专题六 数列求和 课件-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列求和”专题，覆盖分组求和、裂项相消、错位相减三大核心方法及奇偶项、子数列问题等高考必考内容，对接高考评价体系，分析出中高档解答题（8-17分）的命题权重，归纳出分组求和的奇偶项分组、裂项相消的等差型裂项等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题模拟+技巧提炼+素养培养”，以2025年苏州、南通等模拟题为例，详解错位相减“万能公式”、裂项相消“系数调整”等应试技巧，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），助力学生掌握得分关键，教师可依托此课件精准突破考点，提升复习效率。

专题六　数列求和 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为8~17分. 考查方向： 考查重点一是考查三种常见的求和方法：分组求和、裂项相消求和、错位相减求和；二是考查奇偶项；三是数列中的子数列问题(公共项、增减项等). 考点一　分组求和法 　(2025·苏州模拟)在数列{an}中，已知a2=2，且当n为奇数时，an+2=an+4，当n为偶数时，an=an-1+. (1)求{an}的通项公式； 例1 依题意，a2=a1+=2，所以a1=1， 当n为奇数时，an+2=an+4，即an+2-an=4， 则数列{an}的奇数项是首项为a1=1，公差为4的等差数列， 于是an=1+×4=2n-1； 当n为偶数时，an=an-1+=[2(n-1)-1]+=3n-4. 所以an= 解 (2)求{an}的前2n项和S2n. 方法一　S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n) =(1+5+9+…+4n-3)+(2+8+14+…+6n-4) =+ =5n2-2n. 方法二　a2n-1+a2n=2(2n-1)-1+3·2n-4=10n-7， 所以{a2n-1+a2n}是以a1+a2=3为首项，10为公差的等差数列. 所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n) ==5n2-2n. 解 (1)分组求和法常见题型 ①若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. ②若数列{cn}的通项公式为cn= 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 规律方法 (2)并项求和法常见题型 ①数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n)，求数列{an}的前n项和. ②数列{an}是周期数列或ak+(k∈N*)为等差或等比数列，求数列{an}的前n项和. 规律方法 跟踪演练1　(2025·广州模拟)已知公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 设等差数列的公差为d(d≠0)，等比数列的公比为q，由题意得， ⇒ 又a1=b1=1，d≠0，解得 所以an=1+n-1=n，bn=1×2n-1=2n-1. 解 (2)令cn=，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前2n项和S2n. 由(1)得cn==3n， 去掉第3k项后，前4项依次为3，9，81，243， S2n=t1+t2+t3+…+t2n =c1+c2+c4+c5+…+c3n-2+c3n-1 =(c1+c4+…+c3n-2)+(c2+c5+…+c3n-1) =(31+34+…+33n-2)+(32+35+…+33n-1) =+=， 综上，S2n=. 解 考点二　裂项相消法 　(2025·南通模拟)已知数列{an}满足a1=1，a3=9，且对任意的n≥2，n∈N*，都有an+1+an-1=2(an+1). (1)设bn=an+1-an，求数列{bn}的通项公式； 例2 依题意，对任意的n≥2，n∈N*，都有an+1+an-1=2(an+1)， 故对任意的n≥2，n∈N*，an+1-an=an-an-1+2， 所以对任意的n≥2，n∈N*，bn=bn-1+2，即bn-bn-1=2为定值， 所以数列{bn}是公差为2的等差数列， 由a1=1，a3=9，得b1=a2-1，b2=9-a2， 所以(9-a2)-(a2-1)=2，解得a2=4，故b1=a2-1=3， 所以bn=3+(n-1)×2=2n+1. 解 (2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<. 由(1)可知，an+1-an=2n+1， 所以当n≥2，n∈N*时， an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+3+5+…+(2n-1)==n2， 又a1=1符合上式，所以an=n2， 所以===， 故Sn=+++…++ 证明 = =-， 因为n∈N*，+>0， 所以Sn<. 证明 (1)裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，要注意从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. (2)常见的几种裂项结构： ①等差型：=(an≠0，d≠0). ②指数型：=-. ③对数型：loga=logaan+1-logaan(an>0，a>0且a≠1). ④无理型：=-)(a>0，b>0). 规律方法 跟踪演练2　(2025·安康模拟)数列{an}满足a2=5，an+1=2an-1. (1)证明：数列是等比数列； 由a2=5，an+1=2an-1， 可得5=2a1-1，解得a1=3，则a1-1=2. 且an+1-1=2(an-1)，故是以2为首项，2为公比的等比数列. 证明 (2)若bn=，证明：数列{bn}的前n项和Sn<. 由(1)知an-1=2n，故an=2n+1， 所以bn== =-， 故Sn=-+-+…+-=-<. 证明 考点三　错位相减法 　(2025·哈尔滨模拟)已知数列{an}是正项等比数列，满足a2a4=64，a1+a5=34，且q>1. (1)求数列{an}的通项公式； 例3 ∵a2a4=a1a5=64，且a1+a5=34， ∴a1和a5是方程x2-34x+64=0的两个根， 即x2-34x+64=(x-2)(x-32)=0， 又q>1，则a5>a1，∴a1=2，a5=32， 则q4==16， ∴q=2(负值舍去)，故an=2n. 解 (2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，记数列的前n项和为Tn，求证：Tn<3. ∵an=2n，∴dn==，则=， Tn=++…+=2×+3×+…+(n+1)×， Tn=2×+3×+…+(n+1)×， ∴Tn=1+++…+-(n+1)× =1+-=--=-， ∴Tn=3-<3. 证明 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法. (2)用错位相减法求和时应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. (3)[万能公式]形如cn=(an+b)·qn-1(q≠1)的数列的前n项和为Sn=(An+B)qn+C(q≠1)，其中A=，B=，C=-B. 规律方法 跟踪演练3　(2025·沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn+an =1(n∈N*)，数列{bn}满足bn=log2an+10. (1)求出an，bn； 因为3Sn+an=1，当n=1时，3a1+a1=1，所以a1=， 当n≥2时，可得3Sn-1+an-1=1， 两式相减，得3an+an-an-1=0，所以4an=an-1，所以=，n≥2，n∈N*， 所以{an}是首项为，公比为的等比数列，即an=. 因为bn=log2an+10， 所以bn=log2+10=log22-2n+10=-2n+10. 解 (2)求出数列的前n项和Tn. 由(1)得anbn=(10-2n)·， 所以Tn=8×+6×+4×+…+(-2n+10)×， 则Tn=8×+6×+4×+…+(-2n+10)×， 两式相减得Tn=8×+(-2)×-(-2n+10)× 解 =2+(-2)×+(2n-10)=+， 所以Tn=+. 解 $