精品解析：甘肃省酒泉市2026届高三上学期期末考试数学试题

酒泉市普通高中2025~2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】由，，则. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得， 故选：C. 3. 已知函数为奇函数，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质直接求解即可. 【详解】因为为奇函数，且时，， 所以. 故选：A 4. 已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的平方及数量积的运算求解夹角即可. 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 5. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 62 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得公比，， 因此， 故选：C 6. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据椭圆的离心率和的面积求出的取值，再结合几何关系，求得的周长即可. 【详解】根据题意，椭圆的离心率为，即①， 又椭圆的右顶点为，上顶点为，左焦点为，如图所示， 所以②， 又椭圆中，③， 联立①②③，解得，，， 所以，， ， 所以的周长为. 故选：D 7. “年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 8. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若的终边与的终边垂直，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据终边垂直的角的关系求出的表达式，再结合的范围确定的值，最后根据三角函数诱导公式计算相关的三角函数值. 【详解】因为的终边与的终边垂直，所以， 又因为，当时，，满足条件，所以选项A正确； ，所以选项B错误； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 故选：AD 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 11. 如图，正四棱锥与正四棱锥底面重合，且，M为棱上一点，则（ ） A. 平面 B. 正四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，以及正棱锥的几何性质，判断选项A的正误；根据棱锥的体积计算方法，以及勾股定理和正四棱锥的性质，求出几何体的体积，判断选项B的正误；根据几何体的侧面展开图，判断线段和最小时的情况，求出结果，判断选项C的正误；根据点到面的距离的向量方法，建立空间直角坐标系，求出法向量，求出结果即可，判断选项D的正误； 【详解】对于选项A，因为正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，因为面，面，所以平面，所以A正确； 对于选项B，连接，且，连接，如图所示， 因为，所以，， 在中，，所以， 所以正四棱锥体积为，所以B错误； 对于选项C，展开，连接，， 此时是BC的中点，则最小，如图多面体中， 可知，所以，可得， 所以的最小值为，所以C正确； 对于选项D，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中常数项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中次数为0，求出对应的值，进而得到常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得，所以常数项为. 因此二项式的展开式中常数项为. 故答案为： 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，，结合双曲线的定义，推出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以，， 因，由双曲线的定义，可得，即， 即，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式可化为，令，对符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】（1）0.4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于60的频率，从而得分数小于60的概率； （2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，结合分层抽样与样本估计总体，从而可得总体中男生和女生人数的比例. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知， 样本中分数小于60的频率为， 所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4. 【小问2详解】 由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为， 所以样本中分数不小于60的男生人数为， 因为样本中有一半男生的分数不小于60， 所以样本中男生为120人，女生为， 所以样本中男生和女生人数的比例为， 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为. 16. 已知函数图象的相邻的两条对称轴为和，. （1）求； （2）求在区间上的最大值与最小值以及取得最值时的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦、正弦公式及辅助角公式化简，再由对称轴求出周期得，由求； （2）根据角的范围，求出的范围，利用正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 ， 由相邻对称轴可知，解得， 又，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 所以 ，即， 当，即时，， 当，即时，. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）确定函数的定义域，求导，求，在定义域内的解得单调区间； （2）设点（），利用点到直线的距离公式构造新函数求解最值即可；或者根据几何性质，当曲线上过一点的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离即所求最值. 【小问1详解】 函数定义域为， 对函数求导得， 令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 解法一：设点（）， 所以点到直线的距离为， 令，则， 令，得（舍去）或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取到极大值，也是最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 即点到直线距离的最小值为． 解法二：直线的斜率， 设（），又，令， 得，解得（舍）或，所以点的坐标为， 所以曲线上与直线平行的切线的切点为， 由题意知点到直线距离的最小值即为点到直线的距离， 又点到直线的距离， 所以点到直线距离的最小值为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）点为线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线即可证明，即证明. （2）（i）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后利用坐标求出平面的法向量坐标，根据二面角的余弦值求出结果即可；（ii）利用坐标法列出球表面积的表达式，利用二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，所以． 在平面中，，所以，又，所以四边形为梯形． 取的中点，连接，易知为矩形， ，所以，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 解：（i）由（1）可知平面平面，所以，又， 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则， 由（1）得平面，所以为平面的一个法向量，记， 由题意得， 整理得，解得或（舍），故． （ii）由（i）知，即． 设球的球心坐标为，半径为，则， 即， ， 所以． 因为， 所以当时，取得最小值，所以球表面积的最小值为． 19. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）设点，由已知及抛物线定义建立方程求出值，即可得到抛物线的方程. （2）①由（1）求出抛物线焦点坐标及准线方程，再设出点的坐标，并表示出点坐标，求出直线的方程即可得证；②由①中信息，利用数量积的定义，结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得，又，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为， 设，由轴，且点在抛物线上，得， 直线方程为，由，得点， 当时，直线的斜率，其方程为， 整理得，因此直线过定点，当时，直线过点， 所以直线过定点. ②由①知，， 因此，， 所以的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉市普通高中2025~2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知函数为奇函数，且时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 5. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 62 6. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. “年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 一袋子里有大小形状完全相同3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若终边与的终边垂直，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 11. 如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，M为棱上一点，则（ ） A 平面 B. 正四棱锥的体积为 C. 最小值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中常数项为_____. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 16. 已知函数图象的相邻的两条对称轴为和，. （1）求； （2）求在区间上的最大值与最小值以及取得最值时的值. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）点为线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 19. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $