精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度上学期八年级数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 用数学眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点在内，，图中一共有（ ）个等腰三角形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 全等三角形的对应角相等 8. 如图，在中，，，，交于点．若，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数0.000000102用科学记数法表示为________． 12. 分式有意义，满足的条件为_____． 13. 把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是_____． 14. 如图，在中，，则________． 15. 已知完全平方式，则______． 16. 如图，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为_____． 17. 若，则_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，若点，，过点作，且，则点的坐标为_____． 19. 在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为_____． 20. 如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，已知的周长为33，是边上的中线，． （1）当时，求的长； （2）能否等于12？为什么？ 24. 已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． （1）如图，求证：点到三边，，所在直线距离相等； （2）如图，连接，若，求的度数． 25. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 26. 找规律 观察下列各式： ； ； ； （1）说明等式左边三个数之间关系； （2）根据以上规律，写出第个式子； （3）根据以上规律，写出第（为正整数）个式子，并说明理由． 27. 已知：与都是等腰直角三角形，，且点在直线上，连接． （1）如图1，点射线上，求证：； （2）如图2，点在上，交于点，且，求证：； （3）如图3，点在射线上，交于点，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期八年级数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式定义（分母中含有字母的有理式），判断每个表达式是否为分式． 【详解】解：由题意得，，，是分式； ，是整式； ∴分式共有3个． 故选B． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，解题的关键是熟练掌握它们的运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选D． 4. 如图，在中，，点在内，，图中一共有（ ）个等腰三角形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 5. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意； B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意； C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意； D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：A． 6. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【详解】解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 7. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题的判定与真假判断、全等三角形的判定、平行线的判定和绝对值的定义，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再判断其是否成立． 分别写出各选项命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：A、逆命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等， ∵， ∴， ∴逆命题成立，不符合题意； B、逆命题：同位角相等，两直线平行， ∵平行线判定定理， ∴逆命题成立，不符合题意； C、逆命题：对应边相等的三角形全等， ∵全等判定， ∴逆命题成立，不符合题意； D、逆命题：对应角相等的三角形全等， ∵对应角相等只能证明相似，不一定全等， ∴逆命题不成立，符合题意； 故选D． 8. 如图，在中，，，，交于点．若，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．先利用等腰三角形性质得出底角相等，结合三角形内角和求出顶角；再通过直角三角形角的性质求出的长度，接着算出的度数并证得，最后通过线段和求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，求得，再利用三角形的面积公式求得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点A、E、D共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，点D为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长为， 当点A、E、D共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，面积法求三角形的高，三角形周长公式，两点之间线段最短，是解题关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数0.000000102用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示．科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数．对于小于 1 的数， 为负整数，其绝对值等于小数点移动的位数，根据此作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式有意义，满足的条件为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此需解分母不等于零的不等式． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得 ． 故答案为：． 13. 把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是_____． 【答案】a（x+a）2 【解析】 【分析】先提出公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：ax2+2a2x+a3 =a（x2+2ax+a2） =a（x+a）2 故答案为：a（x+a）2． 【点睛】本题考查了综合提公因式法与公式法分解因式，解题的关键是掌握分解原则“一提（公因式），二套（公式），三彻底”． 14. 如图，在中，，则________． 【答案】##280度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三角形的内角和定理，分别求出与，再相加即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】是完全平方式， ， ， 故答案为： 16. 如图，，垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线性质，根据线段垂直平分线性质得到，根据三角形周长公式求解长度． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ∴ ， ∵，的周长是， ∴的周长， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】该题考查了分式化简求值，将所求表达式通分后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：1． 18. 如图，在平面直角坐标系中，若点，，过点作，且，则点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中点的坐标特征，掌握求解点的坐标的方法是解题的关键． 首先通过，，求解对应线段的长度，进而再利用及全等三角形的判定和性质求解点B的坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点H， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 如图，以为半径画圆，交于点，，过点作轴于点M，连接，，过点作轴于点O，连接，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 同理可得：， ∴； ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 19. 在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查均匀薄板的重心与形心重合的几何概念，采用分割法，将不规则“”形拆分为个规则矩形，确定各矩形的面积与形心坐标，再代入形心叠加公式，分别计算整体重心的：横、纵坐标，得到最终结果． 【详解】解：水平上方矩形，长，宽，面积，形心坐标； 竖直中间矩形，长，宽，面积，形心坐标； 水平下方矩形，长，宽，面积，形心坐标； ∴， 重心横坐标， 重心竖坐标， 重心坐标为． 故答案为：． 20. 如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】结合等腰三角形的性质，得，证明，即，同理证明，，然后延长至点，使得，证明，运用直角三角形的两个锐角互余以及等角对等边，故，即可作答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴； ∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴图中共有三组全等三角形 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ④延长至点，使得， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵ ∴ ∵， ∴， 即， ∴， 则， 即 则 ∵， ∴ 故④符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （）先分别计算单项式乘单项式、积的乘方，再合并同类项得到最终结果； （）先运用平方差公式计算前半部分，再用多项式乘多项式法则展开后半部分，去括号后合并同类项求解． 【详解】（）解：原式． （）原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算分式的除法，再计算加法，结果化为最简分式，然后将代入计算即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 如图，已知的周长为33，是边上的中线，． （1）当时，求的长； （2）能否等于12？为什么？ 【答案】（1）4 （2）不能等于12，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，与三角形的中线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，，算出，再结合是边上的中线，进行计算，即可作答． （2）假设，结合，得出，再结合是边上的中线，进行计算，得，运用三角形三边关系进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵的周长为33， ∴ ∵是边上的中线， ∴； 【小问2详解】 解：不能等于12，理由如下： 依题意，当时， ∵周长为33， ∴ ∵， ∴，，这三边不能构成三角形， 24. 已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． （1）如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； （2）如图，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． () 作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； ()先借助()的结论得出平分，得，再利用分别平分的外角，结合内角和求出的度数，进而算出外角和；最后通过三角形外角性质推导的度数，再根据角平分线求出的度数． 【小问1详解】 证明：过点分别作，，，垂足分别为，，． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． 【小问2详解】 解：由得， ∴． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，． 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 26. 找规律 观察下列各式： ； ； ； （1）说明等式左边三个数之间的关系； （2）根据以上规律，写出第个式子； （3）根据以上规律，写出第（为正整数）个式子，并说明理由． 【答案】（1）第三个数比第一个数大，且第一个数与第三个数的乘积等于第二个数 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，数字类规律题，熟练掌握完全平方公式，因式分解是解题的关键． ()根据观察等式左边三个数即可解答； ()根据题意列出式子即可； ()根据以上所的规律列出等式即可得，再利用整式的混合运算验证左右两边是否相等即可． 【小问1详解】 解：第三个数比第一个数大，且第一个数与第三个数的乘积等于第二个数； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：，理由如下： 左边 ； 右边； 左边右边， ∴． 27. 已知：与都是等腰直角三角形，，且点在直线上，连接． （1）如图1，点在射线上，求证：； （2）如图2，点在上，交于点，且，求证：； （3）如图3，点在射线上，交于点，且，若，求长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质(边相等、角为或)，三角形全等的判定()及性质(对应边、对应角相等)，三角形内角和定理与外角性质的应用，同时结合了线段等量代换、面积公式的设元求解，是几何中“全等模型+等腰直角：三角形性质”的综合运用． （）利用等腰直角三角形的边相等()，通过角的和差推得，证，进而得到，结合，算出，证明垂直； （）先借助等腰直角三角形边相等和角的差量关系，用证，得出，将待证式转化为；再通过三角形外角性质与等腰直角三角形的角，推得，结合等条件证，得到，又因故；最后把代入，即可证得； （）先通过角的差量关系和证，推出，结合等腰直角三角形的角度算出，再由得，进而推出，即；设，则，代入的面积公式，求出，得到；最后利用等腰直角三角形的性质，结合三角形面积公式算出相关边长，最终确定的长度． 【小问1详解】 证明：如图， 在等腰直角中， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点． ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，∴， 令，则， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 令，则，， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $