板块六 习题讲评（一）直线与圆 课时验收评价-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦直线与圆的方程、位置关系、轨迹问题等核心考点，依据高考评价体系梳理切线判定、弦长计算、阿氏圆等考查要求，通过2025年多地模拟题分析考点权重，归纳出方向向量求参数、圆的切线存在性等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+思维建模”策略，如以阿氏圆问题为例，通过坐标法建立轨迹方程，培养学生数学思维与几何直观素养。针对直线与圆位置关系，总结圆心距与半径比较、弦长公式等突破方法，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

课时验收评价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题 1.（2025·苏州模拟）已知直线mx-y+1=0的一个方向向量为（1，2），则实数m的值为（　　） A.- B. C.2 D.-2 C 解析：因为直线mx-y+1=0的一个方向向量为（1，2），可得直线的斜率为2，即m=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.（2025·门头沟一模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=kx+2，当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则k的最大值为 （　　） A.0 B. C.1 D. D 解析：由圆C：x2+y2=1可知圆心C（0，0），半径r=1.根据题意若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，可知直线和圆相离或相切，因此圆心到直线的距离d=≥r=1，解得-≤k≤，因此k的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.（2025·成都模拟）“a=0”是“直线（a-2）x+y+1=0与直线2x-（a+1）y -2=0互相平行”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析：若直线（a-2）x+y+1=0与直线2x-（a+1）y-2=0互相平行， 则-（a-2）（a+1）=2，解得a=0或a=1，当a=0时，符合题意； 当a=1时，两直线重合，不符合题意.故“a=0”是“直线（a-2）x+y +1=0与直线2x-（a+1）y-2=0互相平行”的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.（2025·南通三模）已知直线l：mx+y+2m=0与圆C：x2+y2+6x-2y=0交于A，B两点，则S△ABC的最大值为 （　　） A.2 B.4 C.5 D.10 B 解析：直线l：mx+y+2m=0过定点P（-2，0）， 圆C：（x+3）2+（y-1）2=10，易知C（-3，1）， |CP|=，设C到l的距离为d，∴0≤d≤， S△ABC=·2·d=， 当d=时，（S△ABC）max==4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：3x+4y+n=0与圆C：（x-2）2+y2= （an>0，n∈N*）相切，则数列{an}的前10项和为（　　） A. B. C.23 D.27 C 解析：由圆C：（x-2）2+y2=（an>0，n∈N*），可得圆心为C（2，0），半径为r=an，可得圆心C（2，0）到直线l：3x+4y+n=0的距离为d==，因为直线l：3x+4y+n=0与圆C相切，则d=r，即an=， 所以数列{an}的前10项和为S10==5×=23.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.已知直线l1：λx+2y+λ=0，直线l2：2x-λy-2=0，若l1与l2的交点为P，且 Q（2，），则|PQ|的最小值为（　　 ） A.2 B. C.3 D. A 解析：l1可变形为λ（x+1）+2y=0，由 可得则l1恒过定点A（-1，0）， 同理可得l2恒过定点B（1，0），且有λ·2+2·（-λ）=0，则l1⊥l2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 此时P的轨迹是以AB为直径的圆：x2+y2=1（y≠0）.因|OQ|=3，由图知，当点P在线段OQ上时，|PQ|的值最小，其最小值为3-1=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足=，则|PA|2+|PB|2的最大值为（　　） A.16+8 B.8+4 C.7+4 D.3+ A 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 思维路径：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），A（-1，0），B（1，0），由=，可得（x-2）2 +y2=3，数形结合得解. 解析：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取A（-1，0），B（1，0）. 设P（x，y），则=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 整理得（x-2）2+y2=3， 所以点P的轨迹方程为（x-2）2+y2=3. 则|PA|2+|PB|2=（x+1）2+y2+（x-1）2+y2 =2（x2+y2+1），x2+y2可看作圆（x-2）2+y2 =3上的点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方， 所以（x2+y2）max=（2+）2=7+4，所以[2（x2+y2+1）]max =16+8，即|PA|2+|PB|2的最大值为16+8.故选A 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.（2025·锦州质检）设直线l：y=x+5与x轴交于点A，圆O：x2+y2=10，过l上一点P作圆O的两条切线PC，PD，C，D为切点，CD中点为M，则|AM|的取值范围是 （　　） A.[-， +] B.[-， +] C.[3，5] D.[4，6] A 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 思维路径：根据题意，求出CD的方程，根据OM⊥CD，求出M的运动轨迹是以（-1，1）为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值、最小值得到答案. 解析：因为直线l：y=x+5与x轴交于点A， 所以A（-5，0）.因为P为l上一点， 所以P（t，t+5）.设C（x1，y1），D（x2， y2），则OC⊥PC，得直线PC的方程为 x1x+y1y=10，故x1t+y1（t+5）=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 同理得PD的方程为x2x+y2y=10，故x2t+y2（t+5）=10，故直线CD的方程为tx+（t+5）y=10.因为M为CD中点，所以OM⊥CD，所以OM的方程为y-0=（x-0），即ty-（t+5）x=0，联立 消t得（x+1）2+（y-1）2=2，所以M点的轨迹是以（-1，1）为圆心，为半径的圆，点A（-5，0）到圆心（-1，1）的距离为=，所以|AM|max=+，|AM|min= -，所以|AM|的取值范围是[-，+]，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多项选择题 9.（2025·河池二模）已知圆C方程为x2+y2+2x-4y+λ=0，则下列结论正确的是（　　 ） A.λ的取值范围为（-∞，5] B.若已知P（1，0）在圆内，则λ<-3 C.若λ=3，则直线x+y+1=0与圆C相离 D.若λ=1，则圆C关于直线x+y+1=0对称的圆D方程为x2+y2+6x+5=0 BD 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 思维路径：对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点P在圆内即可列不等式；对于C，比较圆心到直线x+y+1=0的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心C关于直线x+y+1=0的对称点即可. 解析：对于A，圆C的方程为（x+1）2+（y-2）2=5-λ，所以5-λ>0， 得λ<5，故A错误； 对于B，因为12+02+2×1-4×0+λ<0，所以λ<-3，故B正确； 对于C，当λ=3时，圆C方程为（x+1）2+（y-2）2=2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 此时圆心C（-1，2）到直线x+y+1=0的距离d===r，所以直线与圆C相切，故C错误；对于D，当λ=1时，可得圆C的方程为（x+1）2+（y-2）2=4，则圆心C（-1，2），半径为2，设圆D的方程为（x-a）2 +（y-b）2=4，由得D（-3，0），所以圆D方程为（x+3）2+y2-4=0，即x2+y2+6x+5=0，故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 10.（2025·咸阳模拟）已知圆C的方程为x2+y2-8x+12=0，点M（x0，y0）是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是 （　　 ） A.圆C的半径为2 B.满足|OM|=5.5的点M有1个 C.x0+2y0的最大值为4+2 D.若点P在x轴上，则满足|OM|=2|PM|的点P有两个 AC 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：选项A，圆的方程可化为（x-4）2+y2=4，所以圆心C（4，0），半径等于2，故A正确； 选项B，由于|OC|=4，所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4+2=6，最小距离是4-2=2，因此满足|OM|=5.5的点M有两个，故B错误； 选项C，令x0+2y0=t，则x0=t-2y0，所以M（t-2y0，y0），将点M的坐标代入圆C的方程并整理，得5+（16-4t）y0+（t2-8t+12）=0， 依题意有Δ=（16-4t）2-20（t2-8t+12）≥0，即t2-8t-4≤0， 解得4-2≤t≤4+2，因此x0+2y0的最大值为4+2，故C正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 选项D，不妨设P（a，0），由于|OM|=2|PM|， 所以 =2，整理得+-x0+=0. 因为点M（x0，y0）在圆C上，所以+-8x0+12=0， 则x0+=0，因为x0为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，所以得a=3，所以符合要求的点P是唯一的， 故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.如图，有一组圆Ck（k∈N*）都内切于点P（-2，0），圆C1：（x+3）2 +（y-1）2=2，设直线x+y+2=0与圆Ck在第二象限的交点为Ak，若|AkAk+1| =，则下列结论正确的是（　　 ） A.圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上 B.圆C9的方程为（x+7）2+（y-5）2=50 C.若k≥9，则圆Ck与y轴有交点 D.设直线x=-2与圆Ck在第二象限的交点为Bk，则|BkBk+1|=2 ABC 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：圆C1的圆心C1（-3，1），直线PC1的方程为y=×（x+2）， 即x+y+2=0，由两圆内切连心线必过切点，得圆Ck的圆心都在直线PC1上，即圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上，故A正确； 显然|PAk|=（k+1），设点Ak（xk，yk）， 则而xk<-2， 解得xk=-k-3，yk=k+1，因此圆Ck的圆心Ck， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 半径为=（k+1），圆Ck的方程为+=，则圆C9的方程为（x+7）2+（y-5）2=50，故B正确；圆Ck的圆心为Ck，半径rk=，圆心到y轴的距离为|-|=， 由≤两边平方得≤，即k2-6k-23=（k-3）2-32≥0，解得k≥3+4，而k∈N*，所以当k≥9时，圆Ck与y轴有交点，故C正确；在+=中，令x=-2，得点Bk的纵坐标为k+1，因此|BkBk+1|=1，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 12.（5分）（2025·天津高考）l1：x-y+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与（x+1）2+（y-3）2=r2交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=_______.  2 解析：因为直线l1：x-y+6=0与x轴交于A（-6，0）， 与y轴交于B（0，6），所以|AB|==6， 所以|CD|=2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 圆（x+1）2+（y-3）2=r2的半径为r， 圆心（-1，3）到直线l1：x-y+6=0的 距离为d==，故|CD|= 2=2=2，解得r=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13.（5分）（2025·怀化二模）已知点P在圆x2+y2-10x-10y+49=0上，点A（4，0），B（0，3），则当·最小时，点P到原点的距离为_________.  解析：由题知，圆的标准方程为（x-5）2+（y-5）2=1， 圆心为M（5，5），r=1.设P（x，y），又A（4，0）， B（0，3），则=（4，-3），=（x，y-3）， 所以·=4x-3y+9，令4x-3y+9=t， 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 则4x-3y+9-t=0，又P（x，y）在圆上，由≤1， 解得9≤t≤19，根据题设可知t=9满足题意， 即4x-3y+9-t=0与圆相切时满足题意， 此时|OP|==7，即点P到原点的距离为7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.（5分）在平面直角坐标系中，P的坐标满足（t，t+2），t∈R，已知圆C：（x-3）2+y2=1，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，圆C关于点P对称的圆的方程为___________________.  思维路径：求出点P的轨迹，利用切线的性质探讨∠APB取最大值的等价条件，由此求出点P的坐标，再由对称求出圆方程. （x+2）2+（y-5）2=1 解析：依题意，点P的轨迹为直线l：y=x+2， 显然∠APB=2∠CPB，要∠APB最大，当且仅当∠CPB最大， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 在Rt△CPB中，sin∠CPB==，而正 弦函数y=sin x在上单调递增，则只需 sin∠CPB最大，即圆心C到点P的距离最小， 因此CP⊥l，又圆心C（3，0），此时直线 CP的方程为y=-x+3，由解得点P，于是圆心C关于点P对称的点的坐标为（-2，5），所以圆C关于点P对称的圆的方程为（x+2）2+（y-5）2=1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $