精品解析：甘肃省定西市安定区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间100分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，不是因式分解，故A不符合题意； B．是整式乘法运算，不是因式分解，故B不符合题意； C．选项右边为和，不是积，不是因式分解，故C不符合题意； D．选项右边为积的形式，且左边为多项式，是因式分解，故D符合题意． 故选：D． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据同底数幂乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式，进行计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 5. 如图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：D． 6. 如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先通分化简括号内的表达式，再将除法转化为乘法，利用平方差公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 8. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和乘方，然后进行有理数的加减运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 当分式的值为0时，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：分式的值为0，需满足分子且分母， 解方程，代入分母得，符合条件． 故答案为：． 14. 分式与的最简公分母为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：与的最简公分母为． 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，∠B＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝__． 【答案】20º 【解析】 【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可． 【详解】解：∵△ABD沿着AD翻折得到△AED，∠BAD=∠ABC=40°， ∴∠ADC=40°+40°=80°， ∴∠ADE=∠ADB=180°-40°-40°=100°， ∴∠CDE=100°-80°=20°， 故答案为：20º 【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答． 16. 在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，利用图形正确列式是解题的关键．用长方形面积减去空白部分的面积分别表示出、，再利用整式的混合运算计算它们的差即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， 由得， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11题，共72分，要写出必要的解题过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据平方差公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 19. 解分式方程: + = 【答案】无解 【解析】 【分析】分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验是否为方程的解． 【详解】解： + = 方程两边乘（x﹣1）（x+1），得5（x﹣1）+3（x+1）=6． 解得x=1． 检验：当x=1时，x2﹣1=0． 因此x=1不是原分式方程的解．所以原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程的步骤的知识，即去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程、解方程、验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果是零，则这个根是原方程的增根，必须舍去；若结果不为零，则是原方程的根、得出结论，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 20. 先化简，再从，，，，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则进行化简，然后利用分式有意义的条件得出x的值，将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 21. 已知，，，在上，且，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由得，再由得到，于是可根据“”判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 22. 如图，已知中，其中． （1）画出与关于y轴对称的图形； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法． （1）根据轴对称变换的性质作图即可； （2）根据割补法和三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示； ； 【小问2详解】 解：的面积． 23. 已知正整数，求证：能被16整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．先根据平方差公式进行运算，然后进行判断即可． 【详解】证明： ． 为正整数，是2的倍数， ∴是16的倍数， ∴原式能被16整除． 24. 已知a，b，c为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定． 根据完全平方公式，将等式转化为非负数的和，再根据等边三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 25. 从沈阳到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍． （1）求普通列车的行驶路程． （2）若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度（千米/时)的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短小时，求高铁的平均速度． 【答案】（1）普通列车的行驶路程是千米； （2）高铁的平均速度是千米/时 【解析】 【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案； （2）设普通列车平均速度是千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可． 【详解】（1）根据题意得： 400×1.3=520（千米）， 答：普通列车的行驶路程是520千米； （2）设普通列车平均速度是千米/时，则高铁平均速度是千米/时，根据题意得： ． 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 所以高铁的平均速度是(千米/时)． 答：高铁的平均速度是千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验． 26. 【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解； （3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可． 详解】解：（1）延长到E，使，连接BE， ∵是中线， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）延长至点F，使， 同（1）可证， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“燕尾”四边形的面积为， 故答案为：8． 27. 阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． （2）求多项式最小值． 【答案】（1）完全平方公式，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值． 【小问1详解】 解：过程中使用了完全平方公式． ， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； 【小问2详解】 解： ， ，， ， ∴当且仅当时，有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间100分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 12. 计算：______． 13. 当分式的值为0时，则的值为______． 14. 分式与的最简公分母为__________． 15. 如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，∠B＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝__． 16. 在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 三、解答题（本大题共11题，共72分，要写出必要的解题过程） 17. 计算：． 18. 因式分解：． 19. 解分式方程: + = 20. 先化简，再从，，，，中选择一个合适的数代入并求值． 21. 已知，，，上，且，求证：． 22. 如图，已知中，其中． （1）画出与关于y轴对称的图形； （2）求的面积． 23. 已知为正整数，求证：能被16整除． 24. 已知a，b，c为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 25. 从沈阳到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍． （1）求普通列车行驶路程． （2）若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度（千米/时)的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短小时，求高铁的平均速度． 26. 【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 27. 阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用公式是______； 当取最小值4时，______，______． （2）求多项式最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $