微专题12 递推数列与数列求和课件-2026届高三数学二轮复习

高考数学二轮复习—— 递推数列与数列求和 #2022 #2023 #YEAR 1 微点1 利用构造法或者猜想求项或通项 例1 [2025·广东广州二模] 设为数列的前项和，且是 和8 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； 解：方法一：因为是 和8的等差中项，所以， 即 . 当时，，得 . 当时， ， 2 得，得 ， 即 . 所以数列 是以8为首项，2为公比的等比数列，所以 . 方法二：因为是和8的等差中项，所以 ，即 . 当时，，得 . 当时，，得 . 3 当时，，得 . 猜想： . 下面用数学归纳法证明. 当 时，可知猜想成立. 假设当时，猜想成立，即 ，则 ， 所以当时， ， 4 则 ， 得 ， 即当 时，猜想也成立. 由可知猜想成立，即 . 5 例1 [2025·广东广州二模] 设为数列的前项和，且是 和8 的等差中项. （2）令，数列的前项和为 ，证明： . 证明：因为 ，所以 ，所以 . 由，得，则，所以 . 6 【规律提炼】 1.利用递推关系求通项公式的常见类型与求解方法： （1）形如<m></m>的数列，利用累加法. （2）形如<m></m>的数列，利用累乘法. （3）形如<m></m>的数列，关系式两边取倒数可得 <m></m>，则可求出等差数列<m></m>的通项公式. 7 （4）若数列满足 ，构造 . （5）若数列满足 ，构造 . 2.利用递推关系赋值求前几项，通过归纳猜想出数列的通项公式，再 用数学归纳法证明. 8 自测题 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记<m></m>为数列<m></m>的前<m></m>项和，已知<m></m>,<m></m> 是公差为<m></m>的等差数列. （1）求 的通项公式； 解：因为，所以 ， 所以数列是首项为1，公差为 的等差数列， 所以，所以 . 9 当时， ，所以 ，即 ， 则，又 满足上式， 所以的通项公式为 . 10 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记<m></m>为数列<m></m>的前<m></m>项和，已知<m></m>,<m></m> 是公差为<m></m>的等差数列. （2）证明： . 证明： . 11 微点2 根据通项特点求和 角度1 错位相减法 例2 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：在中取,得 ， 由得， 即 , , 是以4为首项，为公比的等比数列, . 12 例2 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （2）设,求数列的前项和 . 解：方法一：由（1）知 ， 则 ， 则 ， 得 ， . 13 方法二：由（1）知, 当 时， ， 两边同时减去 可得 , 故 为常数列， 则,可得 . 14 【规律提炼】 用错位相减法求和时的注意点： （1）要善于通过通项公式的特征识别题目类型，特别是等比数列公 比为负数的情形； （2）在写出“<m></m>”与“<m></m>”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“<m></m>”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公 比等于1和不等于1两种情况求解. 15 自测题 [2025·陕西汉中模拟] 设各项均为正数的数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>， 且<m></m>，<m></m>. （1）求数列 的通项公式； 解：由 ， 得, ， 两式作差得, ， 因为数列 的各项均为正数， 所以, . 16 在式中令，得，则 . 则数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列， 故当为奇数时， ； 数列 的偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列， 故当为偶数时， . 综上，数列的通项公式为 . 17 [2025·陕西汉中模拟] 设各项均为正数的数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>， 且<m></m>，<m></m>. （2）已知，数列的前项和为，求证： . 证明：由（1）可得， ， 则 ， 则 ， 18 两式作差得， ， 则 . 令，则 ， 则数列为递减数列，且 ， 则 ， 故 . 19 角度2 裂项相消法 例3 [2025·福建龙岩质检] 已知数列的前项和为 ，且满足 ，， . （1）求数列 的通项公式； 20 解：由，得 ， 又，所以数列是首项为，公差 的等差数列， 所以，即 . 当时， ， 因为也满足上式，所以，则数列 的通项公式 为 . 21 例3 [2025·福建龙岩质检] 已知数列的前项和为 ，且满足 ，， . （2）若，求数列的前项和 . 解：由（1）得 ， 则 ， 所以 . 22 【规律提炼】 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如： <m></m>，<m></m>，裂项后产生可以 连续相互抵消的项.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同. 23 微点3 递推关系探究 例4（1）（多选题）[2025·昆明模拟]已知数列 ，定义数列 为数列的“2倍差数列”.若 的“2倍差数列”的通项 公式为，且 ，则下列结论中错误的是 ( ) A. B. C.数列 是递减数列 D.数列的前项和 √ √ √ 24 [解析] 由，可得，又 ，所以数 列是首项和公差均为1的等差数列，可得 ，则 ，可得，数列 是递增数列，故A中结论正确， B，C中结论错误； ，则 ，两式相减可得，所以 ，故D中结论错误. 故选 . 25 （2）[2025·浙江杭州模拟] 如图，某大型景区有 16处打卡景观，这16处景观依次用,,, , 表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行） 可以任意选择一条路径走向其他景观，并且每个 景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口 609 出发到达景观的不同路线有 条，其中 ，，则 _____. 26 [解析] 由题意知，， ， ， ， ，， 且 ，所以数 列 的前14项依次为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, 则， ，，， ，则 . 27 自测题 1.（多选题）我们常用的数是十进制数，如 ，计算机用的是二进制数，只需两个数码 0,1.如二进制数 将十进制正整数 表示为二进制数，其各位数字之和记为 ，即 ，其中 ，且，则 ，如. 则以下关于数列 的结论正确的有 ( ) 28 A.若，则的最大值为 B. C. D. √ √ 29 [解析] 对于A，如，则，或 或 ，…，显然 无最大值，故A错误； 对于B，设，， 且 ，则 ， 所以 ，B正确； 对于C，由B选项可得，假设，则当 时， 可得，与 矛盾，故假设不成立，故C错误； 对于D，设 ，则 30 ， 故，故D正确.故选 . 2.（多选题）[2025·福建泉州四校联考]帕多瓦数列是与斐波那契数 列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列 满足 ,，记的前项和为 , 则下列结论中正确的是( ) A. B. C. 是偶数 D. √ √ 32 [解析] 由题意知, ， ，， ，故A错误； 由A选项的分析可知， ，故B正确； 由, ，并用*表示奇 数，@表示偶数，可得下表， 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 33 * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列的项为奇数还是偶数以7为周期重复出现，一个周期内 下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数， 因为，所以 是奇数，故C错误； 续表 34 由 ，，， ， ，且， ,得 ， 又，所以 ， 故D正确.故选 . ［备选理由］例1定义了数组变换规则，涉及数值变换规律和递推关 系，最终转化为等比数列求和，强调“信息转化”和“模型构建”能力. 例2是等比数列性质判断题，选项涉及前 项和与项的关系，需要通 过反例排除错误选项，突出“分类讨论”和“反例验证”的思维方法.例3 是方格最值问题，通过构造不同方格表讨论和 的大小关系，考查 逻辑推理和构造能力.例4新定义“倍增数列”并设置两小问，包含定义 验证和递推证明，综合性较强. 36 例1 ［配例1使用］[2025·江西鹰潭二模] 若 为 一个有序实数组，其中,0,，表示把 中每个都变为，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所 得到的新的有序实数组，例如： ，则 .定义，,2,3, ，若，中有 项为1，则 的前2025项和为_ ______. 37 [解析] 因为，所以 ， . 显然中有2项，其中1项为 ，1项为1； 中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0； 中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0. 由此可得中共有项，其中1和 的项数相同，都为， 设中有项为0，所以， ， 从而. 38 因为表示把中每个 都变为，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组， 所以 得，，所以的前2025项和为 . 例2 ［补充使用］[2025·江苏苏锡常镇四市调研]已知等比数列 的公比，前项和为，则对任意 ，下列结论一定正确 的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 令，则，，，所以 ，A错误； ，B错误； ，C错误； 40 一般情况下，当时，，， ，则 ， ， 此时 ， ， 当时，，左边 ， 右边 左边，D正确.故选D. 41 例3 ［补充使用］（多选题）[2025·山东菏泽二模]如图，在 的 方格表中，任意填入个互不相等的实数 ，取每 行的最大数，得到个数，其中最小的一个是 ，再取每列的最小数， 又得到个数，其中最大的一个是 ，下列结论中可能成立的有 ( ) … … … A. B. C. D. √ √ √ 42 [解析] 设，因为是第行的最大数，所以对于第 行的任意 ,2, ,，都有. 设，因为是第 列的最小数，所以对于第列的任意, 2, ,，都有. 因为 是第行的最大数，所以， 因为是第 列的最小数，所以，所以. 构造 方格表如下： 1 2 3 4 43 则 . 构造 方格表如下： 3 1 2 4 则,，此时.所以. 当时，取 ，，，则， 此时.故选 . 44 例4 ［配例4使用］若各项均为正数的数列满足对任意 ， 都有成立，则称数列 为“倍增数列”. （1）试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； 解：对于数列1,2,5,13，因为 ，所以该数列是“倍增数列”. 对于数列1,3,8,21，因为 ，所以该数列不是“倍增数列”. 45 例4 ［配例4使用］若各项均为正数的数列满足对任意 ， 都有成立，则称数列 为“倍增数列”. （2）设数列满足， ，试判 断数列 是否为“倍增数列”，并说明理由. 解：先证明 . ， 同理得 ， 46 利用迭代可得 ， 因为，所以 ， 证毕. 由可得是各项均为正数的数列，在中，取 , 可得，故 ， 则 ， 故数列 是“倍增数列”. 47 $