精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市碾子山区2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

碾子山区2025-2026学年度上学期期末质量测试 八年级数学试题 考生注意：1．考试时间2个小时，满分120分． 2．本套试卷共三道大题． 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 值不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的25倍 D. 缩小为原来的 5. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 6. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 钝角三角形中有两个锐角 8. 如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. “月壤”是月球表面的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值，数据“”用科学记数法表示为________． 12. 要使分式有意义，则的取值应满足____． 13. 已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为_____． 14. 若关于的分式方程无解，则的值是__________． 15. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算________． 16. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是_____． 17. 如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为______． 三、解答题（共69分） 18. （1）计算： （2）因式分解： 19. （1）解分式方程： （2）先化简，再求值：，其中 20. 如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）写出点关于x轴对称点的坐标________； （3）在y轴上画出点P，使周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）． 21. 如图，是的高线，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 22. 某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： （1）每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? （2）设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 23. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． （1）运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）试说明多项式的值总是一个正数； （3）当________，多项式有最小值，且最小值为________． 24. 综合与实践 在和中，，且三点共线，与交于点F． （1）①如图1，直接写出线段与线段的数量关系________； ②如图2，若点G是中点，且，连接，求证：； （2）若，在直线上取一点D，使得，连接，过A作，且，使得直线和交于F，则________． 25. 如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴上，且，点C是线段上的一点，以为边向下作等边． （1）如图2，当点D落在y轴上时，则_____， （2）如图3，连接，当平分时，猜想的度数，并说明理由； （3）点C在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点D也会随之滑动，通过图1探究点D的运动过程中，请直接写出点D运动路径的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 碾子山区2025-2026学年度上学期期末质量测试 八年级数学试题 考生注意：1．考试时间2个小时，满分120分． 2．本套试卷共三道大题． 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握两边之和大于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； B．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； C．∵，∴不能构成三角形； D．∵，∴能构成三角形． 故答案为：D． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括单项式乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和乘法，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，注意区分不同运算的规则，避免混淆． 【详解】解：A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 值不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的25倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 5. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 6. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，主要涉及平方差公式和完全平方公式，据此判断每个多项式是否能表示为公式形式，即可作答． 【详解】解：A、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B、，无法用公式法进行因式分解，故该选项符合题意； C、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； D、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 钝角三角形中有两个锐角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假判断．需要写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假． 逆命题是将原命题的条件和结论互换． 【详解】解：A选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵时，a可为2或， ∴ 逆命题为假命题． B选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵ 该条件符合（两边及其其中一边的对角），但不能保证三角形全等（如可能存在两个不全等的三角形满足条件）， ∴ 逆命题为假命题． C选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵ 立方运算具有唯一性，由 可以推出， ∴ 逆命题为真命题． D选项：原命题“钝角三角形中有两个锐角”的逆命题为“有两个锐角的三角形是钝角三角形”． ∵ 有两个锐角的三角形可能是锐角三角形或直角三角形，不一定是钝角三角形， ∴ 逆命题为假命题． 综上，逆命题是真命题的只有C选项． 故选：C． 8. 如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 9. 如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线及角平分线，三角形内角和等基本概念与定理，理解这些基本概念并灵活运用是关键；由三角形中线平分三角形的面积可判断①；利用同角的余角相等的性质可判断②；利用三角形内角和及角平分线的定义可判定③；利用面积相等求得的长，从而可判断④； 【详解】解：∵BE是中线， ∴， ∵I是BC的中点， ∴， ∴ ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵CF是的平分线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 故正确的有②③； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. “月壤”是月球表面的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值，数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据“”用科学记数法表示为． 故答案为： 12. 要使分式有意义，则的取值应满足____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件．根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为_____． 【答案】（带不带括号均给分） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．设另一个因式为，整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【详解】解：设另一个因式为 ，根据题意得： ； 所以， 解得， 所以另一个因式为； 故答案为：（带不带括号均给分）． 14. 若关于的分式方程无解，则的值是__________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得或，据此求出a． 【详解】解：， ， , ， ， ， ， 因为关于x的分式方程无解， 所以有或， 解得：或． 故答案为：或3． 15. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知， 是线段的垂直平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等判定，解题的关键是结合三角形全等的性质写出点的坐标． 根据题意画出图形，如图所示，分两种情况，结合三角形全等的判定和坐标与图形性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴，，，且在y轴上， ∴， 要在坐标轴上找一点C，使与全等，则点C在x轴上， 分两种情况： 当点C在x轴负半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 当点C在x轴正半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 综上，满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． 17. 如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，图形类规律变化问题，由三角形内角和定理及外角性质可得，，，进而可得，据此即可求解，找到角度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理得，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解等知识． （1）先利用单项式乘以多项式、积的乘方法则进行计算，再合并同类项即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 19. （1）解分式方程： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）无解 （2）； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，以及分式的化简求解，熟练掌握分式方程的求解流程并注意检验是解决本题的关键． （1）先将原分式方程化为分母相同的分式方程，再去分母转化为整式方程求解，并将所得结果代回验证，保证分母不为零即可； （2）先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1）， ， 解得：， 经检验是增根，原分式方程无解； 解：（2） ， 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）写出点关于x轴对称点的坐标________； （3）在y轴上画出点P，使周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3）如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据（1）所求可得点的坐标，再根据关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求；由轴对称的性质可得，则，故当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知点的坐标为， ∴点关于x轴对称点的坐标为； 【小问3详解】 略 21. 如图，是的高线，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）14 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： （1）每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? （2）设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】（1）A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； （2）该超市最多购进B型文具袋个； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； 【小问1详解】 解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； 【小问2详解】 解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 23. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． （1）运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）试说明多项式的值总是一个正数； （3）当________，多项式有最小值，且最小值为________． 【答案】（1） （2） ， 即多项式的值总是一个正数； （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，灵活运用配方法、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键． （1）先仿照例子进行即可解答； （2）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答； （3）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ∵，且当时，取得最小值，为0， ∴当，多项式有最小值，且最小值为． 故答案为：； 24. 综合与实践 在和中，，且三点共线，与交于点F． （1）①如图1，直接写出线段与线段的数量关系________； ②如图2，若点G是中点，且，连接，求证：； （2）若，在直线上取一点D，使得，连接，过A作，且，使得直线和交于F，则________． 【答案】（1）①； ②延长到H，使，连接，如图， ∵点G是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6或10或18或50 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，分类讨论的思想方法和类比的方法，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论的方法解答是解题的关键． （1）①证明即可得到结论；②延长到H，使，连接，证明，得到，，可证明，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）分点D在线段上和点D在的延长线上两种情况，每种情况又分在右侧和在左侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：分以下四种情况讨论： ①当点D在线段上，在的右侧时，如图， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当点D在线段上，在的左侧时，如图， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③当点D在的延长线上，在的右侧时，如图， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ④当点D在的延长线上，在的左侧时，如图， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上，或10或18或50． 故答案为：6或10或18或50． 25. 如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴上，且，点C是线段上的一点，以为边向下作等边． （1）如图2，当点D落在y轴上时，则_____， （2）如图3，连接，当平分时，猜想的度数，并说明理由； （3）点C在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点D也会随之滑动，通过图1探究点D的运动过程中，请直接写出点D运动路径的长度． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵等边， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）9 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得出的度数； （2）根据角平分线定理得出，再证明得到，由得出，利用三角形外角的性质得出结论； （3）在x轴上取点E，使，连接，证明，得到，进而推出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴， ∵，点D落在y轴上， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在x轴上取点E，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点C在滑动时，点D总在与x轴夹角为的直线上滑动， ∵，点C在y轴上从点A向点O滑动，， 当点C运动到终点O处时，，， 此时点D随之到达终点，， 即点D运动路径的长度为9． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义及勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $