板块五 习题讲评（四）概率中的综合问题-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦概率与函数、数列的综合问题，依据高考评价体系梳理了条件概率、随机变量期望、导数求最值、递推数列等核心考点，通过典例分析明确概率综合题在高考中的高频考查方向，归纳出函数建模、数列递推等常考题型，体现备考的针对性。 课件亮点在于真题引领与思维建模结合，以2025年全国Ⅱ卷典例为载体，深入解析概率与函数的导数极值求解、概率与数列的递推关系推导，培养学生的数学思维和数学语言素养。特设即时训练与易错点分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

概率中的综合问题 习题讲评（四） 1 2 教学点(一)　概率与函数的综合问题 教学点(二)　概率与数列的综合问题 CONTENTS 目录 概率与函数的综合问题 教学点（一） 3 [典例]　M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； 解：记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下， 仍未进入决赛的概率P（B|A）====. 4 （2）M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次中奖的概率均为p，且每次是否中奖相互独立. ①记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f（p），求f（p）的极大值； ②M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元，试求此时p的取值范围. 5 解：①由题意知，f（p）=p（1-p）2=3p3-6p2+3p，0<p<， 则f'（p）=9p2-12p+3=3（3p-1）（p-1）， 令f'（p）=0，得p=或p=1（舍去）. 当p∈时，f'（p）>0，当p∈时，f'（p）<0， 所以f（p）在内单调递增，在内单调递减， 所以当p=时，f（p）有极大值，且极大值为f=. 6 ②设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y， 则Y的可能取值为60，120，180，360， 则P（Y=60）=（1-p）3，P（Y=120）=p（1-p）2， P（Y=180）=p2（1-p），P（Y=360）=p3， 所以E（Y）=60（1-p）3+120p（1-p）2+180p2（1-p）+360p3 =60（2p3+3p+1），令9E（Y）≥1 120， 即540（2p3+3p+1）≥1 120，整理得2p3+3p-≥0， 7 因为2p3+3p-=2++ =，易知2p2+p+=2+>0， 所以p-≥0，即p≥.又0<p<，所以p的取值范围为. （关键点拨：本题解题的关键是求出f（p）=p（1-p）2=3p3-6p2+3p，0<p<，利用导数求极值） 8 |思|维|建|模|　利用函数、导数求最值的注意点 （1）根据题意选取恰当的变量构造目标函数； （2）注意变量自身的隐含条件对变量范围的限制； （3）根据目标函数的特点确定求其最值的方法. 9 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出m（2≤m≤19）件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品. （1）若m=2，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； 即时训练 解：设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A， 则P（A）===. 10 （2）若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； 解：设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B， 则P（B）===. 令>0.5，得39m-m2>190，当2≤m≤19时，y=39m-m2单调递增. 又当m=5时，39×5-52=170<190，当m=6时，39×6-62=198>190， 所以m的最小值为6. 11 （3）已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值? 解：每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X， 依题意，X服从超几何分布，则E（X）==.设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元，则Y=2m2+150（2-X）=2m2+300-150X， 所以E（Y）=2m2+300-150E（X）=2m2-15m+300.函数y=2m2-15m+300的图象的对称轴方程为m==3.75，要使E（Y）的值最小，应取m=4. 12 概率与数列的综合问题 教学点（二） 13 [典例]　（2025·全国Ⅱ卷）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. （1）求p3 ，p4（用p表示）； 解：打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分， 所以p3=p3.打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲胜3个球得 3分，甲全胜得4分，所以p4=（1-p）1p3+（1-p）0p4 =p3（4-3p）. 14 （2）若=4，求p； 解：易得q3=q3，q4=q3（4-3q），（q3，q4的求解方法与p3，p4一致，将p3，p4表达式中的p对应改为q即可） 由=4，得=====4， 得p=2q=2（1-p），所以p=. 15 （3）证明：对任意正整数m，p2m+1- q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 解：证明：由<p<1，p+q=1，知0<q<，所以q<p.打完2m个球后甲比乙至少多得2分，甲、乙得分的情况包括：甲得m+1分，乙得m-1分；甲得m+2分，乙得m-2分；…；甲得2m分，乙得0分. 所以p2m=pm+1qm-1+pm+2qm-2+…+p2mq0. 打完2m+1个球后甲比乙至少多得2分包含两种情况：打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，此时需第2m+1个球甲胜；打完2m个球后， 甲比乙至少多得4分，此时第2m+1个球甲、乙无论谁胜都满足题意. 16 所以p2m+1=ppm+1qm-1+（p2m-pm+1qm-1）×1=p2m-pm+1qm. （先将待证不等式变形，可得需证明的是q2m-q2m+1<p2m-p2m+1与q2m+2-q2m<p2m+2-p2m，均与p2m相关，故根据“递推”理论， 用p2m表示出p2m+1与p2m+2.理论上，可以根据求p2m的思路求出p2m+1， 但所得代数式较复杂，运算量大，极易出错） 所以p2m-p2m+1=pm+1qm，同理可得q2m-q2m+1=qm+1pm， 所以（p2m-p2m+1） - （q2m-q2m+1）=pm+1·qm-qm+1pm =qmpm（p-q）>0，则p2m-p2m+1>q2m-q2m+1，即p2m-q2m>p2m+1-q2m+1. 17 打完2m+2个球后甲比乙至少多得2分包含三种情况： 打完2m个球后，甲、乙同分，此时需第2m+1，2m+2个球均甲胜； 打完2m个球后，甲比乙多得2分，此时需第2m+1，2m+2个球均甲胜或一胜一负；打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，此时第2m+1，2m+2个球甲、乙无论谁胜都满足题意. 所以p2m+2=p2pmqm+pm+1qm-1（p2+2pq）+（p2m-pm+1qm-1）×1=p2m+p2pmqm+pm+1qm-1（p2+2pq-1）= p2m+pmqm（p2-pq）. 18 所以p2m+2-p2m=pmqm（p2-pq）， 同理可得q2m+2-q2m=pmqm（q2-pq）， 所以（p2m+2-p2m）-（q2m+2-q2m）=pmqm（p2-q2）>0， 所以p2m+2-p2m>q2m+2-q2m，即p2m+2-q2m+2>p2m-q2m. 综上，p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 19 |思|维|建|模|　概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现an=+m时，构造等差数列； （2）当出现an=x+y时，构造等比数列； （3）当出现an=+f（n）时，用累加法求解； （4）当出现=f（n）时，用累乘法求解. 20 即时训练 即时训练 体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下： ①第一局甲挑战丙. ②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战. 已知每一局甲挑战成功的概率为，乙挑战成功的概率为，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立. （1）求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率； 21 解：每一局，设甲、乙挑战成功分别为事件A和事件B，前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次为事件C，则P（A）=，P（）=，P（B）=， P（）=，C=（AB）∪（BA）.因为每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立，所以P（C）=P[（AB）∪（BA）]=P（AB）+ P（BA）=P（A）P（）P（B）·P（）+P（）P（B）P（）P（A）=2P（A）P（）P（B）P（）=2××××=，所以前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率为. 22 （2）求第n（n∈N*）局比赛是甲挑战丙的概率pn，并判断当比赛局数n足够大时，pn的值是否趋近于一个常数?若是，求出该常数；若不是，请说明理由. 解：第一步：根据题意求p1及pn，pn-1（n≥2）之间的递推关系 由题意可知p1=1且pn=pn-1+（1-pn-1）（n≥2），即pn=-pn-1+（n≥2）， 第二步：证明是等比数列 从而有pn-=-（n≥2）.又p1-=≠0， 所以是以为首项，-为公比的等比数列. 23 第三步：利用等比数列的知识求pn，并利用极限思想求解 所以pn-=·，即pn=+·，n∈N*. 当n足够大时，·→0，故pn→. 所以当比赛局数n足够大时，pn的值趋近于一个常数，该常数是. 24 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $