精品解析：甘肃省武威市凉州区第二十中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级数学期末素养评价 一、单选题（共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D的图形都符合轴对称图形的定义，故不符合题意； C的图形不符合轴对称图形的定义，故符合题意； 故选：C． 2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A. 2cm，3cm，4cm B. 3cm，3cm，7cm C. 2cm，5cm，9cm D. 8cm，4cm，4cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系“在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、由于，则能组成三角形，本选项符合题意； B、由于，则不能组成三角形，本选项不符合题意； C、由于，则不能组成三角形，本选项不符合题意； D、由于，不大于8，则不能组成三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及等底等高的三角形面积相等，关键是熟练应用三角形中线的性质． 由中线平分三角形的面积可计算出答案． 【详解】解：由中线性质可得：， ， ， ． 故选：B． 4. 如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 先利用角平分线的性质确定，再通过线段长度计算，进而得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，（），， ∴， 故选：A． 5. 如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A. ④⑤ B. ①② C. ③⑤ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 6. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，则． 【详解】解：∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 7. 若，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 选项A错误，因平方差公式应为；选项C和D不符合因式分解的形式，因式分解结果不应包含加号；选项B正确，符合完全平方公式． 【详解】解：，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误； 故选：B． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 10. 《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解“提前”即原计划时间多于实际时间． 原计划每日行，实际每日行，原计划时间比实际时间多1日，据此列方程． 【详解】解：设原计划每日行x km，则原计划所需时间为日，实际所需时间为日． ∵实际比原计划提前1日到达， ∴， 故选B． 二、填空题（共24分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】14或16 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题方法是需分情况讨论腰长和底边长，再依据三角形三边的关系验证能否构成三角形． 分两种情况讨论：当腰长为4时和当腰长为6时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求周长即可． 【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6， ， 能构成三角形，周长为； 当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4， ∵， 能构成三角形，周长为． 故答案为：14或16． 12. 若实数x满足，则代数式的值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得，把所求式子可变形为，代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 13. 已知在中，，是边上的高，，则_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键． ①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：， ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴，     ∵， ∴． 故答案为：或． 14. 如图，，若，则__________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，由角平分线的定义及平行线的性质可得，，即得，再根据直角三角形的性质可得，进而根据的周长即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ， ∵， ， ∴，， ， 平分， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：． 16. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 先通过分母变形化简分式方程，再求解得到x关于m的表达式，根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围 【详解】解：原方程可化为， 即， 两边同乘得， 整理得， 解得： 可知且， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴， ∵分子为负， ∴分母，即； 由得，解得， 综上且． 故答案为：且． 17. 已知非零实数满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是找到相应的公式进行转换．由已知条件和，得出，用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵由， ∴， ∴， ∵， ∵， 代入得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ， 当时 ∴ 故答案为： 18. 如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或##12或6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 三、解答题（共66分） 19. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验：是原方程的解． 【小问2详解】 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 20. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． （2）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除和代数式，先计算小括号和除法，再计算中括号，化简后，代入即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 22. 如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． （1）求证：； （2）若，求和的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理； （1）根据题意利用角边角判定定理，证明即可； （2）若，再证明，即可计算的度数 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 23. 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时， 过点C作于点E． 此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D， （1）求证： ； （2）若， 求 的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂直的定义，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直的定义，角的和差关系即可求解； （2）根据题意得到，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴． 24. 习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． （1）求原计划每天铺设路面多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】（1）原计划每天铺设路面80米 （2）完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； 【小问2详解】 由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 25. 我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解题的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式化简，代入求解即可． 【小问1详解】 解：为“十字分式方程”， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 “十字分式方程”的两个解分别为，， ，， ． 26. 如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ． （2） 如图所示： （3）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于， ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． 【小问3详解】 在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 27. 第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①； ②； （3）这个三角形为等边三角形．理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴且 ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）①②利用分组分解法进行因式分解即可． （3）将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）① ； 故答案为： ② ； 故答案为： （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学期末素养评价 一、单选题（共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A. 2cm，3cm，4cm B. 3cm，3cm，7cm C. 2cm，5cm，9cm D. 8cm，4cm，4cm 3. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4. 如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A. ④⑤ B. ①② C. ③⑤ D. ①②③ 6. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 7. 若，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为______． 12. 若实数x满足，则代数式的值为___________． 13. 已知在中，，是边上的高，，则_______． 14. 如图，，若，则__________． 15. 如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是______． 16. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 17. 已知非零实数满足，，则________． 18. 如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 三、解答题（共66分） 19. 解下列分式方程： （1）； （2）． 20. （1）计算：； （2）因式分解：． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． （1）求证：； （2）若，求和的大小． 23. 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时， 过点C作于点E． 此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D， （1）求证： ； （2）若， 求 的长． 24. 习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． （1）求原计划每天铺设路面多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 25. 我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 26. 如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若四边形的面积为12，，求的长． 27. 第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $