精品解析：宁夏 银川市第二十四中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期九年级数学期末考试试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 二次函数的图象与轴的交点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知点在反比例函数图像上，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在一个不透明的口袋中装有个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 空心方管在建筑、机械制造、交通运输及装饰等方面有广泛应用．如图是一根空心方管的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ） A. B. 12 C. 8 D. 6. 如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点，二次函数图象的对称轴为直线，给出四个结论：① ；②当 时，随着的增大而增大；③；④；其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 8. 如图，正方形边长为，以为边作第个正方形 ，再以为边作第个正方形， ，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为__________． 10. 已知 为锐角，，则 的度数是______． 11. 若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 12. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是______． 13. 关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为______． 14. 如图1是一个花架图，图2是其侧面简化示意图，若，，，则的长为________cm． 15. 如图，在函数和 的图象上，分别有、两点，若 轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 16. 在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 中，已知， ，点在以半径为4的 上运动，则的最小值为__________． 三、解答题（17至22题每题6分，23，34每题8分，25，26每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心在轴的左侧画出它的位似图形，相似比为； （2）分别写出两点的对应点的坐标为_________． （3）如果 内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标是________． 19. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 20. 如图是正五边形，连接对角线，，与相交于点O．试判断四边形的形状，并说明理由． 21. 某网店销售一种小商品，成本每件 元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为 元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 22. 如图， 的弦，相交于点E，且．求证： （1）= （2） ． 23. 如图，已知一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 24. 综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． （1）求线段的长； （2）求信号塔的高度（结果取整数）． 25. 如图，抛物线 与轴交于点 ，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式、对称轴和顶点坐标． （2）设的横坐标为t，请用含t的式子表示线段 的长，写出t的取值范围，并求出线段 的最大值． 26. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点 分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边 相交于点，． （1）如图1，若 ， ①点的坐标是___________； ②连接 ，当 时，探究点 是否分别为线段 的中点，并证明； （2）如图2，过点作 ，垂足为点，连接， ．当 时，探究点 是否分别为线段 的黄金分割点，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级数学期末考试试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 二次函数的图象与轴的交点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．通过计算，判断与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故二次函数的图象与轴有2个交点， 故选：C． 2. 已知点在反比例函数图像上，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数图像上的点的坐标及象限判断，掌握判断方法是解题的关键． 可求，由象限符号特征进行判断即可求解． 【详解】解：当时， ， ， 在第一象限； 故选：A． 3. 在一个不透明的口袋中装有个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识．掌握用频率估计概率的含义是解题关键．根据频率估计概率，白球的概率稳定在 ，设红球数为，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】设红球有个，则总球数为个， ∵摸到白球的频率稳定在 ， ∴白球的概率为 ， ∴，即． 解得 ． 检验：当 时，，故 是原方程的解， ∴红球有 个． 故选：D． 4. 空心方管在建筑、机械制造、交通运输及装饰等方面有广泛应用．如图是一根空心方管的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键．俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．根据俯视图的概念，即可得到答案． 【详解】解：从上面看空心方管是一个长方形，由于看不见的部分画虚线，所以该长方形中间有两条平行的线段，且为虚线，所以其俯视图为 ， 故选C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ） A. B. 12 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 6. 如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，进而得出 是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O，连接， ∵ ， ∴， ∵，， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴该铜镜的直径为． 故选：B． 7. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点，二次函数图象的对称轴为直线 ，给出四个结论：① ；②当 时，随着的增大而增大；③；④；其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象开口向下可得 ，由对称轴公式可得，据此可判断①；根据对称轴和开口方向可判断②；由对称性可得图象经过点，则二次函数图象与x轴有两个不同的交点，据此可判断③；可求出当时，，据此可判断④． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴ ， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴，故①正确； ∵函数图象开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时，随着的增大而增大，故②正确； ∵二次函数图象经过点， ∴由对称性可知，图象经过点， ∴二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③错误； 函数图象开口向下，且图象经过点和， ∴当时，， ∴，故④错误； ∴正确的有①②，共2个， 故选：D． 8. 如图，正方形边长为，以为边作第个正方形 ，再以为边作第个正方形， ，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，图形类变化规律问题，由已知图形可得第个正方形的边长为，据此即可求解，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个正方形的边长为， 第个正方形 的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形 的边长为， ， ∴第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长为， 故选： ． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 根据抛物线平移的规律，即可求解． 【详解】解：原抛物线为，向右平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得， 故答案为：． 10. 已知 为锐角，，则 的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵ 为锐角，，， ∴ 故答案为：． 11. 若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 12. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得： ， 即：的取值范围是 ， 故答案为： ． 13. 关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由两根之和求出，由两根之积求出，再计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别为和， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 14. 如图1是一个花架图，图2是其侧面简化示意图，若，，，则的长为________cm． 【答案】30 【解析】 【分析】根据三条线段平行，可得对应的比例关系，进而可求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理． 【详解】解：, , ， , ． 故答案为：30． 15. 如图，在函数和 的图象上，分别有、两点，若 轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 16. 在中，若 为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 中，已知， ，点在以半径为4的 上运动，则的最小值为__________． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了给定三角形性质的应用，点和圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，理解给定三角形的性质是解题的关键．取 的中点，连接，根据给定三角形的性质，结合点与圆的位置关系回答即可求解． 【详解】解：如图，取 的中点，连接，则， 在矩形中，， ， 连接 ，当点在 上时，取得最小值，此时有最小值， ， ， 在中，， ， 当时，的最小值， 故答案为： ． 三、解答题（17至22题每题6分，23，34每题8分，25，26每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及特殊的三角函数．掌握实数的混合运算法则及熟记特殊三角函数值是解题关键．根据实数混合运算法则及三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心在轴的左侧画出它的位似图形，相似比为； （2）分别写出两点的对应点的坐标为_________． （3）如果 内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标是________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可； （2）由（1）所作图形即可解答； （3）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）所作图形得：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可得，点，即对应点的坐标是原来的点横、纵坐标的倍． 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 【答案】（1）三棱柱； （2）该几何体的体积为． 【解析】 【分析】（1）由三视图可知该几何体名称； （2）作 交于点，结合锐角三角函数和勾股定理求出，，，继而求出，即可求得该几何体的体积． 【小问1详解】 解：根据三视图可知，该几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； 【小问2详解】 解：作 交于点， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 该三棱柱的体积为． 【点睛】本题考查的知识点是三棱柱的三视图、体积、锐角三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 20. 如图是正五边形，连接对角线，，与相交于点O．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正多边形的内角和定理，等边对等角和三角形内角和定理，根据正五边形的性质得到，再由正多边形内角和定理可得，由等边对等角和三角形内角和定理求出 的度数，进而求出的度数，则可证明，，进而证明四边形是平行四边形，再由 ，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是菱形． 21. 某网店销售一种小商品，成本每件 元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为 元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 【答案】月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题．掌握销售利润的公式应用是解题关键．根据总利润=商品单件的利润×销售件数及二次函数的图象与性质求最值即可． 【详解】解：存在，设每件商品的售价为元． 根据题意，得． ∵， ∴当时， 取得最大值，最大值为． ∴月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 22. 如图， 的弦，相交于点E，且．求证： （1）= （2） ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的判定定理（等角对等边）；掌握同圆内弦、弧、圆周角之间的相互转化关系，通过逐步推导实现角与边的关系转化，是解题的关键． （1）同圆中等弦对等弧，由得对应弧相等，两段弧同加一段公共弧，即证目标弧相等； （2）同圆中等弧对等圆周角，由前述相等的弧得对应两角相等，依等角对等边，即证 ． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 即． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ． 23. 如图，已知一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为； （2） （3）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入 ，则， 解得， 一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知直线 ，， 直线 交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． 【小问3详解】 解：根据图象得：不等式的解集为或． 24. 综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． （1）求线段的长； （2）求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】（1）； （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）设 ，根据正切的定义，先在 中用x表示出，再在 中得到，所以，解方程求出x，从而得到的长； （2）在 中利用正切的定义求出，然后计算即可． 【小问1详解】 解：设 ， 在 中，∵ ， ∴， 在 中，∵， ∴， ∵， 即， ∴， 解得， ∴； 答：线段的长为； 【小问2详解】 解：在 中，∵， ∴， ∴． 答：信号塔的高度为 ． 25. 如图，抛物线 与轴交于点 ，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式、对称轴和顶点坐标． （2）设的横坐标为t，请用含t的式子表示线段 的长，写出t的取值范围，并求出线段 的最大值． 【答案】（1）;对称轴直线为；顶点坐标为 （2）;; 的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据交点式可求函数表达式，然后可知对称轴和顶点坐标； （2）求出直线的表达式，设点的坐标，进而利用二次函数的性质求最大值． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键． 【小问1详解】 解：由题可知，设抛物线的表达式为, 因为抛物线与轴交于点,, 则抛物线的对称轴为直线, 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为 , 将,代入表达式得 得, , 则直线的表达式为, 设点,则点, 则 当时， 的最大值为． 因为点在线段 上， 则． 26. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点 分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边 相交于点，． （1）如图1，若 ， ①点的坐标是___________； ②连接 ，当 时，探究点 是否分别为线段 的中点，并证明； （2）如图2，过点作 ，垂足为点，连接， ．当 时，探究点 是否分别为线段 的黄金分割点，并证明． 【答案】（1）①； ②点，分别为线段，的中点，理由如下， 在矩形中， ，， ． ． ， ． ． ． ． 点 在反比例函数的图象上， ． ． ． ． ． ． ． 点 分别为线段 的中点． （2） 解：点，分别为线段，的黄金分割点，理由如下： ， ， ， ． 设， ． ． ，即． 点为线段的黄金分割点． ． ． 点为线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，黄金分割点，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①根据 求出坐标即可；②结合矩形的性质证出 ，得到，求出再得到即可得出结论． （2）根据题意证出 ，得到，设，求出，得到点为线段的黄金分割点．再结合 得到，即可证出结论． 【小问1详解】 解：①∵ ， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：． ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $