精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2024-2025学年八年级上学期数学期末复习

萧红中学阶梯作业•八学年上• 数学 学科期末复习 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（ ） A. ﹣20 B. ﹣16 C. 16 D. 20 5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（ ） A. BD平分∠ABC B. △BCD的周长等于AB＋BC C. AD＝BD＝BC D. △BCD面积等于△BED的面积 6. 如果把分式中和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的2倍 7. 已知x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 8. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ） A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 10. 如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题(每题3分，共18分) 11. 如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=__________°． 12. 世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有米的晶体管，该数用科学记数法表示为_____米． 13. 若一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为____________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为_____． 15. 已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________． 16. 如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点E，于点，现有下列结论： ①； ②平分； ③； ④； 其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)． 三、解答题(共52分) 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：÷（2x﹣），其中x＝2． 19. 为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝，已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． （1）每副护肘和护膝价格分别是多少元； （2）若学校决定用不超过8000 元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案． 20. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC． （1）设点C的坐标为（a，b），求a+b的值． （2）求四边形OACB的面积． （3）在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 萧红中学阶梯作业•八学年上• 数学 学科期末复习 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、不轴对称图形，故错误； D、是轴对称图形，故正确． 故选：D． 【点睛】考点：轴对称图形． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 解得， 故选：D． 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 4. 若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（ ） A. ﹣20 B. ﹣16 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：x2+mx+36=（x﹣2）（x﹣18）=x2﹣20x+36， 可得m=﹣20， 故选：A． 【点睛】考点：因式分解-十字相乘法等． 5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（ ） A. BD平分∠ABC B. △BCD的周长等于AB＋BC C. AD＝BD＝BC D. △BCD的面积等于△BED的面积 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质先求解，利用垂直平分线的性质证明，再求解，从而可判断，；再利用三角形的外角的性质求解，证明，从而可判断，如图，过作于 证明，从而可判断 详解】解： AB＝AC，∠A＝36°， AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， 平分，故正确； 故正确； 故正确； 如图，过作于 平分 故错误； 故选： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的2倍 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用2x和2y去代换原分式中x和y， 得， 可见新分式扩大为原来的2倍． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 7. 已知x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵x2＋kxy＋16 y2是一个完全平方式， ∴k＝±8． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键． 8. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可． 【详解】解：根据题意有， 故选：A． 【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ） A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠BAD＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°． 故选：B． 10. 如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质即可得到． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， 在△BAE和△ACD中， AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE＝∠CAD， ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°， ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°， ∴BP＝2PQ＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 二、填空题(每题3分，共18分) 11. 如图，∠ACD是△ABC外角．若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=__________°． 【答案】50 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝125°，∠A＝75°， 故答案为50． 【点睛】考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 12. 世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有米的晶体管，该数用科学记数法表示为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 13. 若一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，根据任意一个多边形的外角和都是360度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这个多边形的边数为； 故答案为：12． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以求得的度数，再利用平行线的性质，角平分线的定义求解，再利用含的直角三角形的性质求解，证明，求解，从而可以求得BC的长． 【详解】解： ∵CM平分∠ACB， ， ∴ ∵ ∴， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 15. 已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________． 【答案】k<6且k≠3 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 【详解】解：， 方程两边都乘以（x-3），得 x=2（x-3）+k， 解得x=6-k≠3， 关于x的方程程有一个正数解， ∴x=6-k＞0， k＜6，且k≠3， ∴k的取值范围是k＜6且k≠3． 故答案为k＜6且k≠3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键． 16. 如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点E，于点，现有下列结论： ①； ②平分； ③； ④； 其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)． 【答案】①③ 【解析】 【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明③正确；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△CFD，从而得到BE=FC，从而可得AB+AC=2AE，故可判断④． 【详解】解：如图所示：连接BD、DC． （1）∵，， ∴∠AED=∠AFD=90°， ∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360° ∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°， 故①正确； ②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°． 假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°， 又∵∠E=∠BMD=90°， ∴∠EBM=120°． ∴∠ABC=60°． ∵∠ABC是否等于60°不知道， ∴不能判定MD平分∠EDF，故②错误； ③∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD=30°． ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°． ∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=AD． 同理：DF=AD． ∴DE+DF=AD．故③正确． ④∵DM是BC的垂直平分线， ∴DB=DC． 在Rt△BED和Rt△CFD中 ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD． ∴BE=FC． ∴AB+AC=AE-BE+AF+FC 又∵AE=AF，BE=FC， ∴AB+AC=2AE．故④错误． 因此正确的结论是：①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 三、解答题(共52分) 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式，整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）先计算多项式乘法和完全平方公式，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：÷（2x﹣），其中x＝2． 【答案】，1 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【详解】解：÷（2x﹣） ＝÷() ＝÷ ＝ ＝， 当x＝2时， 原式＝＝1． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 19. 为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝，已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． （1）每副护肘和护膝的价格分别是多少元； （2）若学校决定用不超过8000 元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案． 【答案】（1）每副护肘20元，每副护膝30元 （2）共有三种方案，方案一：买护肘100副，护膝200副；方案二：买护肘101副，护膝199副；方案三：买护肘102副，护膝198副 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设每副护肘x元，则每副护膝元，根据题意可列出关于x的分式方程，求解并检验即可； （2）设买护肘y副，则买护膝副，根据题意可列出关于y的一元一次不等式组，求解，结合y为整数，解答即可． 【小问1详解】 解：设每副护肘x元，则每副护膝元， 根据题意有：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：每副护肘20元，每副护膝30元； 【小问2详解】 解：设买护肘y副，则买护膝副， 根据题意有：， 解得：． ∵y为整数， ∴共有三种方案，如下， 方案一：买护肘100副，护膝200副； 方案二：买护肘101副，护膝199副； 方案三：买护肘102副，护膝198副． 20. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1） （2）4或2或16或 【解析】 【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【小问1详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或 则满足条件的整数或2或16或， 故答案为：4或2或16或． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC． （1）设点C的坐标为（a，b），求a+b的值． （2）求四边形OACB的面积． （3）在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3）存在，P的坐标是或或 【解析】 【分析】（1）如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，可知△ECA≌△OAB，知的长，得到的坐标，进而得到的值，进而得到的值； （2）如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，，代线段值求解即可； （3）分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，△PEB≌△BOA，得的值，进而表示的点坐标即可；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E， ∴∠CEA＝90° ∵A，B ∴OA＝2，OB＝1 ∵∠BAC＝90° ∴∠BAO+∠CAE＝90° ∵∠ECA+∠CAE＝90° ∴∠ECA＝∠BAO 在△ECA和△OAB中 ∴△ECA≌△OAB（AAS） ∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1 即OE＝EA+OA＝3 ∴C点坐标为 ∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC， ． 【小问3详解】 解：存在点P，使△PAB与△ABC全等； 分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°， ∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90° ∴∠EPB＝∠ABO 在△PEB和△BOA中 ∴△PEB≌△BOA（AAS） ∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2 ∴， 即P的坐标是； ②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°， ∵△CAB≌△PAB ∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP ∴∠CBP＝90° ∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90° ∴∠MCB＝∠PBE 在△CMB和△BEP中 ∴△CMB≌△BEP（AAS） ∴PE＝BM，CM＝BE ∵ ∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2 即P的坐标是； ③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°， ∵△CAB≌△PBA ∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90° ∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90° ∴∠ABO＝∠BPE 在△BOA和△PEB中 ∴△BOA≌△PEB（AAS） ∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2， ∴OE＝BE+BO＝2+1＝3， 即P的坐标是； 综合上述，符合条件的P的坐标是或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于全面考虑三角形全等的可能情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$