精品解析：辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上学期期末 八年数学 （本试卷共23题 满分120分 考试时间90分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. 1.414 C. D. 2. 直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 8 3. 下列描述能够确定位置是（ ） A. 轮船沿北偏东方向行驶 B. 天安门附近 C. 八年一班在二层 D. 东经北纬 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各命题是假命题的是（ ） A. 两个锐角之和一定是钝角 B. 同角的余角相等 C. 平行同一直线的两条直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 7. 估计值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是2 B. 中位数是6 C. 平均数是6 D. 离差平方和是10 10. 《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 8的立方根是_____． 12. 如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是________． 13. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为__________． 14. 某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________． 15. 如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．求甲、乙两种路灯的单价； 18. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出A的对应点的坐标_____； （2）求的面积． 19. 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． （1）小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分），______；方差：，，可以看出，_____（填甲或乙）的测试更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①写出甲数据的四分位数；_______；_____；______； ②根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图； ③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两人成绩的看法． 20. 已知：如图，点、分别在和上，平分，，，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． （1）乙步行的速度为______，之间的路程为_______； （2）当时，求关于的函数表达式； 22. 【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 23. 【概念引入】 对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“分函数”（其中为常数）． 【理解运用】 （1）对于一次函数，写出它2分函数的表达式； （2）若点在一次函数的2分函数的图象上，求n的值； 【推展延伸】 （3）在平面直角坐标系中直接画出一次函数的3分函数的图象，结合图象回答问题：当时，，则的值为_____； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末 八年数学 （本试卷共23题 满分120分 考试时间90分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. 1.414 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽的数才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各选项． 【详解】解：A. 0 是整数，属于有理数； B. 1.414 是有限小数，属于有理数； C. 是开方开不尽的数，属于无理数； D. 是分数，属于有理数． 故选：C． 2. 直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（ ） A B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长． 【详解】解：∵ 直角三角形两直角边分别为3和4， ∴ 斜边长c满足 ， ∴． 故选：B． 3. 下列描述能够确定位置的是（ ） A. 轮船沿北偏东方向行驶 B. 天安门附近 C. 八年一班在二层 D. 东经北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置的问题，关键是要知道确定一个点的位置必须有两个数据来判断．A选项仅提供方向，无起点或距离；B选项“附近”范围模糊；C选项只指定楼层，无具体房间；D选项给出具体经度和纬度，能唯一确定地球上的点． 【详解】解： A．轮船沿北偏东方向行驶，只能确定方向，无法确定位置，故选项A不符合题意； B．天安门附近，无法确定位置，故选项B不符合题意； C．八年一班在二层，无法确定位置，故选项C不符合题意； D．东经北纬，可以确定一点的位置，故选项D符合题意． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的性质和二次根式的乘法、加减运算等知识．根据算术平方根、立方根的性质以及根式的运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项错误，不合题意； B. ，故原选项正确，符合题意； C. 与无法进行加减，故原选项错误，不合题意； D. ，故原选项错误，不合题意． 故选：B 5. 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 6. 下列各命题是假命题的是（ ） A. 两个锐角之和一定是钝角 B. 同角的余角相等 C. 平行同一直线两条直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．选项A错误，因为两个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角；选项B、C、D均为真命题，符合几何性质． 【详解】解：A、两个锐角之和可能小于（如），不一定为钝角，是假命题，符合题意； B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意； 故选：A． 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 8. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是2 B. 中位数是6 C. 平均数是6 D. 离差平方和是10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、平均数和离差平方和的计算，根据定义逐项计算判断即可． 【详解】解：A、众数为出现次数最多的数，5出现2次，其他出现1次，所以众数为5，A错误； B、数据排序后为3，4，5，5，6，7，中位数为，所以B错误； C、平均数，所以C错误； D、平均数，离差平方和，所以D正确． 故选：D． 10. 《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出相等关系是关键； 设每头牛值x金，每只羊值y金，根据：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，即可列出方程组. 【详解】解：设每头牛值x金，每只羊值y金， 可列方程组为：； 故选：D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的定义即可直接求解． 【详解】解：因为， 所以8的立方根是2． 故答案为：2． 12. 如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 13. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可知，，再结合三个正方形的面积分别为7、16、3，即可推出结果． 详解】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴， 故答案为：6． 14. 某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________． 【答案】71 【解析】 【分析】本题考查了众数．一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此即可解答． 【详解】解：数据中，71出现次数最多，所以这组数据的众数为71； 故答案为：71． 15. 如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形等积法求线段长，先证明得，，再由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，解二元一次方程组． （1）先利用平方差公式及乘法的分配律进行计算，再化简二次根式， 后算加减法即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以原方程组的解是． 17. 某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．求甲、乙两种路灯的单价； 【答案】甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确列方程组；设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元． 18. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出A的对应点的坐标_____； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称作图等知识，熟练掌握轴对称的性质和作图方法是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、的位置，顺次连接即可；根据图形，写出点的坐标； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 19. 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． （1）小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分），______；方差：，，可以看出，_____（填甲或乙）的测试更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①写出甲数据的四分位数；_______；_____；______； ②根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图； ③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两人成绩的看法． 【答案】（1）84分，乙 （2）①70，90，96；②见解析；③见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平均数、方差的意义、四分位数、箱线图等知识． （1）根据算术平均数的定义计算乙的平均数；根据方差的意义可知乙的测试更稳定； （2）①根据四分位数的定义可得答案； ②根据箱线图的定义作图即可； ③根据箱线图和四分位数可知甲成绩的中位数和乙相同，但甲成绩明显比乙的波动大． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴乙的测试更稳定， 故答案为：84分，乙； 【小问2详解】 解：①将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，，， 故答案为：70，90，96； ②画图如下： ③根据箱线图和四分位数可知甲成绩的中位数和乙相同，但甲成绩明显比乙的波动大． 20. 已知：如图，点、分别在和上，平分，，，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据条件证明出，利用同位角相等，两直线平行即可得结论； （2）利用可得，再由可得． 【小问1详解】 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 21. 甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． （1）乙步行的速度为______，之间的路程为_______； （2）当时，求关于函数表达式； 【答案】（1）90，3960； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键； （1）先求出甲的速度，设乙的速度为，根据图象列方程求出乙的速度，进而可求之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：甲的速度为：， 设乙的速度为， 由题意，得：， 解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； 【小问2详解】 解：由图象可知：点的纵坐标为， ∴， 当时， 设， 把，代入，得， 解得：， ∴； 22. 【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2），见解析； 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握倍长中线构造全等是解题的关键； （1）延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，证明，求出，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）延长到H使得，连接，证明，再证明，即可得证． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 延长到H使得，连接， ∵，，； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 【概念引入】 对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“分函数”（其中为常数）． 【理解运用】 （1）对于一次函数，写出它的2分函数的表达式； （2）若点在一次函数的2分函数的图象上，求n的值； 【推展延伸】 （3）在平面直角坐标系中直接画出一次函数的3分函数的图象，结合图象回答问题：当时，，则的值为_____； 【答案】（1）；（2）n的值为或；（3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是理解题意，理解分函数的定义及分类讨论，数形结合思想的应用． （1）直接根据分函数的定义求解即可； （2）分类讨论求解即可； （3）根据分函数的定义画图象即可，再结合图象即可得解； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）当时，，解得：， 当时，， 解得：． ∴n的值为或． （3）由题意得，， 画图如下， 当时，的最大值为2， 当时，或， 解得：或． ∴； ∴，； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $