上海市进才中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

2025-2026年进才中学高一上期末 一、填空题 1.函数f(x)= 的定义域为一· V2x+1 2+>0,得x>以数的 的定义城为(2+*o) 2u知sna+爱=号则cos2a+学-一 2 【解折1co82a+号=cos2a+=l-2sm(a+爱=1-2x-) 3.茶函数f(x)=(m2-2m-2)x2m-在(0，+0)1：为减函数，则m的值为一 【解析】l数f(x)=(Um2-2m-2)x2m-是幂数，则m2-2m-2=1, 解得m=-1或m=3: 当m=-1时，f(x)=x3,作(0，+0)上为减函数，满足题意： 当m=3时，f(x)=x，在(0，+∞)为增函数，不合题意. 枚m=-1. 4L知扇形AOB的倒心角∠A0B=2 ,饭长为2π，扇形的而积为一· 【解析】扇形怕阅心角为2”，则半轮R=?亚=3，则扇形的而积S=×2π×3=3n. 3 2π 3 5.不等式lg(2.x+5)<1的解集为 [2x+5>0 【解析】llg(2x+S)<1, 得 5 2x+5<10' 解得-。<x< 签式g(2x+5)<1的解集为( cos sin(π+ax) 6.已知ha终边上·点P(1,3),则 a cos(π-a)+sin(-a) 【解析】原式=sina+sina 2tan a 63 -cosa-sina -1-tana-1-32 7.设集合A=0,4,B={u2,2-4,2u-2},若AsB,则u= 【解析】ll条件得A三B,且A={0,a},B={a,2-4,2a-2},所以0∈B. 下而分类讨论： 当2u-2=0时，则4=1，集合B有州同元索1，不符合题意. 当a2=0时，则a=0,集合A冇相同心券0，不符合题意： 当2-a=0时，则4=2，所以A={0,2},B={4,0,2}，符合题总： 综上，a=2. 8心知1≤1g(≤4，-1s1g产≤2，则1g亡的取情能阀地一 【解析】1≤g(y≤4，-1≤g≤2，得1≤gx+lgy≤4，-1≤lgx-l8y≤2， 少 而lg一=2lgx-lgy,设2lgx-lgy=m(lgx+lgy)+n(lgx-lgy), y 则m+n=2 1 3 (m-n=-1 ,解得m= 2 所以g号-2gx-gy=gx+g叨+gx-g》.所以-1≤g号≤5， 放g二的取杭他附起[-1。 y 9.心知ae0,),山4 sinBcos-sinaB=0,则an(a-p)的最人i是一 【馀析】出4 sin Bcosa-sina cos B=0,两边问时除以cos a cos B, 得4tanB=tana,即tanB=-tanz>0, 4 3 所以tan(a-P)=iana-ianB -tan a 4 3tan a -1-tana tan B 1+tan'a 4+lan2a 4 ，当且仅当tana= 4 -,即tana=2时取等兮， 4 tana tan a+ 4-s lan a 3 所以tan(u-)的最大i为 4 10.若函数f(x)=2(x+a)-1在区问(0，I).上蒌点，则实数4的取范闹光· 【解析】函数f(x)=2*(x+a)-1在lX问(0,1)上有零点 台方程x+4=(一)在区间(0，).上行解 一方程a=( -x作区间(0,1)上有解， 右边为严格减函数， -x(放a（剖 11.心知x+1川+x≥x+|x-2|+m有实数解，求m的成人值为 【帐析】|x+1-|x-2|+x-x2≥m实数褓， 闪为x+川-x-2s3,x-x≤，当且仅当x=时取等与， 2 所以m的最人值为4 3 [x2+2x+2,x≤0 12.已知函数f(x)= Inx-1,x>0 ,若关于x的方程fx-(3a+1)fm+5=0有 6个不相等的实数根，则实数a的取伉池围为一。 【解析】结合对数函数与一次函数的性质，作山函数f(x)的图象如下： 内令1=f(x),则方程d[f(x)]-(3a+)f(x)+5=0可化为 at2-(3a+1)1+5=0,令g(t)=a2-(3a+l)t+5, 结合f(x)的图象得，4≤0时，显然不符合题意； a>0时，要使原方程冇6个实数根， 只需g(0=0在(0,1)和(1,2]上各有·个根：或在(2，+∞)上有两个异实根， 4>0 g(0)=5>0 △=(34+1)2-20a>0 得g0=a-(3a+0+5<01,或3a+>2 (Ⅱ)， g(2)=4u-2(3a+I)+5≥0 2a g(2)=-2a+3>0 域g(1)=0(l), 而(1)解巾(1)得0<4<7-20 9 巾()得a=2,此时另一根1=，符合题意， 综上，a的取估花制址(0,7-20 9U2. 二、选择题 13.已知a、Be(0,π)，则“cosa=cosB”是“sina=sinB”的() A.充分不必要条件 B.必要个充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为a、B∈(0，π)，所以cosa=cosB,得a=B,所以sinu=sinB, 充分性成立： 当sina=sinB时，得x=B或a+B=π，则cosa=cosB或cosa=-cosB, 必要性不成立， 故“cosu=cosB”光“sina=sinB”的允分不必要条件.故选A. 14.若u、b、c∈R,则下列命题止确的足() A.若a>b>c,则1<，1 B.若a>b,则ac2>bc u-c b-c C.若a<b<c<0,则2、b+c D.若a>b,则a2>b2 aa+c 【解析】若4>b>c,b-a<0,a-c>0,b-c>0, 则1-L-b-c-(a-e=b-a 0, a-c b-c (a-c)(b-c)(a-c)(b-c) 所以1天 一< ，所以A确： a-c b-c 当c=0时，lla>b推不Hac2>bc2,所以B错误： 因为2_h+c-ba+c)-ah+d_c6-a) aa+c a(a+c) a(a+c) 若a<b<<0,则 a+c<0→aa+ey>0, a<0 →c(b-a)<0, b-a>0 所以b_b+c=6-<0,即2<+C,所以C错误： aa+c a(a+c) aa+c 若a=1,b=-2,满足a>b,但2-b2=-3<0,所以2<b2,所以D错误. 故选A. 15,函数f田=x8的部分图像人致是( ) 2*+2" 2 2衣 B 2 【解析】山明数f)=o8,得f9的定义域为(-0,0U(0,+o), 2+2 得f对=-68x=-168=-寸)，所以的数f为奇函数， 2-+2 2+2-x 则函数f(x)的图象关丁原点，可排除B,D项： 当x>1时，得xlog2|x>0,2"+2x>0,所以f(x)>0, 当0<x<I1时，得xlog2xK0,2+2>0,所以f(x)<0, 所以选项Λ的图象符合题意，故选A. I6.心知函数y=f(x)其表达式为f(x)=6(x-2k)2,x∈[2k-1,2k+1](k∈Z),函数 y=g(x)其衣达式为g(x)=2+x+c，若对任总x,x2∈R，都有 g(x+x2)=g(x)+g(x2)+4,则方程f(x)=g(x)的解的个数为() A,6 B.7 C.8 D.9 【解析】因为对任意x,x2∈R,都竹g(:+x)=g(x)+g(x2)+4, 令x=3=0,则有g(0)=2g(0)+4,解得g(0)=-4,从而得c=-4: 令x1=-x2,则hg(0)=g(-x2)+g(x2)+4,所以g(-x2)+g(x,)=-8, 即ax号-x-4+ax号+x2-4=2子-8=-8，所以a子=0对作意x3∈R恒成立， 所以a=0,所以g(x)=x-4,所以当x<4时，g(x)=x-4<0, 又因为f(x)=6(x-2k)2≥0，所以当x<4时，方程f(x)=g(x)无解： … 6(x-4)2,x∈L3,5] =8(x) 6 所以f(x)=6(x-2k)2= 6(x-6)2,x∈(5,7J 6(x-8)2,x∈(7,9] f(x) 6(x-10),x∈(9,11 6 … 所以y=f(x)的域为l0,6], 当x210时，g(x)=x-4≥6，此时方程f(x)=g(x)解： 作出y=(x)和y=g(x)的部分图象，1图所示： 当x∈[3,5]时，令6(x-4)=x-4,解得x=4或x= 25 ∈[3,5]， 6 此时方程f(x)=g(x)有2个解. 此川得两函数图象行7个交点，即力程f(x)=g(x)行7个解，故选B. 三、解答题 l7.U知sinc= ， cos(a+B)=10 其中a、9e0孕： (1)求tan2a: (2)求B. 【解】()L知sina=5 ’cos(a+P)=0 =侣共中a、Be@孕， 所以cosa=V-sina=2y5,枚ana=sna-是 5 cosa 2 故tan2= 2tana 4 I-tan2a 3 (2)Jsina= eoa+m=而，其中a,Be0孕，故a+Be0, 5 10 所以cosa=2V5 ，si(a+)=-cosa+A=3d 10 cos B=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sin a =i0x2w53w0x5 1051052 ,故B=元 4 18.己知函数f(x)=1n(1-x)-ln(1+x).i心集合A为f(x)的定义域. (1)判断证明函数f(x)的奇偶性： (2)当x∈4时，求函数g()=(宁)2“的值域 【解析】(1)数f(x)为奇数，证明如下： [1-x>0 山题总得 1+x>01 解得-1<x<1,A=x-1<x<, 闪为=M--m+=ac年学， 山-动2=+'+-因. 所以函数f(x)为奇函数： (2)因为1=x2+2x的图象开口向.上，对称轴x=-l, 1=x2+2x在(-1，)内严格增，义因为y=(匀y作定义域上严格减， 所以函数8)=分+在（←，）内格说， Ⅱg-0=2,80=g即8<86<2， 8 所以两数g6)=(分广“的位城是哈2. 19.为了更高效地处理校园内的疫情突发情况，某校决定在学校门川川石侧搭建间高为3米， 底面积为20平方米的长方体形状的临时隔离革，设临时椭离竿的左右两侧的地面长度均 为x米(Q≤x≤5).现就该项对外进行公开招标，共中T公司给出的报价细门为：临时隔 离室的左右两侧墙报价为：平方米200心，前后两侧墙报价为树平方米250心，屋顶总 报价为3400元：而乙公则省接给出了T程的整体报价t关于x的函数关系为 1=-30x2+240x+14900. （1)设公i司T鉴体报价为y心，试求y关丁x的函数保析式： (2)若采州最低价标规则，哪家公可能竞标成功？请说明现由. 【解析】(1)积为20平方米，左右两侧的地面长度均为x米， 得附离竿前后两侧墙的k度为20 20 故报价y=2×3×x×200+2××3×250+3400 =1200x+3000+34001≤x≤5). x (2)y=1200x+30000+3400≥2,120x 30000 +3400=15400, 当L仅当1200x=30000 即x=5时取得敏小值15400元， 因为1=-30x2+240x+14900=-30(x-4)2+15380, 勿得当x=4时，1取得最人伉15380，因为15380<15400， 所以无论x收何值，公可州的报价都比公可乙的高，所以公可乙能竞标成功. 20.己知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. （D若不等式)<-的解袋为风，泉实数m伯取值范间： (2)解关于x的不等式f(x)≥(m+)x: 3)比不岁式四≥0伯解类为4,21554，求实数m的取价疤间。 【解析】(1)①当m+1=0,即m=-1时，f(x)=2x-3,不合题意： ②当m+1≠0，即m≠-1时，不等式f(x)<- 、三的解樂为R, 即(m+x-(m-lx+m-4<0解失为R, m+1<0 即 △=(m-1)y-4m+mC<0'即3m2+5m-230 m<-1 解得 m<-2或m>3 1 综上，m<-2,故m的取i范用为(-0，-2)： (2)f(x)≥(m+1)x,即(m+1)x2-2mx+m-1≥0， 即「(m+1)x-(m-1)l(x-1)≥0， ①当m+1=0,即m=-1时，解集为{x|x21号： ②当m+1>0,即m>-1时，-m-Xx-)20,m-=1-2<1, m+11 m+1m+1 所以解集为xx≤m-或x≥： m+1 ③当m+1<0,即m<-1时，(x-m二x-)≤0， m+1 因为m--1-2>,所以解集为x1≤x≤m-, m+1m+1 m+1 综上所述，当m<-1时，解集为x1sx≤m- +1 当m=-1时，解集为{x|x≥}， 当m>-1时，解集为{xx≤m二或x≥： m+1 (3)(m+I)x2-(m-1)x+m-1≥0，即(x2-x+1)≥-x2-x+1, x-x+1>0恒成立，m≥二-x+1-1+20-0 x2-x+1 x2-x+1 设1-x=4,则1∈5，打，变形得x=1-少 1-x 1 -x+1a-0-0-0+1F-1+1+ 因为1+-≥2，当山仅当1=1时取货号， 所以-x+1 1-x ≤1当月仪当x=0时收等号， 所以4=0时，C学节-1，逸hm之. 即m的收值范国为「1，+o). 21.心知函数y=f(x)的定义域为D.若存在实数a,使得对任总x∈D,都存在x,∈D, 伙得x,+f(x)=,则称函数y=f(x)具有性质P(). (1)分别判断：y=2及y=2x+1是否县行性质P(0)(结论不湍要证明)： (2)若函数y=f(x)的定义域为D,山只有性质P(I),证明：“1∈D”尤“函数y=f(x) 存：否点”的充分非必兴条件： (3)心知t∈R,改g(x)=x2+2x,若存在唯一的实数a,使得函数y=g(x),x∈l0,2 具有性质P(),求1的值. 【除析】(1)y=2不其行性质P(O),y=2x+1其行性质P(O),理出1下： 囚为指数数y=2的定义域为R,对」a=0,x=1,1+2>0怕成立， 所以不存在x2∈R满足x+f(x)=0,因此函数y=2不具有性质P(O): 因为一次数y=2x+I的定义域为R, 对于a=0,XeR,取，=-+1eR,则x+25+1=0, 2 因此y=2x+1其性质P(O) (2)当1∈D时，J数y=f(x)共冇悱质P(I), 收x=1,则存作x2∈D,使得x+f(x)=1+f(x2)=1, 所以f(化)=0，因此函数y=f(x)存在零点x2,即允分桃成立： 数=布在装a啡，设=-e0引则了（份》-0 世于作x引以%分，则[引=[引 且满起+)=+42)小1=1， 所以两致y=其行作质P四，le0 即必要性不成立： 因此“1∈D”是“函数y=f(x)存在安点”的允分非必要条件。2025-2026年进才中学高一上期末 一、填空题 1 1.函数f(x)= 的定义域为 √2x+1 2u知sn(a+名=号则eos2a+孕=一 3 3.茶函数f(x)=(m2-2m-2)x2m-在(0，+)为减函数，则m的值为 4.L知扇形AOB的岗心角∠A0B=2 红，呱长为2π，扇形的而积为 5.不等式lg(2.x+5)<1的解集为 cos a- sin(π+ax) 6.已知ha终边上·点P(L,3),则 cos(π-a)+sin(-a) 7.设集合A={0,,B={u2,2-a,2a-2},若AsB,则a= 8.心知1≤1g()≤4，-1≤1g≤2，则1g的取值花闱是 9.心知ae(0, 孕.L4 4sinBcosa--s=0,则ana-)的最大抗地_ 10.若函数f(x)=2(x+a)-1在区间(0，).上行零点，则实数a的取值i范闹光 11.心知x+1川+x2x2+|x-2|+m有实数解，求m的蚊人伉为 12.已知函数f(x)= 产+2x+2,x≤0，若关于x的方程cfx-(3u+f)+5=0有 Inx-1,x>0 6个不相等的实数根，则实数a的取伉范围为一 二、选择题 13.已知a、B∈(0，π)，则“cosa=cosB”是“sina=sinB”的() A.充分不必要条件 B.必要个充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.若a、b、c∈R,则下列命题止确的足() A.若a>b>c,则1<1 B.若a>b,则ac2>bc2 u-c b-c b、b+c C.若a<b<c<0,则二> D.若a>b,则a2>b3 aa+c 15.函数fx) xlog,x的部分图像人致是( 2x+2r 之 2 16.心知函数y=f(x)其表达式为f(x)=6(x-2k)2,x∈[2k-1,2k+1](k∈Z),函数 y=g(x)其表达式为g(x)=2+x+c，若对任意，x2eR，都有 g(x+x2)=g(x)+g(x2)+4,则历程f(x)=g(x)的解的个数为() A.6 B.7 C.8 D.9 三、解答题 √5 17.心知sina= cos(a+=y而 =,共申a、Ae03: (1)求tan2a: (2)求B. 18.己知函数f(x)=n(1-x)-lm(1+x).i记集合A为f(x)的定义域： (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性： (2)当x∈A时，求函数g()=(白)2r的值域 19为了更高效地处理校园内的疫情突发情况，某校决定在学校门11右侧搭建向高为3米， 底面积为20平方米的长方体形状的临时隔离革，设临时附离率的左右两侧的地面长度均 为x米①≤x≤5).现就该项门对外进行公开招标，共中印公词给出的报价细门为：临时隔 离室的左右两侧墙面报价为树平方米200元，前后两侧墙报价为母平方米250元，屋顶总 报价为3400元：而乙公则自接给山了T程的煞体报价t关于x的函数关系为 1=-30x2+240x+14900. (1)设公司下整体报价为y心，试求y关于x的函数解析式： (2)若采州最低价中标规则，哪家公能竞标成功？请说明现由。 20.己知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. )若不签式f)<-的解朱为R,求实数m的取价范用时 (2)解关于x的不等式f(x)≥(m+)x: 3》记不等式f≥0伯解集为，之54，求实数m伯取价花用同。 21.心知函数y=f(x)的定义域为D.若存在实数a,使得对任意：∈D,都疗在x,∈D, 使得x+f(x)=a,则称函数y=f(x)具有性质P(). (1)分别判断：y=2及y=2x+1起否具行性质P(O)(结论不湍要证明)： (2)若函数y=f(x)的定义域为D,山具有性质P(I),证明：“1∈D”龙“函数y=f(x) 存在：否点”的充分非必兴条件： (3)心知t∈R,设g(x)=x+2x,若存在唯一的实数a,使得函数y=g(x),x∈0,2到 具有性质P(),求的值.