精品解析：浙江省嘉兴市桐乡市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级学科素养检测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵直线与半径为的⊙O相交， ∴圆心到直线的距离d<r，即d<4， ∴满足条件的只有A选项， 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线与圆相交时，d<r；②直线与圆相切时，d=r；③直线与圆相离时，d>r． 2. 在下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 今天嘉兴的最高气温为 B. 在只装有黑球的箱子里摸到红球 C. 篮球队员在罚球线上投篮得分 D. 一个三角形的内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 本题考查了事件的分类，熟悉掌握事件的概念是解题的关键． 【详解】解：选项A：嘉兴最高气温不可能达到，为不可能事件，故选项错误； 选项B：只装黑球的箱子不可能摸出红球，为不可能事件，故选项错误； 选项C：罚球投篮可能得分也可能不得分，具有不确定性，为随机事件，故选项正确； 选项D：三角形内角和恒，为必然事件，故选项错误． 故选：C． 3. 小睿同学画二次函数的图象，列出表格如表，他发现有一组对应值计算有误（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过求解即可，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， 而抛物线经过时，抛物线开口向上，不符合题意， ∵抛物线不能同时经过， ∴不在抛物线上， 故选：． 4. 如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 5. 如图，已知梯子的长为米，，，则梯子顶端离地面的高度为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，会解直角三角形是解题的关键． 在中，通过解直角三角形可求出长． 【详解】解：在中，，，即，， ∴， 故选：A． 6. 如图，在圆O中，，点A为圆上除B、C外任意一点，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．分两种情况，根据圆周角定理直接可得答案． 【详解】解：当点A在优弧上时，如图所示： ∵， ； 当点A在劣弧上时，如图所示： ∵， ∴； 故选：D． 7. 已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 8. 已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点．若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好是某个正五边形的两边，则这个角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】圆在角的两边上截得的两条弦是正五边形的两边，角可能是正五边形的内角或外角，对应度数为或． 本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，分类讨论是解题关键． 【详解】解：此两弦为圆内接正五边形的两条边，存在以下两种情况： 1. 两条弦在正五边形中相隔一条边，设两条弦所在直线相交于点，即为角的顶点， 由题意知点在圆外， 此时，两弦所在的直线与被它们隔开的那条边可构成一个等腰三角形， 其两个底角均为正五边形的外角， 则顶角的度数为， 2. 两条弦在正五边形中相隔两条边， 得到如图， 则为正五边形，则这个角恰好为正五边形的一个内角，则． 综上所述，这个角的度数为或． 故选：D． 9. 如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先证明，得到，再证明，得到，则，，，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的平行线，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，正方形中，点从点出发沿向终点运动，连接，过作的垂线交于点，连接交的延长线于点．设，．如图2是关于的函数图象，最高点为．下列选项正确的是（ ） A. B. 点在该函数图象上 C. D. 点的运动路径长为 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到的最大值为n，表示出，，证明出，得到，然后代入表示出，然后根据二次函数的性质求出，，即可判断A，B选项；然后将代入即可判断C选项；设，证明出，得到，然后表示出，得到t随y的增大而增大，然后结合当点E运动时，y从0增大到1，然后再减小到0，进而判断D选项． 【详解】解：∵设，， ∴的最大值为n， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∵如图2是关于的函数图象，最高点为， ∴， ∴，故C错误； ∴，故A错误； ∴， 将代入得，， ∴点不在该函数图象上，故B错误； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴t随y的增大而增大， 由图象得，，且当点E运动时，y从0增大到1，然后再减小到0， ∴当y取得最大值1时，t取得最大值为， ∴点的运动路径长为，故D正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确分析图象． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，由已知条件，通过代数变换解出与的关系，再求的值． 【详解】解：由，得 ， 即 ， 移项得， 即， 因此， 故答案为：． 12. 如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1~8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：抽到6号赛道的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： 与位似，以原点为位似中心，且相似比为，， 点的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 14. 如图，在的正方形网格中，点，，都是格点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是关键．过作于，先求出，最后根据求解即可． 【详解】解：过作于， 由网格可得：，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点个数，找到临界点和数形结合是解题的关键． 根据题意可知有两种情况，第一种当顶点在x轴上时，满足与轴只有一个交点；第二种，根据二次函数图象的平移规律，将图象向下平移，在时的临界点为，，代入求出c的值，再利用数形结合即可求解． 【详解】解：因为该二次函数，即该函数图像的对称轴为， 如图，当二次函数的顶点在x轴上时，图象与轴只有一个交点，即过， 则，解得； 当，时，，解得， 当，时，，解得， 结合图象和二次函数图形的平移规律可得，当时，二次函数的图象在时，与轴只有一个交点； 故答案为：或． 16. 如图，是的直径，点在半圆上，过点作于点，点是上一点（不与，重合），连接，，与相交于点，平分交于点，若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，延长交于点H，连接，由垂径定理可得，则；可证明，得到；设，，则，证明，得到，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点H，连接， ∵，是的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴可设 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值． 【答案】（1） 对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的平移规律即可求解． 本题考查了二次函数的平移，二次函数的顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 故答案为：对称轴直线为,顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵向下平移个单位长度， 则平移后函数为， 将代入函数， 得， 则， 故答案为：． 18. 如图，一只松鼠要先经过第一道门（随机选择，或），再经过第二道门（随机选择或）出去． （1）求松鼠选择走门的概率． （2）利用树状图或列表法，求松鼠从门出去的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表法，即可确定所有结果，最后运用概率公式可求解． 本题考查了列表法求概率，掌握基础概念是解题关键． 【小问1详解】 解：由题可知，松鼠经过第一道门时，有三种可能，从走出去的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意列表： 由表格可知，松鼠走出笼子的所有可能线路为6，松鼠经过门出去的结果为3，则松鼠经过门出去的概率为． 19. 如图，在的正方形网格中，的各个顶点都是格点，请按要求完成下列问题： （1）在图中画出绕着点逆时针旋转得到的（点与点对应）． （2）求（1）中点所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，求弧长，勾股定理． （1）根据旋转的性质作出图形即可． （2）先求出，再根据点所经过的路径为以为圆心为半径的圆上的圆心角为的弧长，最后根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴（1）中点所经过的路径长为 20. 如图，在中，，，是边上的中线，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，过点A作于点E，由，设，，然后利用勾股定理求出，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）首先求出，然后利用勾股定理求出，然后求正弦值即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作于点E， ∵ ∴设， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，是边上中线 ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 21. 如图，，是的直径，为弦，，延长至点，连接，使． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和判定得到，即可得到直线是的切线； （2）由得到，求出，然后等量代换得到，求出，然后得到，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴直线是切线； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，等边对等角，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图，在“浙城市争霸赛”中，球员甲正在投篮，球运动的路线是抛物线的一部分．投篮时他与篮筐中心的水平距离为5米，篮球出手时的高度约为2.05米，当球在空中飞行的水平距离为3米时能达到最大高度3.85米．已知篮筐距离地面的高度为3.05米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线的函数表达式． （2）甲投篮时，若没有其他干扰，投出的这个球能否准确命中？ （3）甲投篮时，若对方球员乙在甲前面1.2米处起跳拦截，且乙的拦截高度为3.15米，那么乙能否拦截成功？ 【答案】（1） （2）此球能准确投中 （3）乙不能拦截成功 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由待定系数法可确定抛物线的解析式； （2）令，求出y的值，与米比较即可作出判断； （3）将代入，求出y的值，与3.15米比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，设这条抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴此球能准确投中； 【小问3详解】 解：当时，， ∴乙不能拦截成功． 23. 当关于的函数在范围内有最大值和最小值时，我们将最大值与最小值的差记为． （1）若，求的值． （2）若； ①若点，均在该函数的图象上，当的值最大时，求的值． ②当时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①，②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的增减性以及最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数图象的性质，并且进行分类讨论是解题的关键． （1）分析函数的增减性，结合自变量的取值范围，分析什么时候取最大值和最小值，即可求解． （2）①先求出与t的关系式为，可知当的值最大时，，求出x的取值范围，结合二次函数的性质，即可求解；②根据t在不同范围内，分为四种情况，分别讨论出函数什么时候取最大值和最小值，即可求解． 小问1详解】 解：， 随x的增大而增大， 则当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， ． 【小问2详解】 解：①根据题意可知， 当的值最大时，， ， 函数开口向下，对称轴为直线， 则当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ． ②可知函数开口向下，对称轴为直线， 第一种情况，当时， 可知时，函数有最大值，时，函数有最小值， ，解得； 第二种情况，当时， 可知时，函数有最大值，时，函数有最小值， ，解得或， ， 不合题意，舍去； 第三种情况，当时， 可知时，函数有最大值，时，函数有最小值， ，解得， ， 不合题意，舍去； 第四种情况，当时， 可知时，函数有最大值，时，函数有最小值， ，解得； 综上所述，或． 24. 如图1，中，，线段在内部，在的右侧作，，且，，，的延长线相交于点． （1）求证：． （2）当，时； ①如图2，点，重合时，求的长． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形； （1）先由，得到，再证明，即可得到； （2）①当点，重合时，，则，根据，得到代入计算即可； ②与交于点，连接，证明四边形是矩形，得到，，再根据勾股定理计算得到． 【小问1详解】 证明：∵在和中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，点，重合， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴，即， ∴； ②与交于点，连接， ∵，，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学科素养检测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 2. 在下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 今天嘉兴的最高气温为 B. 在只装有黑球的箱子里摸到红球 C. 篮球队员在罚球线上投篮得分 D. 一个三角形的内角和是 3. 小睿同学画二次函数的图象，列出表格如表，他发现有一组对应值计算有误（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 5. 如图，已知梯子的长为米，，，则梯子顶端离地面的高度为（ ）米 A B. C. D. 6. 如图，在圆O中，，点A为圆上除B、C外任意一点，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点．若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好是某个正五边形的两边，则这个角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（ ） A B. C. D. 10. 如图1，正方形中，点从点出发沿向终点运动，连接，过作的垂线交于点，连接交的延长线于点．设，．如图2是关于的函数图象，最高点为．下列选项正确的是（ ） A. B. 点在该函数图象上 C. D. 点的运动路径长为 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则________． 12. 如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1~8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是________． 14. 如图，在正方形网格中，点，，都是格点，则的值为________． 15. 已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是________． 16. 如图，是的直径，点在半圆上，过点作于点，点是上一点（不与，重合），连接，，与相交于点，平分交于点，若，则的值为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求函数图象对称轴与顶点坐标． （2）将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值． 18. 如图，一只松鼠要先经过第一道门（随机选择，或），再经过第二道门（随机选择或）出去． （1）求松鼠选择走门的概率． （2）利用树状图或列表法，求松鼠从门出去的概率． 19. 如图，在的正方形网格中，的各个顶点都是格点，请按要求完成下列问题： （1）在图中画出绕着点逆时针旋转得到的（点与点对应）． （2）求（1）中点所经过的路径长． 20. 如图，在中，，，是边上的中线，． （1）求的长． （2）求的值． 21. 如图，，是的直径，为弦，，延长至点，连接，使． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求的长． 22. 如图，在“浙城市争霸赛”中，球员甲正在投篮，球运动的路线是抛物线的一部分．投篮时他与篮筐中心的水平距离为5米，篮球出手时的高度约为2.05米，当球在空中飞行的水平距离为3米时能达到最大高度3.85米．已知篮筐距离地面的高度为3.05米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线的函数表达式． （2）甲投篮时，若没有其他干扰，投出的这个球能否准确命中？ （3）甲投篮时，若对方球员乙在甲前面1.2米处起跳拦截，且乙的拦截高度为3.15米，那么乙能否拦截成功？ 23. 当关于的函数在范围内有最大值和最小值时，我们将最大值与最小值的差记为． （1）若，求的值． （2）若； ①若点，均在该函数的图象上，当的值最大时，求的值． ②当时，请直接写出的值． 24. 如图1，中，，线段在内部，在的右侧作，，且，，，的延长线相交于点． （1）求证：． （2）当，时； ①如图2，点，重合时，求长． ②当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $