期末培优讲义04：函数的零点与方程的根+函数模型的应用【知识梳理+11个题型归纳+题型方法复习】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“定义-判定-关系”为核心框架构建函数零点与方程根的知识体系，通过思维导图梳理零点定义、判定定理及三大思想，用表格归纳一次、二次、指对幂函数零点特征，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于11类分层题型设计，从零点存在定理到嵌套函数零点问题，覆盖基础与综合应用，每题型含解题步骤与易错规避，如二次函数零点分布结合判别式与对称轴培养数学思维，函数模型应用题型引导用数学语言解决实际问题，助力分层教学与学生自主复习。

2025-2026年人教A版高一数学常考题型归纳 【期末培优专练04：函数的零点与方程的根+函数模型的应用】 总览 题型梳理 【知识梳理+题型方法复习】 第一部分核心知识梳理 函数零点是连接函数与方程的桥梁，核心知识围绕“定义-判定-关系”展开，是解决各类题型的基础. 一、函数零点的核心定义 1.代数定义：对于函数（），使的实数叫做函数的零点（注意：零点是“数”，不是“点”）. 2.几何定义：函数的零点就是函数图像与轴交点的横坐标，即方程的实数根. 3.等价关系：函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点. 二、函数零点的判定定理（零点存在定理） 1.定理内容：如果函数在闭区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得（这个也就是方程的根）. 2.关键说明： （1）定理的前提：函数图像在区间上“连续不断”，缺一不可（如分段函数在分段点处不连续，可能不满足定理）； （2）定理的结论：“至少有一个零点”，不排除有多个零点的情况； （3）逆命题不成立：若函数在内有零点，不一定有（如在内有零点0，但）； （4）补充判定：若函数在上单调且连续，且，则函数在内有且仅有一个零点. 三、常见函数的零点特征 1.一次函数（）：有且仅有一个零点. 2.二次函数（）： （1）零点个数由判别式决定：有2个不同零点；有1个二重零点；无零点； （2）零点与系数关系（韦达定理）：若零点为，则，. 3.指对幂函数： （1）指数函数（）：当时，有且仅有一个零点；当时，无零点； （2）对数函数（）：有且仅有一个零点； （3）幂函数：零点个数由的奇偶性和的符号决定（如为奇数时，无论正负均有一个零点；为偶数时，有2个零点，无零点）. 四、函数零点的三大核心思想 1.数形结合思想：将函数零点问题转化为函数图像与轴（或两函数图像）的交点问题，通过画图直观分析； 2.等价转化思想：将复杂函数的零点问题转化为简单函数（如二次函数）的零点问题，通过换元、变形等手段简化求解； 3.分类讨论思想：当参数的取值影响函数的单调性、图像形状时，需按参数的不同范围分类分析，避免漏解. 第二部分11类题型解题策略 题型1：函数的零点存在定理及求参数 一、核心逻辑 利用零点存在定理的“连续+异号”核心条件，判断零点是否存在；若已知零点存在，反向列不等式求参数范围，注意需验证函数连续性. 二、解题步骤 1.1.判定零点存在： （1）判断函数在区间上是否连续（分段函数需验证分段点处的连续性）； （2）计算和的值，判断是否满足； （3）若满足，则区间内至少有一个零点；若不满足，需结合函数单调性进一步分析. 2.2.求参数范围（已知零点存在）： （1）确保函数在区间上连续（列出参数需满足的连续性条件，若函数本身连续则省略）； （2）由列关于参数的不等式； （3）解不等式，结合参数的隐含范围（如指数函数底数），确定参数的最终范围； （4）验证边界值：当或时，需判断端点是否为零点，若题目要求“区间内有零点”（不含端点），则排除边界值. 三、名师点睛 1.若函数在区间内不连续，即使，也不能判定有零点（如在上，，但无零点）； 2.已知零点唯一时，需额外添加“函数单调”的条件（可通过导数判断单调性）. 四、易错规避 1.忽略函数连续性的前提条件，直接用判定零点存在； 2.求解参数范围时，漏验证边界值导致范围扩大； 3.已知零点唯一时，未添加单调性条件，导致参数范围不准确. 题型2：用二分法求方程的近似解 一、核心逻辑 二分法是基于零点存在定理的“逐步逼近”方法，核心是通过不断将区间一分为二，缩小零点所在范围，直到达到题目要求的精确度. 二、解题步骤 1.1.确定初始区间：找到闭区间，使在上连续，且（即零点在内）。 2.2.计算区间中点：令，计算的值。 3.3.判断中点函数值： （1）若，则就是方程的精确解； （2）若，则零点在内，令； （3）若，则零点在内，令. 4.4.重复步骤2-3：直到区间的长度题目要求的精确度，此时区间内的任意一个值（通常取中点或端点）均可作为方程的近似解. 三、名师点睛 1.二分法仅适用于“连续且存在异号函数值”的区间，不适用于无零点或零点为二重根的情况（如在上，无法用二分法求零点）； 2.精确度的理解：若要求“精确度为0.1”，则区间长度需小于0.1，此时区间内的所有值与真实零点的差的绝对值均小于0.1. 四、易错规避 1.初始区间选择不当，未满足，导致无法逼近零点； 2.混淆“精确度”与“有效数字”（如精确度0.1是指误差小于0.1，而有效数字3位是指从第一个非零数字起保留3位）； 3.计算中点函数值时出错，导致区间缩小方向错误. 题型3：二次函数的零点分布问题 一、核心逻辑 二次函数的零点分布（即根的分布）问题，核心是利用“判别式+对称轴+区间端点函数值符号”三个维度的条件，列不等式组求解参数范围，本质是数形结合思想的应用. 二、解题步骤 1.1.标准化二次函数：设（），优先保证（若，可两边乘-1转化，方便判断函数图像开口方向）. 2.2.明确零点分布类型（常见类型及条件）： （1）两个零点都在区间内： （有两个不同零点）； （对称轴在区间内）； 且（区间端点函数值均为正，结合开口向上，确保零点在区间内）. （2）两个零点分别在区间和内（）： ； 且（开口向上时，端点函数值为负，确保零点在区间外）. （3）一个零点在内，另一个零点在内（）： （零点在内）； （零点在内）. （4）零点在区间上有且仅有一个（含端点）： 情况1：（异号或其中一个端点为零点）； 情况2：且对称轴（二重零点在区间内）. 3.3.列不等式组求解：根据上述对应条件，列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围. 4.4.验证边界值：确保区间端点对应的参数值满足题意，排除不合理解. 三、名师点睛 1.解决二次函数零点分布问题，务必先确定开口方向（的符号），开口方向不同，端点函数值的符号要求也不同； 2.若题目中二次项系数含参数，需先讨论二次项系数为0的情况（此时函数变为一次函数），避免漏解. 四、易错规避 1.忽略讨论二次项系数为0的情况，直接按二次函数求解，导致漏解； 2.遗漏判别式条件（如两个不同零点需），导致参数范围扩大； 3.对称轴范围写错，或端点函数值符号判断错误，导致不等式组列错. 题型4：指对幂函数+二次函数零点分布问题 一、核心逻辑 此类问题是“复合函数零点分布”的基础形式，核心是通过“等价转化”，将指对幂函数与二次函数的复合关系转化为二次函数的零点分布问题，再结合指对幂函数的定义域、值域限制求解参数范围. 二、解题步骤 1.1.明确函数结构：常见结构为，其中是指对幂函数（内层函数），是二次函数（外层函数，令）. 2.2.等价转化：函数的零点的根对应的和的根. 3.3.分析内层函数的值域：根据指对幂函数的单调性，求出的值域（如，值域；，值域）. 4.4.转化为二次函数零点分布：结合，分析二次函数的根与值域的关系，列出对应的二次函数零点分布条件（参考题型3的条件）. 5.5.列不等式组求解：根据上述条件列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围. 三、名师点睛 1.内层函数的值域是关键限制条件，如指数函数的值域为，则二次函数的根必须为正数；对数函数的定义域为，则需保证有解时； 2.若内层函数是单调函数，则的根的个数由是否在的值域内决定（在值域内有且仅有一个根，不在则无根）. 四、易错规避 1.忽略内层函数的值域限制，直接按二次函数零点分布求解，导致参数范围不准确； 2.未分析内层函数的单调性，错误判断的根的个数； 3.对数函数的定义域未考虑，导致无解的情况被忽略. 题型5：根据函数的零点个数求参数+换元型的“二次函数” 一、核心逻辑 此类问题的核心是“换元法”，通过引入新变量，将复杂的函数（如含、等形式）转化为二次函数，再结合换元变量的取值范围，分析二次函数的零点个数与原函数零点个数的关系，进而求参数范围. 二、解题步骤 1.1.识别换元特征：常见可换元的形式有： （1）含（则，即，）； （2）含（则，，当且仅当时取等号）； （3）含（），则）. 2.2.引入换元变量：令（为上述可换元的表达式），将原函数转化为关于的二次方程（）. 3.3.确定换元变量的取值范围：根据的单调性、定义域，求出的取值范围. 4.4.分析零点个数对应关系：原函数的零点个数方程在内的根对应的的根的个数之和. 5.5.分类讨论求参数：根据原函数要求的零点个数，分类讨论二次方程在内的根的个数（如0个、1个、2个），列出对应的不等式组（结合判别式、对称轴、端点函数值），解不等式组得到参数范围. 三、名师点睛 1.换元后务必明确的取值范围，这是限制二次函数根的关键； 2.若对应的根的个数与的取值有关（如，当时，有2个根；当时，有1个根），需在分类讨论中明确区分. 四、易错规避 1.换元后忽略的取值范围，直接按二次函数的全体实数根分析，导致零点个数判断错误； 2.未正确掌握换元后与原变量的根的个数对应关系，导致分类讨论遗漏； 3.换元过程中变形错误（如写成），导致二次方程列错. 题型6：换元型之“嵌套函数”零点问题 一、核心逻辑 嵌套函数（如、）的零点问题，核心是“分层讨论”，先求解外层函数的零点，再将其转化为内层函数的方程，通过分析内层函数方程的根的个数，确定参数范围或零点个数，本质是“由外到内”的等价转化. 二、解题步骤 1.1.明确嵌套结构：常见结构为（同函数嵌套）或（不同函数嵌套，为外层，为内层）。 2.2.求解外层函数零点：令（或），先解外层方程，得到根. 3.3.转化为内层函数方程：嵌套函数（或）的零点，等价于方程、、...、（或、、...、）的根的全体. 4.4.分析内层方程根的个数： （1）若求嵌套函数的零点个数：分别计算每个内层方程（或）的根的个数，求和即可； （2）若求参数范围（已知嵌套函数零点个数）：根据要求的总零点个数，分类讨论每个内层方程根的个数组合（如有2个根，有1个根，总个数为3），列出对应的不等式组，解不等式组得到参数范围. 三、名师点睛 1.解决嵌套函数零点问题，关键是“分层”，不要将内外层函数混淆，始终遵循“先外后内”的顺序； 2.若外层方程无根，则嵌套函数也无根；若外层方程有重根，需注意内层方程对应的根的个数是否重复. 四、易错规避 1.混淆内外层函数，直接求解后误当作嵌套函数的零点； 2.忽略外层方程根的个数，导致内层方程分析不全面（如外层方程有2个根，只分析了其中1个对应的内层方程）； 3.分析内层方程根的个数时，未结合函数的定义域、单调性，导致个数判断错误. 题型7：由函数的零点求解析式中的参数+函数奇偶性背景下的零点求参数 一、核心逻辑 此类问题核心是“零点条件+奇偶性性质”的结合，先利用函数的奇偶性得到解析式的隐含关系（如奇函数），再结合零点条件列方程或不等式，求解参数范围，本质是奇偶性性质与零点定义的综合应用. 二、解题步骤 1.1.利用奇偶性化简解析式： （1）奇函数：，若定义域含0，则（可直接作为一个零点条件）； （2）偶函数：，零点关于y轴对称（即若是零点，则也是零点）. 2.2.结合零点条件列方程/不等式： （1）已知具体零点：将零点代入解析式，结合奇偶性得到的隐含关系，列关于参数的方程，解方程求解参数； （2）已知零点个数/分布：先利用奇偶性确定零点的对称关系（如奇函数在正半轴有k个零点，则负半轴也有k个零点，含0时总个数为2k+1），再结合零点分布条件（如二次函数零点分布、指对函数值域限制），列不等式组求解参数范围. 3.3.验证参数合理性：将求出的参数代入解析式，验证函数是否满足奇偶性和零点条件，排除不合理解. 三、名师点睛 1.奇函数定义域含0时，是重要的隐含条件，可直接用于求参数（如，若为奇函数，无需额外条件，但定义域含0时，可验证参数）； 2.偶函数的零点对称关系可简化零点个数分析（如已知偶函数在内有2个零点，则在内也有2个零点，总个数为4）. 四、易错规避 1.忽略奇函数定义域含0时的隐含条件，导致参数求解不完整； 2.未利用偶函数零点的对称关系，导致零点个数分析错误； 3.求出参数后未验证函数的奇偶性，导致参数值不满足题意. 题型8：函数的奇偶性对称性周期性背景下的零点问题 一、核心逻辑 此类问题是函数性质的综合应用，核心是利用“奇偶性+对称性=周期性”的结论，先确定函数的周期，再结合周期性、对称性分析零点的分布规律（如零点的周期性、对称性），进而求解零点个数或参数范围. 二、核心结论（奇偶性+对称性=周期性） 1.若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，周期； 2.若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，周期； 3.若函数关于点和点对称（），则是周期函数，周期； 4.若函数关于直线和点对称（），则是周期函数，周期. 三、解题步骤 1.1.推导函数周期：根据题目给出的奇偶性、对称性条件，利用上述核心结论，求出函数的最小正周期. 2.2.分析一个周期内的零点个数：在函数的一个周期内（如、），结合奇偶性、对称性，求出零点的个数及具体位置. 3.3.扩展到全体定义域：根据周期性，将一个周期内的零点个数扩展到题目要求的定义域内（如内的零点个数为一个周期内的零点个数）. 4.4.求解参数范围（若含参数）：结合周期性、零点分布条件，列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围. 四、名师点睛 1.推导周期时，务必先明确函数的奇偶性和对称性类型，再套用对应的周期结论，避免混淆； 2.分析一个周期内的零点时，可利用对称性简化求解（如关于直线对称的零点，只需找到一侧的零点，另一侧可通过对称得到）. 五、易错规避 1.混淆不同奇偶性与对称性组合对应的周期结论，导致周期计算错误； 2.分析一个周期内的零点时，遗漏对称轴或对称中心对应的零点； 3.扩展到全体定义域时，未考虑定义域的边界值，导致零点个数计算错误. 题型9：求已知函数的零点个数+两个函数交点个数问题 一、核心逻辑 两个函数与的交点个数，等价于方程的零点个数，核心是利用“数形结合”思想，通过画出两个函数的图像，直观判断交点个数，或结合函数的单调性、极值等性质分析交点个数. 二、解题步骤 1.1.等价转化：将两个函数交点个数问题转化为函数的零点个数问题（或直接分析的根的个数）. 2.2.分析函数性质： （1）若函数较简单（如一次函数、二次函数、指对函数），直接画出两个函数的图像，观察交点个数； （2）若函数较复杂（如含导数的函数），通过求导分析的单调性、极值、最值，确定函数图像的大致形状，进而判断零点个数. 3.3.结合定义域分析：注意两个函数的定义域，交点的横坐标必须在两个函数的定义域交集内，排除定义域外的交点. 4.4.验证特殊点：对于图像交点不明显的情况，可计算特殊点的函数值（如区间端点、极值点），辅助判断交点个数. 三、名师点睛 1.画图时务必保证函数图像的准确性，尤其是关键特征（如指数函数过点、对数函数过点、二次函数的顶点）； 2.对于含参数的两个函数交点个数问题，可通过“动态画图”分析参数变化对函数图像的影响（如直线的斜率变化、抛物线的顶点变化），进而分类讨论交点个数。 四、易错规避 1.画图时忽略函数的定义域，导致多算定义域外的交点； 2.未分析函数的单调性、极值，仅凭直观画图判断交点个数，导致错误； 3.对于含参数的问题，未分类讨论参数的不同取值对交点个数的影响，导致漏解. 题型10：数形结合比较零点的大小关系 一、核心逻辑 此类问题核心是“数形结合”，通过画出函数的图像，确定零点的大致位置，再结合函数的单调性、奇偶性等性质，比较零点的大小关系，本质是函数图像与零点位置的对应关系应用。 二、解题步骤 1.1.确定函数解析式：明确需要比较零点的函数的解析式（若为两个函数的交点，需明确两个函数的解析式）. 2.2.画出函数图像：结合函数的单调性、极值、最值、特殊点（如与坐标轴的交点），画出函数的大致图像，确定零点的个数及每个零点的大致区间（如，，其中）. 3.3.利用函数性质细化零点位置： （1）单调性：若函数在区间上单调递增，且，，则零点，且可通过比较的符号进一步缩小区间； （2）奇偶性：若函数为奇函数，零点关于原点对称（是零点，则也是零点），可通过正半轴零点位置判断负半轴零点位置. 4.4.比较零点大小：根据零点所在的区间范围，直接比较大小（如，，则）；若零点在同一区间，可构造新函数或利用函数单调性进一步比较. 三、名师点睛 1.画图时重点关注函数的“变号点”（即函数值由正变负或由负变正的点），变号点所在的区间即为零点所在区间； 2.对于无法直接画图的复杂函数，可通过求导分析单调性和极值，确定函数图像的大致趋势，进而判断零点位置. 四、易错规避 1.函数图像画得不准确，导致零点所在区间判断错误； 2.未利用函数的单调性、极值等性质细化零点位置，导致无法比较同一区间内的零点大小； 3.忽略函数的定义域，将定义域外的点误当作零点进行比较. 题型11：二次函数+指数函数+对数函数模型的应用 一、核心逻辑 此类问题是函数零点的实际应用，核心是“建立函数模型-转化为零点问题-求解参数/实际意义”，即先根据实际问题的数量关系，建立二次函数、指数函数、对数函数或其复合函数的模型，再将实际问题中的“最值”“达标”等条件转化为函数的零点问题，进而求解. 二、解题步骤 1.1.审题建模： （1）明确实际问题中的自变量、因变量（如“时间t”为自变量，“产量/利润/浓度”为因变量）； （2）根据题目给出的数量关系，建立函数模型（如利润问题常用二次函数，增长/衰减问题常用指数函数，对数刻度问题常用对数函数）； （3）确定函数的定义域（结合实际问题的意义，如时间t≥0，产量≥0）. 2.2.转化为零点问题：将实际问题中的目标条件（如“利润为0时的产量”“浓度达标时的时间”）转化为函数的零点问题（即求解的根）. 3.3.求解零点：根据函数模型的类型（二次、指数、对数），选择对应的求解方法（如二次函数用求根公式，指数/对数函数用换元法或对数运算性质）. 4.4.检验实际意义：将求出的零点代入实际问题中，检验是否符合题意（如时间不能为负，产量不能超过最大产能），排除不合理解。 5.5.回答实际问题：根据检验后的零点，给出实际问题的答案（如“利润为0时的产量为200件”）. 三、名师点睛 1.建立函数模型时，务必注意变量的实际意义，确保定义域符合要求（这是实际应用问题的关键，也是容易出错的地方）； 2.对于指数、对数函数模型的零点问题，常通过取对数、换元等手段转化为二次函数或一次函数的零点问题，简化求解. 四、易错规避 1.建立函数模型时，数量关系分析错误（如利润=收入-成本，误写成利润=收入+成本），导致函数解析式列错； 2.忽略函数的实际定义域，求出的零点不符合实际意义（如时间为负）； 3.求解指数、对数函数模型的零点时，对数运算性质使用错误（如误写成）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的零点存在定理及求参数】 （24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求定义域并判断其单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C （25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（    ）小试牛刀1 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意发现，再由函数零点存在定理即可求解． 【详解】因为的图象是一条连续的曲线， 且和都为增函数， 所以在上单调递增， 又， 由函数零点存在定理可知，的零点在区间内， 所以． 故选：B． （23-24高一下·海南海口·期末）已知函数．小试牛刀2 (1)根据定义判断的奇偶性和单调性； (2)求函数的零点个数； (3)设为的一个零点，证明：． 【答案】(1)奇函数，单调递增 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，和指数函数单调性，判断函数的奇偶性和单调性即可； （2）根据函数的单调性，和零点存在定理，求出函数零点的个数； （3）根据对数的运算公式，化简函数解析式，判断函数单调性，判断函数在区间上的值域； 【详解】（1）已知，定义域为R，则，所以为奇函数； 因为都是单调增函数，所以为定义域上的增函数； （2）已知， 当时，，所以在上都单调递增， 所以在上都单调递增， 可知， 易知，所以， 可知，因为在上连续不断且单调递增，又因为， 所以在上有一个零点， 当时，，因为，所以，即在上无零点， 综上：函数有且仅有一个零点. （3）当为的零点时，，即， ， 可知在都单调递减，所以在也单调递减， 所以，即，所以. （25-26高一上·全国·期末）已知函数，．小试牛刀3 (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值； （2）先判断的单调性，再证，根据零点存在性定理即可得证； （3）由题意，求出的值，令，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，再结合二次函数分情况讨论即可. 【详解】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则， 令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或 解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 【题型2：用二分法求方程的近似解】 （25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. （24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． （24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 【多选题】（23-24高一上·浙江宁波·月考）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：小试牛刀3 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理及精确度确定零点所在区间，即可得解. 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的唯一近似解在，，，内， 又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，. 故选：BC 【题型3：二次函数的零点分布问题】 （25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. （25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 .小试牛刀1 【答案】. 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. （24-25高一上·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用根的判别式以及韦达定理来确定参数的取值范围. 【详解】对于一元二次方程，因为方程有两个不同的根， 所以，且，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. （24-25高一上·上海虹口·期末）已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】设，条件可转化函数的图象与轴有两个交点，且两个交点的横坐标一个大于，一个小于，观察图象可得，解不等式可得结论 【详解】设， 因为方程的一个根大于1，另一个根小于1， 所以函数的图象与轴有两个交点，且两个交点的横坐标一个大于，一个小于， 又函数的图象开口向上， 作满足要求的函数图象可得， 观察图象可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【题型4：指对幂函数+二次函数零点分布问题】 （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是 .经典例题例题 【答案】 【分析】画出的图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解. 【详解】作出函数的图像如下：    令，关于x的函数恰好有五个零点， 则有两个不同的实根，设两根分别为，有五个零点，即与共有五个交点. 则由图像可知，   ，或者 令，据二次函数根分布的关系，可得或 解不等式组，得. 故答案为： （24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，可得方程在上有解，代入化简整理，令，换元得，在时有解，结合二次函数的图像性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】已知函数，由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以在上有非零解， 即在上有解， 即在上有解， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，在时有解， 令，其对称轴为， ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； ②当时，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 经检验时,不合题意， 故答案为： （24-25高二下·安徽六安·期末）已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元法令，将方程的根问题转化为方程有2个不等实根，数形结合，根据一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【详解】令，其函数图象如图： 方程可化为， 即，即， 则该方程有2个不等的实根， 设，则， 令， 则，或， 解得或无解， 所以实数k的取值范围是. 故选：. （24-25高一上·贵州遵义·期末）已知函数为定义在上的奇函数.小试牛刀3 (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)记，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见详解. (3) 【分析】（1）根据定义在上的奇函数的性质得，即可求解的值； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用换元法令，转化得，使得成立，利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，即，解得. 当时，，， 且，满足题意，故. （2）函数在上单调递增，证明如下： 取，且， 则 因为，则，即，又，则， 所以，即， 因此，函数在上单调递增. （3）由题意，，. 因为，使得成立， 即，使得成立， 令，则，因为函数在上单调递增， 所以由，解得， 所以，使得成立， 即，使得成立， 即 ， 因为所以，， 因此，实数的取值范围是 . 【题型5：根据函数的零点个数求参数+换元型的“二次函数”】 （24-25高一上·湖北·期末）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是 .经典例题例题 【答案】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 【多选题】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，令，,利用 二次函数根与系数的关系解决即可. 【详解】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B正确； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. （24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据、共有3个不同的实数根据可求实数的取值范围，后者可就、、分类讨论即可. 【详解】由可得或， 当时，， 当时，令，解得， 故有两个不同的解且异于， 而在上为减函数，且， 故在上至多有一个实数根， 若在上有一个实数根，则， 即，考虑此时解的个数， 此方程可化为， 因为，故只有一个实数解， 若该解与相同，则即，与矛盾， 故符合题设要求； 若在上无实数根，则或， 即或，考虑解的个数， 若，则，有一个实数根， 故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾； 若，则，故， 当且仅当，时等号成立， 故此时至多有一个实数根， 故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾； 综上，， 故选：C. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点个数问题，一般先考虑外方程的解的情况，再考虑内方程解的情况，两者综合才可求参数的取值范围. （24-25高一上·辽宁·期末）已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，构建，分析可知函数有2个零点，结合函数的图像，讨论零点分布即可得解. 【详解】作出函数的图像，如图所示： 令，构建， 若方程有6个不同实数解， 则函数有2个零点，不妨设， 结合函数的图像，有如下几种情况： 若，则，解得； 若，则，解得， 此时的零点为2，不合题意； 若，则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 【题型6：换元型之“嵌套函数”零点问题】 （2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ）经典例题例题 A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 【多选题】（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数 ，，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 【答案】BCD 【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断. 【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图， 当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误； B：当时，设方程的解为，，易得，， 则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确. C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确. D：当时，设方程的解为，，，易得，，， 则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解， 当有个解时，则，即， 所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B （24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，，作出函数的简图，结合函数图象，分情况列出不等式求解即可. 【详解】  设，，则的图象如图所示： 当时，显然不成立； 当时，有一个解，设为，由图可知，当时，显然无四个解，不成立． 当时，有三解，设为，由图可知． 无解，有三解，有一解，故满足题意． 当或时，显然不满足题意． 综上所得，实数的取值范围为：. 故答案为：. 【题型7：由函数的零点求解析式中的参数+函数奇偶性背景下的零点求参数】 （24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数零点问题转化为函数图象交点问题，则可得函数与函数恰有3个交点，再将两函数图象画出，分析图象即可得解. 【详解】令，则， 则函数与函数恰有3个交点， 则如下图所示： 则函数与有一横坐标大于的交点， 即有，即，解得； 函数与有两个横坐标小于的交点， 令，有， 则，解得， 综上所述，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数零点问题转化为函数图象交点问题，从而可借助图象，数形结合解答问题. （2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先推得的对称性与单调性，又也关于对称，由对称性可知方程唯一的根在对称轴上，代入即可解得. 【详解】因为，则， 所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减； 又，故可看作由函数向右平移1个单位得到， 所以的图象也关于对称； 又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根， 因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得. 故选：C．    （2025·云南昆明·模拟预测）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数 ．小试牛刀2 【答案】2 【分析】通过构造函数，求证为偶函数，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】令，定义域为R， 则，则为偶函数， 由于曲线与恰有一个交点，则只有唯一的零点， 则，解得. 故答案为：. （25-26高三上·贵州·月考）若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（   ）小试牛刀3 A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先判断函数为上的偶函数，由题意推得，求得或3，分别代入原解析式，作图验证即得. 【详解】函数的定义域为， 由可得函数为偶函数， 函数图象关于轴对称. 若不是函数的零点，则该函数的零点必成对出现，不合题意， 故 ，即，解得或 3. ① 当时，由，可得， 作出函数与函数的图象如图1所示： 此时，函数与函数的图象有3个交点，不合题意； ② 当时，由，可得， 作出函数与函数的图象如图2所示： 此时，函数与函数的图象有1个交点，符合题意. 综上所述，。 故选：C. 【题型8：函数的奇偶性对称性周期性背景下的零点问题】 【多选题】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时， ，则下列说法中正确的有（    ）经典例题例题 A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 【答案】ACD 【分析】根据函数的对称性结合奇偶性计算求解周期判断A，应用对称中心定义判断B，应用周期性求函数值判断C，画出图象结合数形结合判断交点判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以，即， ， 即的周期，故A正确； 对于B，由A得，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因为的周期，，则 当时，，则， 由，令则，令则， 所以 ，故C正确； 对于D，作出函数与函数的图象，如图． 所以曲线与有8个交点，故D正确． 故选:ACD. 【多选题】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 【答案】AD 【分析】由题意得到函数的周期，利用周期及函数在上的解析式可求出判断A；利用函数的奇偶性可推出函数在上的单调性，再利用周期性可得在上的单调性判断B；根据的对称性与周期性直接判断C；利用图象判断与函数的交点个数即为的零点个数判断D. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数图象关于点成中心对称，且①， 因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称， 由①②可得，，则，所以的一个周期为4. 在①中令有， 因为时，，所以，，故， 所以，，故A正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为8是的周期，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如图： 当时，， 当时，，当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确. 故选：AD. 【多选题】（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（   ）．小试牛刀2 A． B．在上单调递增 C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据及区间解析式，求函数值判断A；由周期性求相关区间解析式画出草图判断B；数形结合判断与交点情况判断C、D. 【详解】A，因为，，所以， 当时，，则， 所以，对； B，由，则，故， 其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对； C，因为，函数的零点从小到大依次记为， 若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标， 在上，则，则， 在上，如下图示， 根据与的交点情况，可得，对； D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错． 故选：ABC 【多选题】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．当时， D．方程恰有10个解 【答案】AC 【分析】通过对函数关系的化简以及奇函数的性质判断A选项；由时函数解析式以及函数的关系，写出时的函数解析式，从而知道函数在上的单调性，判断的大小关系即可判断B选项；同理写出时函数解析式，判断C选项，写出时函数解析式，从而得到函数的函数图像，即可找到方程解的个数，判断D选项. 【详解】∵，∴， 又∵函数是定义域为的奇函数，∴， ∴，即， ∴，A选项正确； 令，则，， ∴函数在区间上单调递减， ∵， , ， ∴，B选项错误； 令，则，，C选项正确； 令，则，， 这函数的函数图像如下： 故方程恰有9个解，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛，本题是抽象函数的性质的综合运用，通过抽象函数解析式的关系，以及其中某个区间的函数解析式，得到这个函数的性质和大致图像是解题的关键. 【题型9：求已知函数的零点个数+两个函数交点个数问题】 （24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 .经典例题例题 【答案】3 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. （24-25高二下·湖南·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ）小试牛刀1 A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：D （2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B （24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ）小试牛刀3 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 【题型10：数形结合比较零点的大小关系】 （24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列）经典例题例题 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. （24-25高一上·四川广元·期末）若函数的零点为，函数的零点为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】AB选项，转化为图象交点横坐标问题，数形结合得到，，，故A错误，B正确；C选项，数形结合得到，C正确；D选项，在C基础上，由同角三角函数关系得到D正确. 【详解】AB选项，分别令得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 其中，， 作出函数，和在上的图象，如图所示， 因为函数与在上的图象关于对称， 在上单调递减， 所以，，， 所以，故A错误，B正确； C选项，由图象可知，，故，C正确； D选项，由C知，，且，， 所以，即， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：函数零点问题可以转化为两函数图象交点问题，数形结合进行求解，得到，，，进而判断出结论. （2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B （23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，结合图象交点坐标即可得. 【详解】由， 画出函数与、、， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 根据图象可知. 故选：B． 【题型11：二次函数+指数函数+对数函数模型的应用】 （25-26高一上·安徽·期末）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.经典例题例题 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)9万件 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得，当时，， 当时，， 故 （2）当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片. （25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：小试牛刀1 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． （24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为．小试牛刀2 (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）先利用声强级和声强的计算公式结合已知条件求出，再根据对数的运算性质求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． （24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表：小试牛刀3 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】(1)选择模型①，，2028年 (2)（i）选择模型②，；（ii）2027年 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【详解】（1）由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. （2）（i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学常考题型归纳 【期末培优专练04：函数的零点与方程的根+函数模型的应用】 总览 题型梳理 【知识梳理+题型方法复习】 第一部分核心知识梳理 函数零点是连接函数与方程的桥梁，核心知识围绕“定义-判定-关系”展开，是解决各类题型的基础. 一、函数零点的核心定义 1.代数定义：对于函数（），使的实数叫做函数的零点（注意：零点是“数”，不是“点”）. 2.几何定义：函数的零点就是函数图像与轴交点的横坐标，即方程的实数根. 3.等价关系：函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点. 二、函数零点的判定定理（零点存在定理） 1.定理内容：如果函数在闭区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得（这个也就是方程的根）. 2.关键说明： （1）定理的前提：函数图像在区间上“连续不断”，缺一不可（如分段函数在分段点处不连续，可能不满足定理）； （2）定理的结论：“至少有一个零点”，不排除有多个零点的情况； （3）逆命题不成立：若函数在内有零点，不一定有（如在内有零点0，但）； （4）补充判定：若函数在上单调且连续，且，则函数在内有且仅有一个零点. 三、常见函数的零点特征 1.一次函数（）：有且仅有一个零点. 2.二次函数（）： （1）零点个数由判别式决定：有2个不同零点；有1个二重零点；无零点； （2）零点与系数关系（韦达定理）：若零点为，则，. 3.指对幂函数： （1）指数函数（）：当时，有且仅有一个零点；当时，无零点； （2）对数函数（）：有且仅有一个零点； （3）幂函数：零点个数由的奇偶性和的符号决定（如为奇数时，无论正负均有一个零点；为偶数时，有2个零点，无零点）. 四、函数零点的三大核心思想 1.数形结合思想：将函数零点问题转化为函数图像与轴（或两函数图像）的交点问题，通过画图直观分析； 2.等价转化思想：将复杂函数的零点问题转化为简单函数（如二次函数）的零点问题，通过换元、变形等手段简化求解； 3.分类讨论思想：当参数的取值影响函数的单调性、图像形状时，需按参数的不同范围分类分析，避免漏解. 第二部分11类题型解题策略 题型1：函数的零点存在定理及求参数 一、核心逻辑 利用零点存在定理的“连续+异号”核心条件，判断零点是否存在；若已知零点存在，反向列不等式求参数范围，注意需验证函数连续性. 二、解题步骤 1.1.判定零点存在： （1）判断函数在区间上是否连续（分段函数需验证分段点处的连续性）； （2）计算和的值，判断是否满足； （3）若满足，则区间内至少有一个零点；若不满足，需结合函数单调性进一步分析. 2.2.求参数范围（已知零点存在）： （1）确保函数在区间上连续（列出参数需满足的连续性条件，若函数本身连续则省略）； （2）由列关于参数的不等式； （3）解不等式，结合参数的隐含范围（如指数函数底数），确定参数的最终范围； （4）验证边界值：当或时，需判断端点是否为零点，若题目要求“区间内有零点”（不含端点），则排除边界值. 三、名师点睛 1.若函数在区间内不连续，即使，也不能判定有零点（如在上，，但无零点）； 2.已知零点唯一时，需额外添加“函数单调”的条件（可通过导数判断单调性）. 四、易错规避 1.忽略函数连续性的前提条件，直接用判定零点存在； 2.求解参数范围时，漏验证边界值导致范围扩大； 3.已知零点唯一时，未添加单调性条件，导致参数范围不准确. 题型2：用二分法求方程的近似解 一、核心逻辑 二分法是基于零点存在定理的“逐步逼近”方法，核心是通过不断将区间一分为二，缩小零点所在范围，直到达到题目要求的精确度. 二、解题步骤 1.1.确定初始区间：找到闭区间，使在上连续，且（即零点在内）。 2.2.计算区间中点：令，计算的值。 3.3.判断中点函数值： （1）若，则就是方程的精确解； （2）若，则零点在内，令； （3）若，则零点在内，令. 4.4.重复步骤2-3：直到区间的长度题目要求的精确度，此时区间内的任意一个值（通常取中点或端点）均可作为方程的近似解. 三、名师点睛 1.二分法仅适用于“连续且存在异号函数值”的区间，不适用于无零点或零点为二重根的情况（如在上，无法用二分法求零点）； 2.精确度的理解：若要求“精确度为0.1”，则区间长度需小于0.1，此时区间内的所有值与真实零点的差的绝对值均小于0.1. 四、易错规避 1.初始区间选择不当，未满足，导致无法逼近零点； 2.混淆“精确度”与“有效数字”（如精确度0.1是指误差小于0.1，而有效数字3位是指从第一个非零数字起保留3位）； 3.计算中点函数值时出错，导致区间缩小方向错误. 题型3：二次函数的零点分布问题 一、核心逻辑 二次函数的零点分布（即根的分布）问题，核心是利用“判别式+对称轴+区间端点函数值符号”三个维度的条件，列不等式组求解参数范围，本质是数形结合思想的应用. 二、解题步骤 1.1.标准化二次函数：设（），优先保证（若，可两边乘-1转化，方便判断函数图像开口方向）. 2.2.明确零点分布类型（常见类型及条件）： （1）两个零点都在区间内： （有两个不同零点）； （对称轴在区间内）； 且（区间端点函数值均为正，结合开口向上，确保零点在区间内）. （2）两个零点分别在区间和内（）： ； 且（开口向上时，端点函数值为负，确保零点在区间外）. （3）一个零点在内，另一个零点在内（）： （零点在内）； （零点在内）. （4）零点在区间上有且仅有一个（含端点）： 情况1：（异号或其中一个端点为零点）； 情况2：且对称轴（二重零点在区间内）. 3.3.列不等式组求解：根据上述对应条件，列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围. 4.4.验证边界值：确保区间端点对应的参数值满足题意，排除不合理解. 三、名师点睛 1.解决二次函数零点分布问题，务必先确定开口方向（的符号），开口方向不同，端点函数值的符号要求也不同； 2.若题目中二次项系数含参数，需先讨论二次项系数为0的情况（此时函数变为一次函数），避免漏解. 四、易错规避 1.忽略讨论二次项系数为0的情况，直接按二次函数求解，导致漏解； 2.遗漏判别式条件（如两个不同零点需），导致参数范围扩大； 3.对称轴范围写错，或端点函数值符号判断错误，导致不等式组列错. 题型4：指对幂函数+二次函数零点分布问题 一、核心逻辑 此类问题是“复合函数零点分布”的基础形式，核心是通过“等价转化”，将指对幂函数与二次函数的复合关系转化为二次函数的零点分布问题，再结合指对幂函数的定义域、值域限制求解参数范围. 二、解题步骤 1.1.明确函数结构：常见结构为，其中是指对幂函数（内层函数），是二次函数（外层函数，令）. 2.2.等价转化：函数的零点的根对应的和的根. 3.3.分析内层函数的值域：根据指对幂函数的单调性，求出的值域（如，值域；，值域）. 4.4.转化为二次函数零点分布：结合，分析二次函数的根与值域的关系，列出对应的二次函数零点分布条件（参考题型3的条件）. 5.5.列不等式组求解：根据上述条件列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围. 三、名师点睛 1.内层函数的值域是关键限制条件，如指数函数的值域为，则二次函数的根必须为正数；对数函数的定义域为，则需保证有解时； 2.若内层函数是单调函数，则的根的个数由是否在的值域内决定（在值域内有且仅有一个根，不在则无根）. 四、易错规避 1.忽略内层函数的值域限制，直接按二次函数零点分布求解，导致参数范围不准确； 2.未分析内层函数的单调性，错误判断的根的个数； 3.对数函数的定义域未考虑，导致无解的情况被忽略. 题型5：根据函数的零点个数求参数+换元型的“二次函数” 一、核心逻辑 此类问题的核心是“换元法”，通过引入新变量，将复杂的函数（如含、等形式）转化为二次函数，再结合换元变量的取值范围，分析二次函数的零点个数与原函数零点个数的关系，进而求参数范围. 二、解题步骤 1.1.识别换元特征：常见可换元的形式有： （1）含（则，即，）； （2）含（则，，当且仅当时取等号）； （3）含（），则）. 2.2.引入换元变量：令（为上述可换元的表达式），将原函数转化为关于的二次方程（）. 3.3.确定换元变量的取值范围：根据的单调性、定义域，求出的取值范围. 4.4.分析零点个数对应关系：原函数的零点个数方程在内的根对应的的根的个数之和. 5.5.分类讨论求参数：根据原函数要求的零点个数，分类讨论二次方程在内的根的个数（如0个、1个、2个），列出对应的不等式组（结合判别式、对称轴、端点函数值），解不等式组得到参数范围. 三、名师点睛 1.换元后务必明确的取值范围，这是限制二次函数根的关键； 2.若对应的根的个数与的取值有关（如，当时，有2个根；当时，有1个根），需在分类讨论中明确区分. 四、易错规避 1.换元后忽略的取值范围，直接按二次函数的全体实数根分析，导致零点个数判断错误； 2.未正确掌握换元后与原变量的根的个数对应关系，导致分类讨论遗漏； 3.换元过程中变形错误（如写成），导致二次方程列错. 题型6：换元型之“嵌套函数”零点问题 一、核心逻辑 嵌套函数（如、）的零点问题，核心是“分层讨论”，先求解外层函数的零点，再将其转化为内层函数的方程，通过分析内层函数方程的根的个数，确定参数范围或零点个数，本质是“由外到内”的等价转化. 二、解题步骤 1.1.明确嵌套结构：常见结构为（同函数嵌套）或（不同函数嵌套，为外层，为内层）。 2.2.求解外层函数零点：令（或），先解外层方程，得到根. 3.3.转化为内层函数方程：嵌套函数（或）的零点，等价于方程、、...、（或、、...、）的根的全体. 4.4.分析内层方程根的个数： （1）若求嵌套函数的零点个数：分别计算每个内层方程（或）的根的个数，求和即可； （2）若求参数范围（已知嵌套函数零点个数）：根据要求的总零点个数，分类讨论每个内层方程根的个数组合（如有2个根，有1个根，总个数为3），列出对应的不等式组，解不等式组得到参数范围. 三、名师点睛 1.解决嵌套函数零点问题，关键是“分层”，不要将内外层函数混淆，始终遵循“先外后内”的顺序； 2.若外层方程无根，则嵌套函数也无根；若外层方程有重根，需注意内层方程对应的根的个数是否重复. 四、易错规避 1.混淆内外层函数，直接求解后误当作嵌套函数的零点； 2.忽略外层方程根的个数，导致内层方程分析不全面（如外层方程有2个根，只分析了其中1个对应的内层方程）； 3.分析内层方程根的个数时，未结合函数的定义域、单调性，导致个数判断错误. 题型7：由函数的零点求解析式中的参数+函数奇偶性背景下的零点求参数 一、核心逻辑 此类问题核心是“零点条件+奇偶性性质”的结合，先利用函数的奇偶性得到解析式的隐含关系（如奇函数），再结合零点条件列方程或不等式，求解参数范围，本质是奇偶性性质与零点定义的综合应用. 二、解题步骤 1.1.利用奇偶性化简解析式： （1）奇函数：，若定义域含0，则（可直接作为一个零点条件）； （2）偶函数：，零点关于y轴对称（即若是零点，则也是零点）. 2.2.结合零点条件列方程/不等式： （1）已知具体零点：将零点代入解析式，结合奇偶性得到的隐含关系，列关于参数的方程，解方程求解参数； （2）已知零点个数/分布：先利用奇偶性确定零点的对称关系（如奇函数在正半轴有k个零点，则负半轴也有k个零点，含0时总个数为2k+1），再结合零点分布条件（如二次函数零点分布、指对函数值域限制），列不等式组求解参数范围. 3.3.验证参数合理性：将求出的参数代入解析式，验证函数是否满足奇偶性和零点条件，排除不合理解. 三、名师点睛 1.奇函数定义域含0时，是重要的隐含条件，可直接用于求参数（如，若为奇函数，无需额外条件，但定义域含0时，可验证参数）； 2.偶函数的零点对称关系可简化零点个数分析（如已知偶函数在内有2个零点，则在内也有2个零点，总个数为4）. 四、易错规避 1.忽略奇函数定义域含0时的隐含条件，导致参数求解不完整； 2.未利用偶函数零点的对称关系，导致零点个数分析错误； 3.求出参数后未验证函数的奇偶性，导致参数值不满足题意. 题型8：函数的奇偶性对称性周期性背景下的零点问题 一、核心逻辑 此类问题是函数性质的综合应用，核心是利用“奇偶性+对称性=周期性”的结论，先确定函数的周期，再结合周期性、对称性分析零点的分布规律（如零点的周期性、对称性），进而求解零点个数或参数范围. 二、核心结论（奇偶性+对称性=周期性） 1.若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，周期； 2.若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，周期； 3.若函数关于点和点对称（），则是周期函数，周期； 4.若函数关于直线和点对称（），则是周期函数，周期. 三、解题步骤 1.1.推导函数周期：根据题目给出的奇偶性、对称性条件，利用上述核心结论，求出函数的最小正周期. 2.2.分析一个周期内的零点个数：在函数的一个周期内（如、），结合奇偶性、对称性，求出零点的个数及具体位置. 3.3.扩展到全体定义域：根据周期性，将一个周期内的零点个数扩展到题目要求的定义域内（如内的零点个数为一个周期内的零点个数）. 4.4.求解参数范围（若含参数）：结合周期性、零点分布条件，列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围. 四、名师点睛 1.推导周期时，务必先明确函数的奇偶性和对称性类型，再套用对应的周期结论，避免混淆； 2.分析一个周期内的零点时，可利用对称性简化求解（如关于直线对称的零点，只需找到一侧的零点，另一侧可通过对称得到）. 五、易错规避 1.混淆不同奇偶性与对称性组合对应的周期结论，导致周期计算错误； 2.分析一个周期内的零点时，遗漏对称轴或对称中心对应的零点； 3.扩展到全体定义域时，未考虑定义域的边界值，导致零点个数计算错误. 题型9：求已知函数的零点个数+两个函数交点个数问题 一、核心逻辑 两个函数与的交点个数，等价于方程的零点个数，核心是利用“数形结合”思想，通过画出两个函数的图像，直观判断交点个数，或结合函数的单调性、极值等性质分析交点个数. 二、解题步骤 1.1.等价转化：将两个函数交点个数问题转化为函数的零点个数问题（或直接分析的根的个数）. 2.2.分析函数性质： （1）若函数较简单（如一次函数、二次函数、指对函数），直接画出两个函数的图像，观察交点个数； （2）若函数较复杂（如含导数的函数），通过求导分析的单调性、极值、最值，确定函数图像的大致形状，进而判断零点个数. 3.3.结合定义域分析：注意两个函数的定义域，交点的横坐标必须在两个函数的定义域交集内，排除定义域外的交点. 4.4.验证特殊点：对于图像交点不明显的情况，可计算特殊点的函数值（如区间端点、极值点），辅助判断交点个数. 三、名师点睛 1.画图时务必保证函数图像的准确性，尤其是关键特征（如指数函数过点、对数函数过点、二次函数的顶点）； 2.对于含参数的两个函数交点个数问题，可通过“动态画图”分析参数变化对函数图像的影响（如直线的斜率变化、抛物线的顶点变化），进而分类讨论交点个数。 四、易错规避 1.画图时忽略函数的定义域，导致多算定义域外的交点； 2.未分析函数的单调性、极值，仅凭直观画图判断交点个数，导致错误； 3.对于含参数的问题，未分类讨论参数的不同取值对交点个数的影响，导致漏解. 题型10：数形结合比较零点的大小关系 一、核心逻辑 此类问题核心是“数形结合”，通过画出函数的图像，确定零点的大致位置，再结合函数的单调性、奇偶性等性质，比较零点的大小关系，本质是函数图像与零点位置的对应关系应用。 二、解题步骤 1.1.确定函数解析式：明确需要比较零点的函数的解析式（若为两个函数的交点，需明确两个函数的解析式）. 2.2.画出函数图像：结合函数的单调性、极值、最值、特殊点（如与坐标轴的交点），画出函数的大致图像，确定零点的个数及每个零点的大致区间（如，，其中）. 3.3.利用函数性质细化零点位置： （1）单调性：若函数在区间上单调递增，且，，则零点，且可通过比较的符号进一步缩小区间； （2）奇偶性：若函数为奇函数，零点关于原点对称（是零点，则也是零点），可通过正半轴零点位置判断负半轴零点位置. 4.4.比较零点大小：根据零点所在的区间范围，直接比较大小（如，，则）；若零点在同一区间，可构造新函数或利用函数单调性进一步比较. 三、名师点睛 1.画图时重点关注函数的“变号点”（即函数值由正变负或由负变正的点），变号点所在的区间即为零点所在区间； 2.对于无法直接画图的复杂函数，可通过求导分析单调性和极值，确定函数图像的大致趋势，进而判断零点位置. 四、易错规避 1.函数图像画得不准确，导致零点所在区间判断错误； 2.未利用函数的单调性、极值等性质细化零点位置，导致无法比较同一区间内的零点大小； 3.忽略函数的定义域，将定义域外的点误当作零点进行比较. 题型11：二次函数+指数函数+对数函数模型的应用 一、核心逻辑 此类问题是函数零点的实际应用，核心是“建立函数模型-转化为零点问题-求解参数/实际意义”，即先根据实际问题的数量关系，建立二次函数、指数函数、对数函数或其复合函数的模型，再将实际问题中的“最值”“达标”等条件转化为函数的零点问题，进而求解. 二、解题步骤 1.1.审题建模： （1）明确实际问题中的自变量、因变量（如“时间t”为自变量，“产量/利润/浓度”为因变量）； （2）根据题目给出的数量关系，建立函数模型（如利润问题常用二次函数，增长/衰减问题常用指数函数，对数刻度问题常用对数函数）； （3）确定函数的定义域（结合实际问题的意义，如时间t≥0，产量≥0）. 2.2.转化为零点问题：将实际问题中的目标条件（如“利润为0时的产量”“浓度达标时的时间”）转化为函数的零点问题（即求解的根）. 3.3.求解零点：根据函数模型的类型（二次、指数、对数），选择对应的求解方法（如二次函数用求根公式，指数/对数函数用换元法或对数运算性质）. 4.4.检验实际意义：将求出的零点代入实际问题中，检验是否符合题意（如时间不能为负，产量不能超过最大产能），排除不合理解。 5.5.回答实际问题：根据检验后的零点，给出实际问题的答案（如“利润为0时的产量为200件”）. 三、名师点睛 1.建立函数模型时，务必注意变量的实际意义，确保定义域符合要求（这是实际应用问题的关键，也是容易出错的地方）； 2.对于指数、对数函数模型的零点问题，常通过取对数、换元等手段转化为二次函数或一次函数的零点问题，简化求解. 四、易错规避 1.建立函数模型时，数量关系分析错误（如利润=收入-成本，误写成利润=收入+成本），导致函数解析式列错； 2.忽略函数的实际定义域，求出的零点不符合实际意义（如时间为负）； 3.求解指数、对数函数模型的零点时，对数运算性质使用错误（如误写成）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的零点存在定理及求参数】 （24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（    ）小试牛刀1 A．0 B．1 C．2 D．3 （23-24高一下·海南海口·期末）已知函数．小试牛刀2 (1)根据定义判断的奇偶性和单调性； (2)求函数的零点个数； (3)设为的一个零点，证明：． （25-26高一上·全国·期末）已知函数，．小试牛刀3 (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【题型2：用二分法求方程的近似解】 （25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 .小试牛刀2 【多选题】（23-24高一上·浙江宁波·月考）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：小试牛刀3 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【题型3：二次函数的零点分布问题】 （25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 .小试牛刀1 （24-25高一上·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是 ．小试牛刀2 （24-25高一上·上海虹口·期末）已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为 .小试牛刀3 【题型4：指对幂函数+二次函数零点分布问题】 （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是 .经典例题例题 （24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 .小试牛刀1 （24-25高二下·安徽六安·期末）已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·贵州遵义·期末）已知函数为定义在上的奇函数.小试牛刀3 (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)记，若，使得成立，求实数的取值范围． 【题型5：根据函数的零点个数求参数+换元型的“二次函数”】 （24-25高一上·湖北·期末）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是 .经典例题例题 【多选题】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·辽宁·期末）已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：换元型之“嵌套函数”零点问题】 （2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ）经典例题例题 A．6 B．7 C．10 D．11 【多选题】（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数 ，，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ．小试牛刀3 【题型7：由函数的零点求解析式中的参数+函数奇偶性背景下的零点求参数】 （24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 （2025·云南昆明·模拟预测）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数 ．小试牛刀2 （25-26高三上·贵州·月考）若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（   ）小试牛刀3 A． B． C．3 D． 【题型8：函数的奇偶性对称性周期性背景下的零点问题】 【多选题】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时， ，则下列说法中正确的有（    ）经典例题例题 A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 【多选题】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 【多选题】（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（   ）．小试牛刀2 A． B．在上单调递增 C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 【多选题】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．当时， D．方程恰有10个解 【题型9：求已知函数的零点个数+两个函数交点个数问题】 （24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 .经典例题例题 （24-25高二下·湖南·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ）小试牛刀1 A．0 B．2 C．4 D．6 （2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 （24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ）小试牛刀3 A．5 B．6 C．7 D．8 【题型10：数形结合比较零点的大小关系】 （24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列）经典例题例题 （24-25高一上·四川广元·期末）【多选题】若函数的零点为，函数的零点为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型11：二次函数+指数函数+对数函数模型的应用】 （25-26高一上·安徽·期末）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.经典例题例题 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ （25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：小试牛刀1 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） （24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为．小试牛刀2 (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． （24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表：小试牛刀3 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 1 学科网（北京）股份有限公司 $