精品解析：重庆市育才中学2026届高三上学期一诊复习(二)数学试题

重庆市育才中学校高2026届高三（上）一诊复习（二） 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】,.,,故本题选C. 2. “”是“函数的图象关于点对称”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合中间值0和1即可求解. 【详解】， 故. 故选：D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：D. 5. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将实数满足的方程理解为动点的轨迹方程，即圆的方程，把看成圆上点与点连线的斜率，考虑直线与圆相切情况，结合图形即得结论. 【详解】由配方得，可得点的轨迹是圆心在,半径为1的圆， 而可看成圆上点与点连线的斜率,如图， 由图可知过点A与圆相切的直线斜率一定存在， 设过点的圆的切线方程为：， 由圆心到切线的距离为，解得， 依题意，需使或，即得的取值范围是. 故选：B. 6. 若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由所给等式根据对数的运算性质可得，再利用基本不等式求最值. 【详解】∵， ∴，且，， ∴ ∴ ， 当且仅当且， 即时，等号成立. 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算、基本不等式求最值，注意等式成立的条件，属于基础题. 7. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】用排除法，5本书的全排列减去语文书和数学书中只有一种是两本相邻的排列数，再减去语文书相邻数学书也相邻的排列数即可得． 【详解】 故选：B． 8. 设函数则方程的实数根的个数可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，利用图象求解即可. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示， 令，则， 所以方程有两个不相等的实根，，， 所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中点，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 点在椭圆C内 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用椭圆经过的点代入求得椭圆方程，即可计算判断A，B两项，将点代入椭圆方程计算比较即可判断C项，设点，计算并化简，结合椭圆的几何性质即可判断D项. 【详解】因点在椭圆上，则有，故椭圆方程为， 对于A，由上分析，可得，，，故椭圆的长轴长为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，将点代入，因，则该点在椭圆内，故C正确； 对于D，设，，因， 则， 又，则， 当且仅当点为椭圆的右顶点时，的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 10. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积． 【详解】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确； 连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 11. 计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ） A. 在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B. 经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C. 10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D. 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】 设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误. 【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且， 由可得，两式相减得：， 所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列， 所以， 在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确； 经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确； 10分钟后，计算机感染病毒的总数为， 所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与 前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，结合复数的除法化简可得复数. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝________，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】分析可知，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X服从超几何分布， 由超几何分布的数学期望得；从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是2个红球的概率即可. 【详解】解：甲袋中有3个白球和4个红球，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X服从超几何分布， 所以由超几何分布的数学期望得：； 甲袋任取两个球的可能性有三种： 甲袋取出的为2个白球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出的为1个白球、1个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出的为2个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为： 从乙袋中取出的是2个红球的概率为：. 故答案为：；. 14. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，再应用距离新定义及三角换元，整理并化简为正弦型函数求范围. 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则，设，则， 所以，即，令， 所以 ，而， 所以，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中， 分别为内角的对边，且 （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，试判断 的形状． 【答案】 ，等腰三角形 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，在利用余弦定理，求解，即可求解角的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得，即可求解的最大值. 试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得 即，由余弦定理得 故， （2）由（1）得： 故当时，取得最大值1，此时三角形为等腰三角形. 考点：正弦定理；余弦定理. 16. 在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点． （1）证明：MN⊥x轴． （2）直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）设，由， 所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ， M为直线y＝x－2上一动点，设， 因此有， 同理可得：，因此是方程的两个根， 所以， 因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴； （2）直线AB过定点. 【解析】 【分析】（1）根据函数切线的几何意义，结合中点坐标公式进行求解证明即可； （2）根据中点公式，结合斜率公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)， 即y－2＝2t， 所以直线AB过定点． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： ， ， 由余弦定理得 ， 在中，， 平面平面 ，平面平面平面 ， 平面． 平面， ， ∵四边形是菱形， ， 又，且平面平面， 平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面 ，平面平面 ， 平面， 又∵四边形是菱形，，， 均为等边三角形， 以点为坐标原点，,及过点平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面，为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则即 ， 令，可得，， ∴平面 与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. （3）首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 当时，，时，， 所以函数在区间单调递增，在区间单调递减， 所以函数在处取得极大值，函数的极值点为1； 【小问2详解】 函数的定义域为，不等式恒成立， 即在上恒成立， 记，则， 得到在区间上单调递减， 在上单调递增， 则，即在区间上恒成立， 分离变量知：在上恒成立，则， ， 由前面可知，当时，恒成立，即， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，所以． 【小问3详解】 ， 设曲线图象上任意一点， 所以曲线在点处的切线方程为， 将代入得，故切点为， 过的切线方程为， 所以直线和曲线相切，并且切点坐标为， 所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且， 从而当时，有三个极值点，，，并且，，， 取对数知：，，即，， 则 ． 构造， 在时恒成立， 则在区间上单调递增，且， 从而的解为， 综上所述． 【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解. 19. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立. （1）求数列、的通项公式； （2）是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由； （3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由： 假设存在，满足条件，则，化简得， 由得，为奇数，故为奇数，故. ∴，即，可得，这与矛盾， ∴不存在满足题设的正整数，； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）法1，由题设可得，，，利用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而可得、的通项公式；法2：作差法可得，令，结合等差、等比数列的性质求参数，即可得通项公式. （2）假设存在，满足条件，则，根据左侧的奇偶性确定，进而求，即可确定存在性. （3）由，设，不等式转化为，作商法判断单调性，讨论的奇偶性结合恒成立求的范围，进而可判断存在性. 【小问1详解】 法1：设数列的公差为，数列的公比为. ∵， 令，2，3得：，，，又， ∴，即，解得：或. 经检验，符合题意，不合题意，舍去. ∴. 法2：由①， 则②， ①②得，，又，也符合上式， ∴， 由于为等差数列，令，则， ∵为等比数列，则（为常数），即恒成立， ∴，，又，则， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 设，则不等式等价于 ， 由，则，数列单调递增. 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ②当为偶数时，得，即. 综上，，由是非零整数，则存在满足条件. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用反证思想，假设存在参数使题设条件成立，进而求得参数，判断是否有矛盾即可；第三问，构造新数列并应用作商法判断其单调性，最后讨论n的奇偶性求新数列的最值求参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市育才中学校高2026届高三（上）一诊复习（二） 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. “”是“函数的图象关于点对称”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 7. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 8. 设函数则方程的实数根的个数可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中点，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 点在椭圆C内 D. 的最大值为 10. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 11. 计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ） A. 在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B. 经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C. 10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D. 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 13. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝________，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________． 14. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中， 分别为内角的对边，且 （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，试判断 的形状． 16. 在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点． （1）证明：MN⊥x轴． （2）直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围. 19. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立. （1）求数列、的通项公式； （2）是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由； （3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $