专题四 平面向量 课件-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量”专题，依据高考评价体系梳理了基本运算、基本定理、综合应用三大核心考查方向，通过分析近五年命题规律明确中低档题定位及5分选择填空题型，归纳线性运算、数量积、基底表示等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养提升”的备考策略，如例1利用极化恒等式快速转化数量积，例2通过等和线定理解决基底表示问题，培养学生数学思维与运算能力。特设规律方法总结与跟踪演练，助力学生掌握坐标法、基底法等解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

专题四　平面向量 命题热度： 本专题讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值为5分. 考查方向： 一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算，研究最值问题或平面图形的几何性质等. 考点一　平面向量的基本运算 　(1)(多选)向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6，下列说法正确的是 A.a·b= B.a与b的夹角θ为60° C.a在b上的投影向量的模为1 D.|a-b|= 例1 √ √ √ ∵|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6， ∴(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2a·b=4+2a·b=6，∴a·b=1，故A错误； a·b=|a||b|cos θ=2cos θ=1， ∴cos θ=. ∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°，故B正确； ∵a在b上的投影向量为·b=b， ∴a在b上的投影向量的模为1，故C正确； ∵|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4-2×1+1=3，∴|a-b|=，故D正确. 解析 (2)如图，在四边形ABCD中，||=4，·=12，E为AC的中点.= 2，则·的值为 A.0 B.12 C.2 D.6 √ 方法一　(基底法) 在△ABC中，由余弦定理得 AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC， ∴42=BA2+BC2-2·=BA2+BC2-2×12， ∴BA2+BC2=40. 又∵·=(-)·(-) =· =· 解析 =· =--+· =-+)+· =-×40+×12=0. 方法二　(极化恒等式) ∵||=4，E为AC的中点， ∴||=||=2， 解析 根据极化恒等式可得·=||2-||2=||2-4=12， ∴||=4， ∴||=||=2， ∴·=·=||2-||2=4-4=0. 解析 1.求非零向量a，b数量积的三种方法 (1)定义法：a·b=|a||b|cos〈a，b〉. (2)坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2；②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表示出向量的坐标，进而利用坐标运算求解. (3)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解. 2.含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化. 极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 规律方法 跟踪演练1　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于 A.1或 B.-2或 C.-1或2 D.-2或1 √ ta+b=(t+2，-t+1)，-2a+tb=(-2+2t，2+t)， ∵(ta+b)⊥(-2a+tb)， ∴(ta+b)·(-2a+tb)=0， 即(t+2)(-2+2t)+(-t+1)(2+t)=(t+2)(t-1)=0，∴t=-2或t=1. 解析 (2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为 A. B. C. D. √ 因为e1=(1，0)，e2=(1，)， 所以a=4e1+e2=(4，0)+(1，)=(5，)， b=3e1-e2=(3，0)-(1，)=(2，-)， 所以a·b=5×2+×(-)=7， |a|==2， |b|==， 解析 设a与b的夹角为θ， 则cos θ===，又θ∈[0，π]， 所以θ=，即a与b的夹角为. 解析 考点二　平面向量基本定理 　(1)(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知=，=，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于  A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 例2 √ 设=λ，λ∈(0，1)，则 =+=+λ=+λ(+)=a+λ=a+λb， 又b=3，a=-=-3， 所以=-3)+3λ=+， 因为F，O，C三点共线，所以1-+-3=1， 解得λ=，所以=a+λb=a+b. 解析 (2)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，=3，=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)，则x等于 A. B. C. D. √ 方法一　(基底法) ∵=3，=3， ∴EF∥AC且EF=AC， ∴==-+， ∵E，M，F三点共线， 设=t(0≤t≤1)， ∴=++=++t 解析 =+-t+t =+， 又∵=+x， ∴+t=，∴t=， ∴x=1-t=1-=. 解析 方法二　(等和线)  由图可知，直线AC是以{，}为基底，值为1的等和线， 设DM与AC交于点N，+x=k， 又∵AC∥EF，则=， 根据等和线定理可得k=， ∴+x=，解得x=. 解析 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 2.平面向量等和线定理 平面内一个基底{，}及任一向量，且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k== =，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. 规律方法 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)； (4)当等和线过O点时，k=0； (5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； (6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比. 规律方法 跟踪演练2　(1)(2025·大庆模拟)如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，点D是BC的中点，点E在AD上，且DE=2AE.若·=-，则AC等于  A.6 B.8 C.2 D.6 √ 由∠BAC=90°，得·=0， 由点D是BC的中点，=2， 得==×+)=+，=-=-， 则·=-5)·+)=-4·-5) =(||2-5×62)=-，解得||=8，即AC=8. 解析 (2)(多选)(2025·长沙模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b2+2c2=5a2，=，=，BE交CF于点M，AM交BC于点D，则 A.cos∠BAC≥ B.= C.AD=a D.若△ABC的面积为18，BE=3，则CM=8 √ √ √ cos∠BAC==≥， 当且仅当b=c时取等号，选项A正确； 设=λ，由=，=，得===， 则=+=+-)=+=+， 可得=λ=+， 由B，D，C三点共线可得+=1，λ=2， 即=+，D是边BC的中点，选项B错误； 解析 因为D是边 BC的中点，则==(2b2+2c2-a2)=a2，即 AD=a，选项C正确； 因为·=(-)·(-)=· =bccos∠BAC-(b2+c2) =(b2+c2-a2)-(b2+c2)=-·a2=0，则BE⊥CF， 由=，=， 解析 可知 EF∥BC，S△AEF=S△ABC， 则S梯形BCEF=S△ABC=16， 且 S梯形BCEF=BE·CF=×3×CM，则CM=8，选项D正确. 解析 考点三　平面向量的最值与范围问题 　(1)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则·的取值范围是  A. B. C. D. 例3 √ 方法一　(坐标法) 如图建立平面直角坐标系，则A， B， 又圆O的半径为r=， 设P， ∵点P在(包括端点)上，∴θ∈， 解析 ∴=，=(1，0)， ∴·=cos θ+，∵θ∈， ∴cos θ∈，cos θ+∈， ∴·的取值范围是. 解析 方法二　(投影法) 当P在劣弧BC的中点时，向量在向量上投影向量的模最大，为， 由数量积的几何意义知 (·)max=×1=， 当P在B或C处时，向量在向量上投影向量的模最小，为1，∴(·)min=1×1=1， ∴·的取值范围是. 解析 (2)(2025·安庆模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c与向量 b-c的夹角为，则|a-c|的最大值为 A. B.2 C. D.4 √ 由a·b=|a||b|cos〈a，b〉=4cos〈a，b〉=2，故cos〈a，b〉=， 即〈a，b〉=， 如图，设=a，=b，=c，则 △OAB是等边三角形， ∵向量c满足a-c与 b-c的夹角为，∴∠ACB=， ∵点C在AB外且∠ACB为定值， ∴C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是弦AB所对的圆周角，∴当AC是AB所在圆的直径时，|a-c|取得最大值2R(R为△ABC外接圆的半径)， 解析 在△ABC中，由正弦定理可得2R===4， 故|a-c|的最大值为4. 解析 向量数量积的最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. 规律方法 跟踪演练3　(1)在平行四边形ABCD中，+=，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是 A. B. C. D. √ 设与同方向的单位向量=e1，与同方向的单位向量=e2，与同方向的单位向量=e3， 由题意，e1+3e2=λe3，所以(e1+3e2)2=λ2， 即+6e1·e2+9=λ2， 所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2， 所以cos∠BAD=， 解析 因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]， 所以∈， 即cos∠BAD的取值范围是. 解析 (2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为 4，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且=λ+ μ，则λ+μ的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 方法一　(坐标法) 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)， 点P在圆(x-2)2+(y-2)2=32上， 设点P(2+4cos θ，2+4sin θ)， 则=(2+4cos θ，2+4sin θ)，=(4，0)， =(0，4)，因为=λ+μ， 所以(2+4cos θ，2+4sin θ)=λ(4，0)+μ(0，4)=(4λ，4μ)， 所以4λ=2+4cos θ，4μ=2+4sin θ， 所以λ+μ=sin θ+cos θ+1=2sin+1≤3，即 λ+μ的最大值为3. 解析 方法二　(等和线法) 因为=+， 则直线BD是以{，}为基底，值为1的等和线，如图，作BD的平行线与圆O相切于点P，由等和线定理可知，此时λ+μ取得最大值，最大值为==3. 解析 $