°，根据AD⊥AB得 ∠DAC=∠C=30°aCD=AD=2 RIAABD ，则 ,在 D中，根据B=30°每BD=2AD=4 得 ,由此即可 得出BC的长， 【详解】解：在△ABC AB=AC,∠B=30° 中， .∠C=∠B=30°， :∠BAC=180°-（∠C+∠B)=120 ,AD⊥AB, 第6页/共32页 6学科网可组卷网 .∠BAD=90°， .∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°， .∠DAC=∠C=30° .CD=AD=2, 在Rt△ABD中，∠B=30°， .BD=2AD=4, .BC=BD+CD=4+2=6, .BC的长为6. 故选：C 9.对于实数”，b,定义新运算※。，规定：※b=d-b.将多项式 ※9 因式分解的结果是( A.a(a2-9 B.a(a+9)(a-9)ca(a-3)} D.a(a+3)(a-3) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键. 根据新运算定义，先计算必 9得到多项式口-9如，然后进行因式分解即可。 【详解】解：.a※b=a23-ab :x9=d-ax9=d2-9a :a-9a =a(a2-9 第7页/共32页 学科网 命组卷网 =a(a+3(a-3) 故选：D 10如图，在△MBC中，AB=AC,BC=6,Sc=24,直线GH是AB的垂直平分线，若点D是 BC E 的中点，点为直 线GH上一个动点，连接BE、DE,则ABDE 周长的最小值为() A.8 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD,AE,先根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC,求得BD=)BC=3,再利用三 2 角形的面积公式求得AD=8,然后根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,从而可得△BDE的周长 为3+AE+DE,最后根据两点之间线段最短可得当点A、E、D共线时，AE+DE的值最小，最小值为 AD的长，由此即可得. 【详解】解：如图，连接AD,AE, 第8页/共32页 学科网命组卷网 :AB=AC,BC=6,点D为边BC的中点， .ADLBC.8D-zBC-3 ·Sic=24 BC·AD=1x6×AD=24 1 .2 解得：AD=8, :直线GH垂直平分线段AB, .'AE=BE, ∴.△BDE的周长为BD+BE+DE=3+AE+DE, 当点A、E、D共线时，AE+DE的值最小，最小值为AD的长， △BDE周长的最小值为3+AD=3+8=11. 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题.熟练掌握等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，面积 法求三角形的高，三角形周长公式，两点之间线段最短，是解题关键 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 1 11.分式3-x有意义，x满足的条件为一 【答案】x≠3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.根据分式有意义 的条件，分母不能为零，因此需解分母不等于零的不等式. 第9页/共32页 6学科网 组卷网 1 【详解】解：，分式3-x有意义， .3-x≠0， 解得x≠3 故答案为：x≠3. 12.把多项式ax2+2x+d分解因式的结果是 【答案】a(x+a)2 【解析】 【分析】先提出公因式4，然后再利用完全平方公式进行分解即可. 【详解】解：ar2+2x+ad =a(x2+2ax+2) =a(x+a)2 故答案为：a(x+a)2 【点睛】本题考查了综合提公因式法与公式法分解因式，解题的关键是掌握分解原则“一提（公因式）， 二套（公式)，三彻底”， 13.如图，在△ABC中，∠A=40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED= D 【答案】280°#280度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解. 利用三角形的内角和定理，分别求出∠B+∠C与∠ADE+∠AED,再相加即可. 第10页/共32页 6学科网 命组卷网 【详解】解：：在△ABC中，∠A=40° .∠B+∠C=180°-∠A=140°， 在△ADE中，∠A=40°， .∠ADE+∠AED=180°-∠A=140° .∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280° 故答案为：280° 14.已知4y2+my+9 是完全平方式，则m= 【答案】±12 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的结构特征 判断即可求出的值， 【详解】 4y2+my+9 是完全平方式， ∴.4y2+my+9=(2y±3)2=4y2±12y+9 .m=±12. 故答案为：±12 15.如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,若△BCD的周长是l3, AB=8 BC ,则的长为 第11页/共32页 6学科网组卷网 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线性质， 根据线段垂直平分线性质得到AD=BD,根据三角形周长公式求解BC长度. 【详解】解：AB的垂直平分线MN交AC于点D, .'AD=BD, :AD+CD=AC=AB=8,△BCD的周长是13， :△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+(AD+CD)=BC+AC=I3 .BC+8=13. .BC=13-8=5 故答案为：5. 11 16.若y=x-y≠0，则yx 【答案】1 【解析】 x-y 【分析】本题考查分式的化简求值，将所求表达式通分后得到y,再利用已知条件y=x一y代入计 算即可. 第12页/供32页 6学科网 命组卷网 【详解】解：：y=x-y≠0 1_1=x-y=x-y=y=1 .y x xyxyxyxy. 故答案为：1. 17.如图，在平面直角坐标系中，若点A(-3,),C(,0),过点C作BC⊥AC,且BC=AC,则点B 的坐标为」 以 3 2 A C, -4-3-2-10 1234x -1 -2 -4 【答案】 (2,4)或(0，-4) 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中点的坐标特征，掌握求解点的坐标的方法是解题的关键 首先通过4(-3，).C1,0) 求解对应线段的长度，进而再利用BC=AC及全等三角形的判定和性质求 解点B的坐标即可. 【详解】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H, 第13页/共32页 6学科网命组卷网 34 2 1 C 234 -2 -3 -4B A(-3,1)C(1,0) .OH=3,AH=1,OC=1, ..CH=OH+OC=4. :AC=CH2+AH2=17 BC=AC, 如图，以AC为半径画圆，交BC于点B,B,过点B作B,MIX轴于点M,连接BM,CM,过 点B作8M1轴1点0.连越0.C0 B O :∠4HC=∠CMB=90°.∠AC=∠COB,=90 第14页/共32页 命学科网命组卷网 ∠ACH+∠HAC=90°∠ACH+∠B,CM=90° :∠HAC=∠BCM :△AHC≌aCMB(AAS) CM=AH=1 BM=CH=4 :B(2,4) 同理可得： △AHC≌△COB2（AAS) .B(0,-4)」 点B的坐标为(2,4)或(0,4) 故答案为：(2,4)或(0，-4) 18.在“Z”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中x、y轴的单位长度都为lm,则“Z”形 薄板的重心坐标为！ y10cm 10cm 30cm 10cm 0 30cm 30cm “Z”形薄板 【答案】 (2,27) 【解析】 【分析】本题主要考查均匀薄板的重心与形心重合的几何概念，采用分割法，将不规则“Z”形拆分为3 个规则矩形，确定各矩形的面积与形心坐标，再代入形心叠加公式，分别计算整体重心的：横、纵坐标， 第15页/供32页 6学科网命组卷网 得到最终结果 【详解1解：水平上方矩形，长30，宽10，面积9=30x10=300cm,形心坐标15,45)， 竖直中间矩形，长30，宽10，面积5，=40×10=400cm,形心坐标(5,30)， 水平下方矩形，长30，宽10，面积S=30×10=300cm2 形心坐标（15,5) :Sa=300+400+300=1000cm2 300×(-15)+400×5+300x15=2 重心横坐标 1000 300×45+400×30+300×5=27 重心竖坐标 1000 重心坐标为(2,27) 故答案为： (2,27) I9.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在AD上，下列四个结论： ①∠B5D=∠CED:②图中共有两组全等三角形：@S4s=S,4,①若∠CMD=2∠BCD,则 AC=AD+ED 其中所有正确结论的序号是一· E D 【答案】①③④ 【解析】 第16页/供32页 6学科网命组卷网 【分析】结合等腰三角形的性质，得AD⊥BC,BD=CD,证明△BED≌△CED(SAS),即 ∠BED=∠CED,同理证明△ABD≌ACBD(SAS),△BAE≌△CAE(SMS), 然后延长AD至点F,使得 ED=FD,证明△CED≌ACFD(SAS),运用直角三角形的两个锐角互余以及等角对等边，故 AC=AD+ED ,即可作答. 【详解】解：：AB=AC,D是BC的中点， AD⊥BC,BD=CD DE=DE. :△BED2aCED(SAS) ∴.∠BED=∠CED」 故①符合题意； :AB=AC,D是BC的中点， AD⊥BC,BD=CD AD=AD. :△ABD≌ACBD(SAS) :AB=AC,D是BC的中点， .∠BAE=∠CAE, AB=AC,AE=AE, :.△BAE≌△CAE(SAS) 图中共有三组全等三角形 第17页/供32页 6学科网命组卷网 故②不符合题意： ,△BAE≌△CAE. SABE =SACE 故③符合题意： ④延长AD至点F,使得ED=FD, E DI F :AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC, :ZEDC=90=∠FDC .DC=DC, :△CED≌aCFD(SAS) 则∠F=∠FEC,∠FCD=∠ECD AD⊥BC :∠F=90°-∠ECD .∠CAD=2∠ECD. :∠ECD=}∠CAD 第18页/供32页 6学科网命组卷网 :F=90-<CD 21 ∠ACF=∠ACD+∠FCD=90°-∠CAD+∠CAD=90°-1∠CAD 即∠F=∠ACF 则AF=AC .AF=AD+DF.ED=FD .AC=AD+ED 故④符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角对等边，直角三角形的两 个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键， 三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分） 20.计算： w(4awg的)2sj】 2)(x+yx-y)-(x-2y2x-y) 【答案】（山）40 (2)-x2+5xy-3y2 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键. (1)先分别计算单项式乘单项式、积的乘方，再合并同类项得到最终结果； 第19页/供32页 命学科网命组卷网 (2)先运用平方差公式计算前半部分，再用多项式乘多项式法则展开后半部分，去括号后合并同类项求 解. db-Idb=Idb 【详解】(1)解：原式2 4 4 (2)原式=x--(2x2-y-4y+2y2) =x2-y2-2x2+y+4xy-2y2 =-x2+5y-3y2 ，x2+x1 21.先化简，再求值：x2-1x2+2x+1x-1,其中x=2: 2 【答案】x-1,2. 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握分式运算法则和因式分解方法是解题 的关键.先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算并约分，再与后面的分式进行 通分合并，得到最简分式后，代入x=2计算求值. .x2+x1 【详解】解：x2-1x2+2x+1x-1 x(x+1)2,1 (x+1)(x-)x(x+)x- 1,1 x-1'x-1 2 x-1, 2 =2 当x=2时，原式2-1 第20页/供32页 6学科网列组卷网 AC 22.如图，已知△ABC的周长为35，AD是BC边上的中线， AB=3 21 (1)当AC=10时，求BD的长. (2)AC能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5(2)AC不能等于12， 理由如下：假设AC能等于12， B=34C 2 44B=3×12=18 .△ABC的周长为35， AB+AC+BC=35 :BC=35-AB-AC=35-12-18=5 △ABC ,12,18 的三边长分别为 此时5+12<18，不满足三角形的三边关系， AC 不能等于12. 【解析】 第21页/供32页 命学科网命组卷网 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关 键 (1)先求出AB=15,再根据三角形的周长公式可得BC=10,然后根据三角形中线的性质解答即可得； (2)假设4C AB=18,BC=5 等于12，则 ，再利用三角形的三边关系解答即可得. 【小问1详解】 解，AB=31C 2 ,AC=10, :AB=x10=15 .△ABC的周长为35， AB+AC+BC=35 :BC=35-AB-AC=35-15-10=10 :AD▣BC 是边上的中线， BD三BC=S 【小问2详解】 略 23.已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF, CG P 相交于点· E E F P P G A B D A 图1 图2 第22页/供32页 学科网组卷网 (1)如图1，求证：点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等； (2)如图2，连接AP,若∠BPC=75°，求∠PAC的度数. 【答案】(1) 证明：过点P分别作PH⊥AE,PM⊥BC,PN⊥AD,垂足分别为H,M,N. E H M BN D ,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线， .PM PN,PM=PH, .PH=PM=PN, ∴点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. (2)∠PAC=15° 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定. ()作PH⊥AE,PM⊥BC,PN⊥AD,由角平分线的性质，即可证得结论： (2)先借助I)的结论得出AP平分∠BAC,得∠PAC=∠P1B=)∠BAC 2 ,再利用BF、CG分别平分 △ABC △PBC ∠PBC+∠PCB 的外角，结合内角和求出 的度数，进而算出外角和：最后通过三角形外角 性质推导∠BAC的度数，再根据角平分线求出∠PAC的度数. 【小问1详解】 第23页/供32页 6学科网命组卷网 略 【小问2详解】 解：由(O得PH=PN,PH⊥AB,PN⊥AD. :∠PAC=∠PAB=}∠BAC :BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线， .∠CBD=2∠PBC,∠BCE=2∠PCB. 在△PBC中，∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=180°-75°=105°， ∠CBD+∠BCE=2(∠PBC+∠PCB)=210° 又.∠CBD=∠BAC+∠ACB. .∠BAC+∠ACB+∠BCE=210°. :.∠BAC+180°=210°， .∠BAC=30°. PAC=∠BAC=I5 24.2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关 的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A,B两种吉祥物挂件，己知每个B种挂件的价格是每个A种 × 挂件价格的5，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A,B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个， 求该游客最多购买多少个A种挂件， 第24页/供32页 命学科网命组卷网 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的 关键. 4 (1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为5，根据题意列分式方程求解即可： (2)设该游客购买y个A种挂件，则购买(y+5 个B种挂件，根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 4 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为5元. 300200=7 4 根据题意，得5 解得x=25,经检验x=25是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元： 【小问2详解】 解：设该游容购买y个A种挂件，则购买(y+5)个B种挂件， 4 ×25=20 由(1)得每个B种挂件的价格为5 （元)， 根据题意，得25y+20(y+5)≤600 100 解得 9, 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件. 25.找规律 第25页/供32页 6学科网命组卷网 观察下列各式： 12+22+22=32 22+62+32=72 32+122+42=132 (1)说明等式左边三个数之间的关系； (2)根据以上规律，写出第4个式子； (3)根据以上规律，写出第n(n为正整数)个式子，并说明理由 【答案】(1)第三个数比第一个数大1，且第一个数与第三个数的乘积等于第二个数 (2)42+202+52=212 (3) n2+[n(n+1)]了+(n+12=[n(n+1)+1], 理由如下：左边=m+[n(n+]+(n+) =n2+(n2+n2+n2+2n+1 =(n2+n+2n2+2n+1. 右边=[n(n+l)+1]'=[n(n+1)]+2n(n+)+1=(+n2+2m2+2n+1, ∴左边=右边， :2+[n(n+l]+(n+l=[n(n+l)+1] 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，数字类规律题，熟练掌握完全平方公式，因式分解是解题的 关键。 ()根据观察等式左边三个数即可解答； (2)根据题意列出式子即可； 第26页/供32页 学科网命组卷网 3 )根据以上所的规律列出等式即可得，再利用整式的混合运算验证左右两边是否相等即可. 【小问1详解】 解：第三个数比第一个数大1，且第一个数与第三个数的乘积等于第二个数； 【小问2详解】 42+202+52=212 解： 【小问3详解】 略 26.己知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，且点D在直线BC上，连接 BE F D B 图1 图2 图3 (I)如图1，点D在射线CB上，求证：EB⊥BC: (2)如图2，点D在BC上，DE交AB于点F,且DF=DA,求证：AB+BE=BC; (3)如图3，点D在射线BC上，AE交BC于点G,且BE=AC,若Sc=4,求BG的长. 【答案】(1) 证明：如图1， 第27页/供32页 6学科网6组卷网 D B 图1 在等腰直角△ABC中， AB=AC, .∠ABC=∠ACB. 又：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=90° .∠ABC=∠ACB=45°. 同理∠ADE=∠AED=45°， .∠BAC=∠EAD=90°， .∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD,即∠CAD=∠BAE. 又：AC=AB,AD=AE, .△CAD≌ABAE. .∠ABE=∠ACD=45°， .∠CBE=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°. ∴.EB⊥BC (2) 第28页/供32页 6学科网6组卷网 证明：如图2， D 图2 .∠BAC=∠EAD=90°， ∴.∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD, 即∠CAD=∠BAE, 又：AC=AB,AD=AE, .△CAD≌△BAE, .BE =CD. :∠ADB=∠BDE+∠ADE,∠ADB=∠CAD+∠C, :.∠BDE+∠ADE=∠CAD+∠C, .∠BDE+45°=∠CAD+45°」 .∠BDE=∠CAD. 又：∠ABC=∠ACB=45°，DF=DA, :△CMD≌△BDF .AC=BD=AB. .AB+BE=BD+CD=BC. (3)BG=2V2-2 第29页/供32页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质（边相等、角为45°或90°），三角形全等的判定(SAS)及 性质（对应边、对应角相等），三角形内角和定理与外角性质的应用，同时结合了线段等量代换、面积公式 的设元求解，是几何中“全等模型+等腰直角：三角形性质”的综合运用， ()利用等腰直角三角形的边相等( AB=AC,AD=AE、 ),通过角的和差推得 ∠CAD=∠BAE,证 △CAD≌ABAE ∠ABE=∠ACD=45° ，∠ABC=45°，∠EBC=90° ,进而得到 ,结合 ,算出 ,证明垂直： (2)先借助等腰直角三角形的边相等和角的差量关系，用SAS证△CAD≌△BAE,得出BE=CD,将 待证式转化为AB+CD=BC；再通过三角形外角性质与等腰直角三角形的45°角，推得 ∠BDE=∠CA ,结合DF=DA等条件证 CAD≌ABDF AC=BD AC=AB ，得到 ,又因 故 MB=BD,最后把MB=BD,BE=CD代入BC=BD+CD 即可证得 AB+BE=BC (3)先通过角的差量关系和SAS证△CAD≌aBAE,推出BE=CD、∠ABE=∠ACD,结合等腰直角 三角形的角度算出∠CBE=9O°，再由BE=AC得CD=AC,进而推出∠CAG=∠AGD,即 CG=CD=BE,设BE=CG=x,则DG=2x,代入△DBG的面积公式，求出x=2,得到4 AC=2 ;设 最后利用等腰直角三角形AH⊥BC的性质，结合三角形面积公式算出相关边长，最终确定BG的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第30页/共32页 6学科网组卷网 解：如图3，过点A作AH⊥BC于点H G五 D 图3 :∠BAC=∠EAD=90°， .∠BAC-∠CAE=∠EAD-∠CAE,即∠CAD=∠BAE, 又：AC=AB,AD=AE, .△CAD≌△BAE, .BE=CD,∠ABE=∠ACD, .∠ABE=∠ACD=180°-∠ACB=180°-45°=135°， .∠CBE=∠ABE-∠ABC=135°-45°=90°. EB⊥BC, 又：BE=AC, .CD=AC, .∠CAD=∠ADC, 又：∠CAD+∠CAG=90°，∠ADC+∠AGD=90°， .∠CAG=∠AGD,.CG=AC=CD, 令BE=x,则CD=CG=x,DG=2x 第31页/供32页 6学科网命组卷网 SAG=DG×BE=4 2 2xxx=4 .2 x=±2(-2舍去)， ∴.AB=AC=CG=2, :AB=AC,AH⊥BC,∠BM=∠CAH-)∠BAC=4 °，BH=CH, .∠BAH=∠ABC=45°， ∴.AH=BH, .AH BH=CH. 令BH=m,则BC=2m,AH=m, SA三)BC×AH=,ABxA@ 2mxm= ×2×2 2 :m=5（5舍去)， BC=2m=22 BG=BC-CG=22-2 第32页/供32页 2025—2026学年度上学期八年级数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点在内，，图中一共有（ ）个等腰三角形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 全等三角形的对应角相等 8. 如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 分式有意义，满足的条件为_____． 12. 把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是_____． 13. 如图，在中，，则________． 14. 已知是完全平方式，则______． 15. 如图，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为____． 16. 若，则______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，若点，，过点作，且，则点的坐标为_____． 18. 在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为_____． 19. 如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分） 20. 计算： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，已知的周长为35，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ 23. 已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． （1）如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； （2）如图，连接，若，求的度数． 24. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 25. 找规律 观察下列各式： ； ； ； （1）说明等式左边三个数之间的关系； （2）根据以上规律，写出第个式子； （3）根据以上规律，写出第（为正整数）个式子，并说明理由． 26. 已知：与都是等腰直角三角形，，且点在直线上，连接． （1）如图1，点在射线上，求证：； （2）如图2，点在上，交于点，且，求证：； （3）如图3，点在射线上，交于点，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $