精品解析：吉林省长春市九台区九台31中、九台3中、九台行知等2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 7. 某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ） A. 的长度 B. 六边形的周长 C. 六边形的面积 D. 8. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 抛物线的对称轴是__________. 10. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 11. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 12. 如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______． 13. 如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________． 14. 在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 三、解答题（本大题共78分） 15. 解方程：． 16. 某校在大课间有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．请用画树状图的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 17. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连接，使得； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使得； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使得． 19. 知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 20. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 21. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 22. 【探究1】利用尺规作图，可以把线段三等分． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线．（如图2）②在射线上依次截取线段、、使，连接．③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 请写出此时所依据的基本事实是________________； 【探究2】已知：如图3，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法：①作边的垂直平分线交于点M．②连接交于N．则点N为所求的点．请利用无刻度直尺和圆规按照“探究二”的作法，在图3中作出点N，并证明． 【应用】已知，如图4，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标______． 23. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负．据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即 ． 选项 A．，B．，C．，均不满足； 选项D． ，满足． 故选D． 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、 不是同类二次根式，无法计算，本选项错误； B、 ，本选项错误； C、 ，本选项错误， D、 本选项正确； 故选：D． 4. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 5. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 7. 某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ） A. 的长度 B. 六边形的周长 C. 六边形的面积 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴， 连接， ∴ 依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D 8. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算，作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出点是的中点，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，作轴于，则， ， 交双曲线于点， ， ， ， 点为的中点， ， 点是的中点， ， 函数的图象经过点，且轴，函数图象在第一象限， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 抛物线的对称轴是__________. 【答案】直线或轴 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．根据二次函数的性质确定对称轴即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴． 10. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 11. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，，，． ∴， 在中，，是斜边上的中线， ． 12. 如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴，则与的位似比是． ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 13. 如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 设正方形边长为，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：如图，设正方体的棱长为，与交于点P， 为的高， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14. 在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，用求根公式计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 16. 某校在大课间有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．请用画树状图的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示： 由上可得，所有机会均等的结果有16种，其中小明和小聪随机选到同一种体育活动的结果有4种， ∴小明和小聪随机选到同一种体育活动的概率为． 17. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中，， ． （2）5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连接，使得； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使得； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使得． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图①所示，则， 此时． 【小问2详解】 解：如图②所示， ，． ． 【小问3详解】 解：如图③所示， ，， ． ． 19. 知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 【答案】（1）3.8m （2），能安全使用 【解析】 【分析】（1）根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可； （2）根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可． 【小问1详解】 解：∵，当时，取最大值， 在中，， （米， 梯子顶端与地面的距离的最大值为3.8米； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ∵， 人能安全使用这架梯子． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． 20. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 21. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 22. 【探究1】利用尺规作图，可以把线段三等分． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线．（如图2）②在射线上依次截取线段、、使，连接．③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 请写出此时所依据的基本事实是________________； 【探究2】已知：如图3，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法：①作边的垂直平分线交于点M．②连接交于N．则点N为所求的点．请利用无刻度直尺和圆规按照“探究二”的作法，在图3中作出点N，并证明． 【应用】已知，如图4，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标______． 【答案】[探究1]：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；或平行线分线段成比例； [探究2]：如图3.1，点N即为所求； 证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； [应用]：或 【解析】 【分析】[探究1]：通过平行线截线段成比例定理得出所求线段的长度比即可解决； [探究2]：先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； [应用]：过点A作轴，过点B作于点D，分别过点，作，于点E，F，得出，根据相似三角形性质求出，，，，从而求解点的坐标． 【详解】[探究1]： 解：∵，且， ∴， ∴， ∴此时所依据的基本事实是：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，或“平行线分线段成比例”； 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；或平行线分线段成比例； [探究2]：略 [应用]： 解：设线段的三等分如图4，分别为，， 过点A作轴，过点B作于点D， 分别过点，作，于点E，F， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴，， ∴，，，， ∴，即； ∴，即； 综上所述，线段的三等分点C的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 23. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 【答案】（1）6 （2）证明：如图①，连接DF，CE交于点O， ∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）连接，交于点O，根据矩形性质得点O为的中点，从而得到为的中位线，最后根据中位线的性质即可得平行； （3）分两种情况：当时，为边的高，利用D为的中点求出，根据矩形性质，再利用三角函数求即可；当时，为边的中线，剩余步骤相同； （4）分两种情况：当点E在上时，连，设，根据正方形性质和D为的中点可推，，在中利用三角函数求即可；当点E在上时，根据正方形性质和D为的中点可推，由（2）可知边的高为，代入即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，如图②， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴在中，； 当时，如图③， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴在中，， 综上，的长为或； 【小问4详解】 解：当点E在上时，如图④，连，设， ∵矩形是正方形， ∴，，， ∴在中，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， 解得； 当点E在上时，如图⑤， ∵矩形是正方形， ∴，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为边的高， 由（2）可知边的高为， ∴， ∴在中，； ∴的长为或． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形、矩形的性质、三角形中位线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算等知识，解题的关键是正确做图结合分类讨论思想运用各知识点． 24. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； 【小问3详解】 解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； 【小问4详解】 解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $