精品解析：重庆市育才中学校2026届高三一诊模拟考试数学试题

重庆市育才中学高2026届一诊模拟考试 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的运算求解. 【详解】，，， ，，，故选项A正确. 故选：A. 2. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数z，确定z对应的点，即可确定答案. 【详解】，则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D 3. 已知平面向量，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，可得，的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 4. 已知为等差数列，其前n项和为则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子，化简得到中间项的值，再利用前项和与中间项的关系求出. 【详解】将转化为：， 展开得：， 合并同类项：， 化简得：，即. 前5项和，由等差数列性质知，， 故. 故选：B 5. 函数部分图象如图，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据（1）定义域：处无定义，函数在该点断开；（2）奇偶性：图象关于原点对称，函数为奇函数；（3）零点：、处函数值为0；（4）极限趋势：时，函数值趋向于无穷大；逐个分析判断正误即可. 【详解】选项A：奇偶性：，是偶函数，与图象的奇函数特征矛盾.A错误. 选项B：奇偶性：，是奇函数，符合； 零点：，对应、，与图象零点一致； 极限趋势：时，时， 与图象趋势一致；定义域：，符合图象特征. 综上B正确. 选项C：零点：，时，，与图象中为零点矛盾. C错误. 选项D：定义域：（处有定义，），与图象处无定义矛盾. D错误. 故选：B. 6. 已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 7. 将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合函数对称性可得，解得，进而图象变换逐项分析判断即可. 【详解】若，则， 因为直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴， 则，解得，得，， A：将函数的图象向左平移个单位，得，不合题意，故A错误； B：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故B错误； C：将函数的图象向左平移个单位，得，符合题意，故C正确； D：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故D错误； 故选：C. 8. 已知实数a，b均不为0，函数在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点x1，x2，则（ ） A. 2a B. -2a C. 2b D. -2b 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再求导找极值点，然后分析极值点，最后代入计算. 【详解】依题意，，则， 求导得， 由，得，而函数在关于原点对称的区间上恰有两个极值点，， 则这两个极值点满足（因为是偶函数）, ，， 所以 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（ ） A. 该蜜柚是优等品的概率为 B. 该蜜柚是合格品的概率为 C. 若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D. 若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的概念，判断分布曲线的对称轴和方差，根据正态分布的对称性，以及条件概率公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误； 故选：ABC 10. 抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（ ） A. 直线m的斜率为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及条件，可得为等边三角形，根据角度，求出斜率，可判断A的正误；设准线l交x轴于点C，根据条件，可得，可判断B的正误；求出直线m的方程，与抛物线联立，可得A点和B点横坐标，根据焦半径公式，求出、，可判断C的正误；由条件可得，代入条件，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由抛物线的定义得，又， 所以，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即直线m的倾斜角为， 所以直线m的斜率，故A正确； 选项B：设准线l交x轴于点C， 因为，所以， 又，， 所以，所以，故B正确； 选项C：因为直线m的斜率为，且过点， 所以直线m的方程为， 与抛物线联立，得，解得或， 因为点A位于第一象限，所以，则， 所以， 所以，故C错误； 选项D：在中，，， 所以，即， 由抛物线的定义得，点B到准线l的距离等于， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知锐二面角大小为，P为定点，N为AB上的动点，设，PN与AB所成的角为β，PN与平面ABQ所成的角为θ，PN在平面上的投影与AB所成的角为γ，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的值随x增大而增大 D. 当且仅当时，存在点N使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点作平面，垂足为，过点作，，垂足为，在直角三角形中求出比大小判断A；根据判断B；用表示，利用函数的单调性判断C；根据的关系判断D. 【详解】如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足为， 连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，，，，其中， 则， 因为，所以，则，故A正确； 因为，，所以，则， 等号成立时重合，故B正确； 因为为定点，所以为定值， 因为 ， 因为随着的增大而增大， 所以随着的增大而减小，故C错误； 当点重合时，， 因为，则此时， 当点不重合时，假设存在点N使得， 因为，所以，即， 所以，故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，各项系数的和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令，即可求得展开式中各项系数的和，得到答案. 【详解】设， 令，可得， 所以二项式的展开式的各项系数的和为. 故答案为：. 13. 过点作圆的切线，则切线长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长. 【详解】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3 14. 若，正整数其中则为n的二进制表示．记则___________；___________． 【答案】 ①. 3 ②. 80 【解析】 【分析】由题意，根据二进制求出（其中），进而求出即可. 【详解】由题意知，， 所以，故； 因为， 所以1到31的二进制位数不超过5位， 当二进制数位为1时，对应的十进制为1，则，得； 当二进制数位为2时，对应的十进制为2，3， 则，得； 当二进制数位为3时，对应的十进制为， 则， 得； 当二进制数位为4时，对应的十进制为， 则， ， 得； 当二进制数位为5时，对应的十进制为， 则， ， ， 得， ， ， 所以. 故答案为：3；80 四、解答题:本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． （1）求乙、丙两人各自发现故障的概率； （2）用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【答案】（1）， （2）X的分布列为 X 0 1 2 3 P ，【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式列方程，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【小问1详解】 记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立， 则有，，解得，， 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． 【小问2详解】 由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 16. 如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，. （1）若，证明：平面OCE； （2）若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】（1） 取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 17. 如图，中，为上一点，． （1）若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; （2）若，求AD． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式求解. （2）法1，利用三角形面积公式可得，再利用和角的余弦公式，结合直角三角形边角关系列式求解；法2，利用余弦定理、垂直关系的向量表示并结合数量积的运算律列出方程组求解. 【小问1详解】 令，， 由为钝角，为等腰三角形，得， 又为等腰三角形，且，则， 在中，，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 法1：在中，由，得，而，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. 18. 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； （3）已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 【答案】（1） （2）是定值，为4 （3） 由（2）可得，， 即， 因此可得，，， 因此， ， 若，则， 即； 假设，因为，得， 代入得，矛盾， 所以，所以， 从而有，即， 故存在，使得时． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率为及椭圆经过点，由求解； （2）联立，根据直线与椭圆相切，由，得到的关系，根据，与直线l的距离求解； （3）根据（2）得到，从而得到，，，然后由求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为及椭圆经过点， 得，解得，因此椭圆方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设，由直线与椭圆相切知， 得，即， 则，与直线l的距离，， 则， 故是定值，为4； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，数列满足，且 （1）判断函数在区间上的单调性； （2）证明:当时，; （3）设证明：对任意且，有 【答案】（1）单调递增 （2） 由（1）可知在上单调递增，故当时，． 法一：要证，即证， 构造函数， 则， 令，则， 当时，，故在上单调递增， 又因为，， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 在上，，单调递减；在上，，单调递增． 又因为，，所以在上，， 所以，即． 法二：，． 令，即证，， 构造函数，，则， 故在单调递增，，即，，得证． （3） 因为，由（2）可知， 故由迭代可知，则． 法一：引理1：，． 令，则， 故在单调递增，于是，得证． 引理2：，， 令，则，故在单调递增， 所以，得证． 引理3：，． ， 由引理1和（2），， 所以． 于是只需证：． 由引理2，， 于是只需证：． 令，即证． 构造函数：，则， 故在区间上单调递增， 所以，得证． 由引理， 当时，也成立． 法二：先证引理：，． ． 构造函数：． 非负分解：． 对第一个括号：． 当时，，显然成立． 对第二个括号：． 构造函数：，则． 令，则， 在单调递减，． 于是，在单调递减， 故． 于是，得证． 由引理． 当时，也成立． 故，即对任意，有． 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断； （2）通过研究的单调性求证；将问题转化为求证在上恒成立，通过研究函数即可求证； （3）先求证，法一，逐一求证，；，；，；法二，通过构造函数：求证引理：，，再根据引理进行放缩即可. 【小问1详解】 ， 当时，，，，故在上单调递增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市育才中学高2026届一诊模拟考试 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，若，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等差数列，其前n项和为则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 5. 函数部分图象如图，则可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 8. 已知实数a，b均不为0，函数在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点x1，x2，则（ ） A. 2a B. -2a C. 2b D. -2b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（ ） A. 该蜜柚是优等品的概率为 B. 该蜜柚是合格品的概率为 C. 若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D. 若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 10. 抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（ ） A. 直线m的斜率为 B. C. D. 11. 如图，已知锐二面角大小为，P为定点，N为AB上的动点，设，PN与AB所成的角为β，PN与平面ABQ所成的角为θ，PN在平面上的投影与AB所成的角为γ，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的值随x增大而增大 D. 当且仅当时，存在点N使得 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，各项系数的和是___________． 13. 过点作圆的切线，则切线长为___________． 14. 若，正整数其中则为n的二进制表示．记则___________；___________． 四、解答题:本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． （1）求乙、丙两人各自发现故障的概率； （2）用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 16. 如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，. （1）若，证明：平面OCE； （2）若，平面平面PBC，求λ的值． 17. 如图，中，为上一点，． （1）若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; （2）若，求AD． 18. 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； （3）已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 19. 已知函数，数列满足，且 （1）判断函数在区间上的单调性； （2）证明:当时，; （3）设证明：对任意且，有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $