精品解析：福建厦门市集美区上塘中学2025-2026学年下学期七年级数学期中考试

上塘中学2025-2026学年（下）期中测试 七年级数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列各数中，最小的数为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点为点，则平移的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 7. 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和15头小牛，这时1天约用饲料．设1头大牛和1头小牛1天各用饲料和，可列方程组．若对该方程组进行变形，下列变形中可直接得到“18头大牛1天的饲料用量”的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 9. 因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法错误的是（ ） A. 当，点是线段的中点 B. 无论取何值，都为定值 C. 存在唯一一个的值，使得 D. 存在唯一一个的值，使得 二、填空题（本大题有6小题，第11题8分，其余每小题4分，共28分） 11. （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 12. 比较大小：3_________．（填“ < ”“ > ”或“=”） 13. 杨经理从即将出库的4000件服装中抽检200件，其中不合格的服装有5件，则该次抽样调查的样本容量是______． 14. 如图，，一副三角尺按如图所示放置，，则的度数为______°． 15. 如表1的每对x，y的值都是二元一次方程的解，表2的每对x，y的值都是二元一次方程的解，则方程组的解为_____． 表1 x 0 1 y 0 表2 x 0 1 y 1 16. 1925年，数学家莫伦发现了第一个完美长方形，它恰好能被分为10个大小不同的正方形，如图所示．将编号为1—10的正方形的边长分别记为，，，…，．若，则______． 三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组： 18. 如图，，平分，平分，求证：． 19. 如图，A（﹣2，1）、B（﹣3，﹣2）、C（1，﹣2），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1． （2）写出平移后三个点的坐标A1　 　，B1　 　，C1　 　． （3）若点P在直线BC上运动，当线段A1P长度最小时，则点P的坐标为 　 　． 20. 某校七年级收到社区捐款共计9000元，准备将这些捐款全部用于购买记号笔和盲盒作为纪念品分发给学生．已知买3支记号笔和2个盲盒需花费29元，买6支记号笔和1个盲盒需花费28元．若该年级共有600个学生，每个学生都希望分到2支记号笔和1个盲盒，请通过计算分析该希望能够实现吗？ 21. 如图，点E在四边形的边上，过点E作交于点F，若边上存在一点G，使得． （1）求证：； 证明：∵， ∴（ ）， ∵， ∴． ∴（ ）． （2）画图：过点F画出的垂线，垂足为H．当时，求的度数． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 23. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． （1）已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ （2）在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为？ （3）使用“调日法”估计大小的近似分数是否更为精确？请说明理由． 24. 如图1，，直线与，分别交于点，．直角三角形的顶点，分别在直线，上，． （1） ； （2）如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点作交于点，连接，补全图形．比较线段，的长度，并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． （1）若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） （2）若，求的值； （3）若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上塘中学2025-2026学年（下）期中测试 七年级数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列各数中，最小的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的大小比较，即可求解． 【详解】解：， ∴最小的数是． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据一个点的横坐标为负数，纵坐标为正数，进行判断该点位于第二象限，即可作答． 【详解】解：依题意，点的， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 3. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点为点，则平移的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后两个图形的对应点连线平行或在同一条直线上，对应点连接的线段长度相等，等于平移的距离，将三角形沿射线方向平移得到三角形，平移的距离是线段的长或线段的长，只有线段的长度符合题意． 【详解】解：将三角形沿射线方向平移得到三角形， 点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， 平移的距离是线段的长或线段的长． 故选：A． 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，由邻补角性质得，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：把代入， 得， ， ， ． 6. 对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．当时，满足条件，但不能得出的结论，即可判断答案． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 故能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是． 故选：A． 7. 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和15头小牛，这时1天约用饲料．设1头大牛和1头小牛1天各用饲料和，可列方程组．若对该方程组进行变形，下列变形中可直接得到“18头大牛1天的饲料用量”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法—加减消元法，等式的基本性质，解题的关键是观察方程组中未知数的系数，灵活运用消元技巧解决问题．解题思路是通过对方程组的变形，消去，直接求出18头大牛1天的饲料用量，对逐个验证即可求解． 【详解】解：原方程组为：，目标是通过变形得到“18头大牛1天的饲料用量”，即的表达式． 选项A：， 计算得：仍含，无法直接得到； 选项B：， 计算得：约分后为，仍含y项，无法直接得到； 选项C：， 计算得：直接得到，即18头大牛1天的饲料用量为，符合题意； 选项D：计算得：消去x，仅得到y的值，与无关， 综上，选项C的变形可直接得到的值， 故选C． 8. 如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义找出点到直线的垂线段即可． 【详解】解：，，两点在直线上， ， 线段是点到直线的垂线段， 点到直线的距离是线段的长． 9. 因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法错误的是（ ） A. 当，点是线段的中点 B. 无论取何值，都为定值 C. 存在唯一一个的值，使得 D. 存在唯一一个的值，使得 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点，，， 当，则，，， ∵，即点是线段的中点，故A选项正确； ∵点，，， ∴ ∴无论取何值，都为定值，故B选项正确； ∵轴，点的纵坐标为， ∴， ∵，， 当时， 则（无解）或 解得：，故C选项正确； 当时，则或 解得：或，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，第11题8分，其余每小题4分，共28分） 11. （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】 ①. ②. ③. ## ④. 【解析】 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）． 12. 比较大小：3_________．（填“ < ”“ > ”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，， ∵ ∴， 故答案为：． 13. 杨经理从即将出库的4000件服装中抽检200件，其中不合格的服装有5件，则该次抽样调查的样本容量是______． 【答案】200 【解析】 【分析】本题主要考查了样本容量，掌握样本容量是指一个样本中所包含的单位数且不含单位是解题关键． 直接利用样本容量的定义求解即可． 【详解】解：∵将出库的4000件服装中抽检200件， ∴此抽样样本中样本容量为：200． 故答案为：200． 14. 如图，，一副三角尺按如图所示放置，，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如表1的每对x，y的值都是二元一次方程的解，表2的每对x，y的值都是二元一次方程的解，则方程组的解为_____． 表1 x 0 1 y 0 表2 x 0 1 y 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的意义是解题的关键．根据二元一次方程的解的意义，即可解答． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 故答案为：． 16. 1925年，数学家莫伦发现了第一个完美长方形，它恰好能被分为10个大小不同的正方形，如图所示．将编号为1—10的正方形的边长分别记为，，，…，．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，整式的混合运算，一元一次方程与几何图形的计算，根据题意，设，结合图示得到，，，由此列式即可求解． 【详解】解：根据图示，设， ∴， ， ， ， ， 又， ， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 将，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，，平分，平分，求证：． 【答案】证明：平分，平分， ，， ∵， ， ， ∴． 【解析】 【分析】由、分别为角平分线，利用角平分线的定义得到，，由，利用两直线平行内错角相等得到，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】略 19. 如图，A（﹣2，1）、B（﹣3，﹣2）、C（1，﹣2），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1． （2）写出平移后三个点的坐标A1　 　，B1　 　，C1　 　． （3）若点P在直线BC上运动，当线段A1P长度最小时，则点P的坐标为 　 　． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1即为所作； （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）先利用点平移的坐标变换规律写出，，的坐标，然后描点即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）利用垂线段最短确定P点位置，从而得到P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，； 【小问3详解】 当时，线段A1P长度最小，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查了作图——平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 20. 某校七年级收到社区捐款共计9000元，准备将这些捐款全部用于购买记号笔和盲盒作为纪念品分发给学生．已知买3支记号笔和2个盲盒需花费29元，买6支记号笔和1个盲盒需花费28元．若该年级共有600个学生，每个学生都希望分到2支记号笔和1个盲盒，请通过计算分析该希望能够实现吗？ 【答案】该希望不能实现 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设记号笔的单价为x元，盲盒的单价为y元，根据“买3支记号笔和2个盲盒需花费29元，买6支记号笔和1个盲盒需花费28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，将其代入中，可求出所需总费用，再与9000元比较后，即可得出结论． 【详解】解：该希望不能实现，理由如下： 设记号笔的单价为x元，盲盒的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）， ∵9600＞9000， ∴该希望不能实现． 21. 如图，点E在四边形的边上，过点E作交于点F，若边上存在一点G，使得． （1）求证：； 证明：∵， ∴（ ）， ∵， ∴． ∴（ ）． （2）画图：过点F画出的垂线，垂足为H．当时，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2） 如图所示，垂线即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，则可证明得到； （2）先根据题意作图，再由垂线的定义得到，由平行线的性质可得，再由平角的定义可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】（1）2 （2） 解：点C是“完美点”；理由如下： ∵点的长距为4，且点B在第四象限内， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴点C的坐标为，即， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为， ∴点是“完美点”． 【解析】 【分析】（1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点B在第四象限内，，求出的值，再代入求出点C的坐标，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； 【小问2详解】 略 23. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． （1）已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ （2）在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为？ （3）使用“调日法”估计大小的近似分数是否更为精确？请说明理由． 【答案】（1）第一次使用“调日法”后的近似分数为，是的过剩近似值 （2）2次 （3）更为精确，理由如下： 设（，，，为正整数），调日法得到的近似分数为， ∵，且，为正整数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即调日法得到的近似分数在原不足近似值与过剩近似值之间，与的误差更小，因此更为精确． 【解析】 【分析】（1）利用题干的定义进行计算即可； （2）利用题干的定义多次计算即可； （3）容易判断，利用作差法比较大小可得，因此更为精确． 【小问1详解】 解：∵， ∴第一次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴是的过剩近似值； 【小问2详解】 解：∵， ∴第二次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴， ∴第三次使用“调日法”后的近似分数为， ∴再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； 【小问3详解】 略 24. 如图1，，直线与，分别交于点，．直角三角形的顶点，分别在直线，上，． （1） ； （2）如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点作交于点，连接，补全图形．比较线段，的长度，并说明理由． 【答案】（1） （2）①证明：如图中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：图形如图所示. 结论：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质来求解的度数即可． （2）①先在直角三角形求出，平行线得到，角平分线分出；再用平行线外角转化角度，变形得到结论． ②由平行线推出，是垂线段，是斜线段，根据垂线段最短，得到． 【小问1详解】 解：如图中，， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． （1）若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） （2）若，求的值； （3）若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由如下： 由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【小问1详解】 已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $