难点专题09 2026年新高考数学挑战140冲刺985模拟卷（二）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2026年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考

数学为主 2026年新高考数学 挑战140冲刺985模拟卷（二） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合4=e2<a国，B=-x<0,若4n8=g,则a的取值范围是（) A.（-0,2 B.-∞，2e C.（-0,4 D.-,e2] 2.已知z∈C,且2-=l为虚数单位，则2-3-5的最大值是《) A.5 B.6 C.7 D.8 3.设aeR,则“a3=3”是“a3=3a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设2+5=3+3=5°+1 ,则x,y,z的大小关系不可能是() A.x>y>z B.y>z>x C.z>y>x D.z>x>y 5.已知 in(a+2B)=tan(a+B)1 tan邛4，则sina=() 数学为王 3 3 A.20 C.20 D.-20 ABCDEF-ABCD EF 6.已知正六棱柱 的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的 最大的球半径为”若4B=2,则当，最小时，该正六棱柱的体积为(） A.36 B.42 C.48 D.24 4-x2,x≤0 7.已知函数f刘= nx+2,x>0,若函数g(x=ff(x)-t恰有5个零点，则实数，的取值范围为 () A.(2,e2] B.(n2+2,4 c.(n2+2,2h2+2D.(2,4 C:y2 8.已知△155的顶点，B分别为双曲线C:。F=1(a>0,6>0) 的左、右焦点，点A在C的右支上， 且45与C的一条渐近线垂直，记C的离心率为e,若n2F4=3,则e2。, A.4+25 B.3+2V2 C.14-6W2 D.13-65 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9.已知等差数列a的前”项和为5，若56<54<5，则() A.数列a,是递减数列 B.当m=25时，5最大 S, S26 C.使得Sn<0成立的最小自然数n=52D.数列a了中的最小项为a6 10.已知函数及其导函数八四的定义域为R,若x+与均为偶函数，且-+0=2， 2 数学为住 则下列结论正确的是() A.f')=0 B.4是的一个周期 c.f(2024=0 D.八刊的图象关于点21对称 1.如图所示，正方体8CD-BC0的校长为2，点”为衡面00内的一个动点（合边乳），点 E,F, 分别是线段BC、CG、BB的中点，则下列结论正确的是() D B D G ⊙ A.直线AG/平面AEF 1 B.平面4EF截正方体所得的截面面积为 11 C.龙P护的最小值为4 D.若PF⊥BD,则点p的运动轨迹长度为2√2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向最万满足石上5,6-3，a-6-)=,向最万-与6-E的夹角为了，则：的最小 值是一 13.将五张标有1,2,3,4,5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的 卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和 谐序”)，现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为一· 2 3 5 3 数学为主 2an,n=2k-1 14.已知数列{a,满足0= (a,+ln=2kkeN' 且a,是a,a,的等差中项，Sn是数列an}的前n项和， 则5 S2n+1= 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分， 19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ABC sin2 A+sin2 B=2+cos 2C 15.已知 内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 (①证明：c0sa+c0sB=2cosa+Bcos-B 2 29 sin C (2)求sin4sinB的最值： ππ A∈ (3)若c=6, (6'4 求△ABC的面积S的取值范围. 6.如图，在三棱台4BC-DEF中，AB=BC=HC=2a,D=FCV2 -a 2,DF=a,N为线段DF上一 点，BN⊥AC, D ()求证：点N为线段DF的中点： 2若直线BN与直线4D所成角的正切值为5，BN>VBa,求证：平面ABCL平面4CD (3)设二面 D-AC-B的大小为“，直线E与平面1BC所成角的大小为B,求mP关于“的函数表达式 并求tan B的取值范围. 17.某学校食堂共有A,B,C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口， 4 数学为主 某人第次在，B,C窗口选餐分别记为事件AA,C已知P八4-=PB-子PC),若某次选择 111 A窗口，则下次选择A,B,C窗口的概率分别为32'6：若某次选择B窗口，则下次选择A,B,C窗口 111 111 的概率分别为632·若某次选择C窗口，则下次选择A,B,C窗口的概率分别为263· 1)判断事件G与事件C是否相互独立，并说明理由： ②没P4)=a,PB,=b,PC=c,证明：a+b, 3； 3)定义随机变量X,当选择4窗口时X,=1,否则X,=0,求数学期望(X,) C:x 18.已知F1.0)是椭圆C:a+京=(a>b>0) 的右焦点，过F作直线I交椭圆于A,B两点，其中A在x轴 上方.当1B1x轴时，A网=3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P40 (i)求证：∠APF=∠BPF: (ii)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点（异于M)，若MF平分∠AMB, 1 15 且NA NB NF,求cos∠ANB的值. 19.已知函数f0=e-号r-ac, 若有3个极值点X,,。,且<<， (i)求a的取值范围： (求证：1<fx)<422c 3 5 数学为主 (2若x≥0，f≥1+sinx ，求的取值范围 6 2026年新高考数学 挑战140冲刺985模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，， 所以当时，恒成立，即恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B 2．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值. 【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 表示圆C上的点到的距离， 的最大值是， 故选B 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】法一：先判断充分性，根据可得，两边取对数可以得到，进而构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而得到或，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解判断即可；再判断必要性，根据可得，两边取对数可以得到，即，结合函数的单调性即可得到，进而判断即可；法二：构造函数，利用导数和零点存在性定理即可判断. 【详解】法一：先判断充分性，若，因为，则，即， 则，即，即， 设，则，而， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，，且， 则或， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 即，则， 即，则，故充分性不成立； 再判断必要性，若，因为，则，即， 则，即，即，则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， 则，此时，故必要性成立. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 法二：若，则，即． 令函数，则. 当时，;当时，. 在上单调递增，在上单调递减． ． 令函数，则． 当时，，所以在上单调递增，，即． 因为，，所以在和上各有一个零点，所以有2个解，即有2个解，显然其中1个解为． 若，则，即． 因为函数与函数的图象只有一个交点，所以方程只有一个解， 即只有一个解，易得．故＂＂是＂＂的必要不充分条件． 故选：B. 4．设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误. 【详解】令，则，，．其中． 取，此时，， ，此时x最大． 又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故． 同理比较与，可得，故，故． 综上，当时，．故A是可能的． 取．此时，，，故且． 比较y和z，即与，，且是增函数， 所以，又底数，所以，故． 综上，当时，．故B是可能的． 取极小正数，取，此时，，，易知x最小． 现在比较和，即比较与，即和，比较和， 易知，故． 综上，取，．故C是可能的． 下面证明D选项不可能．若，则和同时成立． 若，则． 当时，，当时，， 同理可得，故存在，使得， 所以成立的必要条件是． 若，则，设， 则，且取时，， 等价于， 又，等价于，，易知其在时成立， 已证当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，，即恒成立， 故和不可能同时成立，即D不可能． 故选：D． 5．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 6．已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（    ） A．36 B．42 C．48 D．24 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中最小的，按，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解. 【详解】设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形， 因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，即， 不妨设该正六棱柱的高为h，则且，r取两者之中的较小者， 由点M到A，B，C，D，E，F的距离均为2，得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心， 因此正六棱柱的外接球半径， 若，则，； 若，则，， 于是当时，取得最小值，正六边形的面积为， 所以该正六棱柱的体积为. 故选：A 7．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 8．已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线性质以及垂直关系可得斜率关系，设，可得，所以；在中利用正弦定理以及三角恒等变换可得，，再结合双曲线定义以及离心率表达式化简即可得出. 【详解】如下图所示： 可知， 双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线， 因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 设，可得，所以； 由可得， 在中利用正弦定理可得， 可得， ； 再利用双曲线定义可得 整理可得， 因此可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用渐近线斜率以及垂直关系得出，再由中的正弦定理得出其边长，利用双曲线定义可得，即可求得. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 【答案】ABD 【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D. 【详解】由，可得， 由，可得，即，又因为，所以. 因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列， 故A正确； 由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大， 故B正确； 由等差数列的前项和公式可知，， ， 所以使得成立的最小自然数，故C错误； 当时，； 当时，； 当时，， . 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以在时为增函数， 所以数列中的最小项为，故D正确. 故选：ABD 10．已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得、、判断A、B、D；利用周期性求函数值判断C； 【详解】因为为偶函数，所以，则， 而，故，所以， 又为偶函数，所以，即， 所以，故，且， 所以，则4是的周期，故B正确． A：由两边求导得， 令得，解得，A正确； C：由上知，令，则， 则，C错误； D，因为，，则， 所以，则的图象关于对称，D正确． 故选：ABD 11．如图所示，正方体的棱长为2，点为侧面内的一个动点（含边界），点分别是线段、、的中点，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．平面截正方体所得的截面面积为 C．的最小值为 D．若，则点的运动轨迹长度为 【答案】AC 【分析】对于A,利用线面平行的判定定理，证明平行于平面内的一条线即可；对于B，判断截面为等腰梯形，然后利用梯形的面积公式求解即可；对于C，建立空间直角坐标系，设点坐标，将表示出来，利用二次函数求最值即可；对于D，利用确定点的轨迹方程，然后利用两点距离公式求长度即可. 【详解】对于A，连接, 因为点分别是线段、的中点， 所以，所以平面， 点分别是线段、的中点，故, 故四边形为平行四边形，所以且平面， 故直线平面，故A正确； 对于B，由A选项可知，平面截正方体所得的截面为梯形 且由正方体可知，, 故梯形的高, 故梯形的面积,故B错误； 对于C，以为原点，分别以为轴，轴，轴建空间直角坐标系， 则, 点为侧面内的一个动点（含边界），故设 所以， 所以， 当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，，若， 则，即， 因为故当时，此时， 当时，此时， 故点的运动轨迹为从点到点的一条线段，轨迹长度为，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】先求出夹角为，设起点为，终点为，画出示意图，由向量与的夹角为可得，则点C在所对圆周角为的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值即可求解. 【详解】由题意， 代入，得，则夹角为， 如图所示在直角三角形中，， ， 令，则， 即为向量与的夹角为， 则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为， 如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上， 由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求， 所以点即为圆心，半径， 则，此时共线且点C在之间， 故的最小值是1. 故答案为：1. 13．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 1 2 3 4 5 【答案】 【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片， 第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片， 第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种； （2）第一步，抽5号卡片， 第二步，从1、3、4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片， 第三步，从3、4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第四步，从2、4号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种. 而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为， 因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为：. 14．已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则 ， . 【答案】 171 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 【详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2)最小值，无最大值. (3). 【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为， ， 两式相加得，得证. （2）当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. （3）①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 16．如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，. (1)求证：点为线段的中点； (2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面. (3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 （1）过作垂足为，依题可推出平面，进而得.又因得出为中点，再结合梯形中是等腰梯形且，得到N为中点. （2）由（1）知是二面角平面角，作，通过线段关系证四边形是平行四边形，得出，确定是直线与所成角（或补角），利用三角函数值和余弦定理求，进而判断二面角情况. （3）利用在底面投影，找出直线与平面所成角，分为钝角、锐角、直角讨论相关线段长度，得出表达式，将其看作半圆上点与定点连线斜率，根据直线与半圆相切情况确定取值范围. 【详解】（1）过作交于点，连接. ，，平面，. ，为的中点. 在梯形中，，∴梯形为等腰梯形. 又，为线段的中点. （2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接. 在等腰梯形中，，. .又，∴四边形为平行四边形， . 为直线与所成角（或补角）， ，. 在中，，. 由余弦定理得：，得： ，解得，或（舍）， 在中，，，，. . 二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角， 平面平面. （3）设在底面的投影分别为，，N到平面的距离为， 则，则为直线与平面所成角，. ，，. 为钝角时，在的外部，， ， . 当为锐角时，在的内部， ，. . 当为直角时，也符合， 综上，. 设是（上半圆，不包括与轴的交点）上任意一点， 则可看作是半圆上一点与点连线的斜率. 直线与半圆相切时，直线的斜率最小值为. 与连线的斜率的取值范围为， 的取值范围为. 17．某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为． (1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由； (2)设，证明：； (3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望． 【答案】(1)相互独立，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求出，再利用概率的乘法公式，结合相互独立事件的定义判断即可. （2）根据给定条件，求出递推公式，再借助构造法推理得证. （3）利用数学期望的意义求得，再利用（2）中信息，按为奇偶分类求出通项公式即得. 【详解】（1）， ， 所以事件与事件相互独立. （2）依题意，，， ， 则，， ， 于是，， 所以. （3）， 由（2）知，，而， 数列中的奇数项是以为首项，为公比的等比数列， 当为奇数时，， 又，则，因此； 当为偶数时，， ，解得， 所以. 18．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【详解】（1）由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. （2）（i）记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 19．已知函数. (1)若有3个极值点，，，且， （i）求的取值范围； （ii）求证：； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；(ii)证明见解析； (2) 【分析】（1）（i）有3个极值点转化为与有3个交点，求导研究单调性，结合图像即可得出的取值范围；（ii）根据（i）得出与的关系，以及的范围，利用表示，代入表达式，构造函数求导研究单调性最值即可. （2）设，可以发现，，则根据尝试端点效应进行讨论，证明成立以及不成立即可. 【详解】（1）（i0当时，不符合题意， 当时，， 设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极小值，极大值， 且由指数函数与二次函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 作出图像：    则要使有3个极值点，需使与有3个交点， 则，即. 设与的3个交点横坐标从小到大分别为，，， 则由图像可得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为符合题意， 故的范围为. (ii)证明：由（i）,, 且时，单调递增，则， 由于，则， 代入得， 设， 则， 则，即， 综上：. （2）设， 则， 设，则， 设，则， 设，则， 由于时，，所以，则单调递增， 当时，，则单调递增， 则，则单调递增， 则，则单调递增， 则符合题意； 当时，，则存在，使得时，， 则在单调递减，则， 则在单调递减，不符合题意； 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $