河北省石家庄精英中学2025-2026学年高二上学期第四次调研考试数学试题

石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第四次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 4或14 3. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. 6 D. 4. 已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 6. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线上的一个动点作圆（其中为正常数）的两条切线，切点分别为，若的最小值为8，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 13. 数列的前30项的和为______． 14. 已知双曲线的左、右顶点分别为，若双曲线在第一象限内存在一点 ，使得直线的斜率分别为，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为_________________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. （1）数列是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； （2）若，求数列的通项公式. 16. 已知在前项和为的等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求使得不等式成立的正整数的值. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程. 18. 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. （1）证明：点的轨迹方程是； （2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 19. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，焦点关于准线的对称点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）从焦点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射. ①证明：反射光线平行于抛物线的对称轴； ②若直线与抛物线交于另一点（异于点），证明：抛物线在点和处的切线互相垂直，且两条切线的交点在准线上. 石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第四次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】468 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）数列是等差数列， 证明： 由数列都是等差数列，公差分别为，且， 可得， 则（常数）， 所以数列是公差为的等差数列. （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）且为正整数. 【17题答案】 【答案】（1） （2）或. 【18题答案】 【答案】（1）证明: 设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图： 直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. （2）证明： 设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图： 联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 【19题答案】 【答案】（1） （2）①证明: 由（1）知抛物线焦点，准线，设，则有， 设过点且与抛物线相切的直线方程为，整理为， 联立方程，消去后整理为， 有，可得， 可得直线的方程为， 过点且与直线垂直的直线方程为，整理为， 令，可得直线与轴的交点的坐标为， 又由点到焦点距离等于点到准线距离可得， 而，则有，可得. 做反射光线，根据反射角等于入射角可得，又因， 可得 .根据内错角相等可以得到轴，而轴是抛物线对称轴， 故反射光线平行于抛物线的对称轴. ②证明: 由准线，设点的坐标为，有， 抛物线在点处的切线方程为, 设直线的方程为，联立方程，消去后整理为， 由韦达定理可知，. 由，可得抛物线在点和处的切线互相垂直， 联立方程，消去，有，解之可得，又由， 则有，故抛物线在点和处的切线的交点在准线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $