难点专题06 直线与圆及椭圆、双曲线、抛物线（40题难题）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2026年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用）

数学为王 难点专题06解析几何 之直线与圆及椭圆、双曲线、抛物线 (40题难题) (10单选10多选10填空10大题) 备考秋籍 985高校强基计划 1.焦半径（抛物线上的点到焦点的距离) 焦半径 横销PF=k+号 纵相：PF=+号 2.点关于线对称的一般性结论 点(xy)关于直线Ax+By+C0的对称点坐标为 Y 2A(B+C)y- 2B(Ax +By +C) A2+B2 A2+B2 3.直径端点圆的方程 若圆的直径端点Ax,y),Bx2,y2),则圆的方程为x-x)(x-x2)+(y-y)(y-y2)=0 4.解析几何中的切线方程 ①过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上任意一点P(x,)的切线方程为(x-a(x-a)+(y,-by-b)=r2 ②过椭圆十 十a06>0上整点P的切线方器为+电 a2 b, ③过双曲线少 。F=1(a>0,6>0)上任意一点P(,)的切线方程为5-少=1 a b ④设P(8oy,)为抛物线y2=2px上的点，则过该点的切线方程为yy。=P(x+xo】 5.解析结合中的切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆x2+y2+Dr++F=0的切点弦方程为ox+y+十xD++少E+F=0 2 2 ②椭圆上 +6=1(a>0,b>0)的切点弦方程为+=1 a2 b2 方=1(4≥0.b二0)的切点弦方程为一兰=1门 ④抛物线y2=2px(p>0)的切点弦方程为yoy=p(x。+x) 数学为主 ⑥二次曲线的切点弦方程为，x+By十+G,y+D十x+Eh+y+F=0 2 2 2 6.相切的条件 y2 (Q>0,b>O与直线x+B+C=0(AB≠0)相切的条件是 ②双曲线y2 线。京=1(a>0,b>0)与直线+y+C=0(AB≠0)相切的条件是4a2-Bb=C 7.斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线（二次曲线）上顺次四点，则四点共圆（常用相交弦定理）的一个充要条件是：直线AC、 BD的斜率存在且不等于零，并有k4C+kD=0,(k4C,kBD分别表示AC和BD的斜率) 8.常见不等式 已知椭圆方程为 +=1a>b>0),两焦点分别为F,F,设焦点三角形PFB,中∠PF,B=0,则 a2b2 cos0 21-2e2(cos 0m=1-2e2) 9.椭球体积 +=1(a>b>0)绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为P=号ab 4 3 10.纵坐标之和 a+m与椭圆+少2 方=1(a>b>0)相交于两点，则纵坐标之和为 ?3 2mb2 2k2+b2 11.渐近线围成的四边形面积 过双曲线y2 ~6=1(a>0,b>0)上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 b a 2 12.帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三对对边的交点在同一条直线上 13.斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 6(a>b>0) 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值- 6(a>b>0) 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 14.椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 2 数学为住 x2 y2 =1(a>b>0) 标准方程 a2+ a-6=1(a>0,b>0) 焦点F(-c,0),F(c,0) 焦点F-c,0),(c,0 PF=a+exo;PF2=a-exo PF=exo+a,PF2 =exo-a 焦半径 e为离心率，x,为点P的横坐标 e为离心率，x,为点P的横坐标 PF≥a-c 焦半径范围 a-c≤PF≤a+c P为椭圆上一点，F为焦点 P为双曲线上一点，F为焦点 过焦点与长轴垂直的弦称为通径 过焦点与实轴垂直的弦称为通径 通径 通径长 2b2 e 通径长为26 如图，直线I过焦点F与椭圆相交于A,B 如图，直线1过焦点F与双曲线相交于 两点.则△ABF,的周长为4a A,B两点.则F,A+F,B-AB=4a (即F,A+F,B+AB=4a) ↑1y B 倾斜角为α的直线I过焦点F与椭圆相交 倾斜角为的直线I过焦点F与双曲线相 于A,B两点 交于A,B两点 焦点弦 焦点弦长AB 2ab2 2ab2 (a2-b2 sin2a+b 焦点弦长AB a2+b2)sin2a-b2 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径 直线I过焦点F与椭圆相交于A,B两点， 直线过焦点F与双曲线相交于A,B两 AF与BF 数量关系 1 则 12a F*BFb 一十 点， 则1+1=2a AF+BF=b 已知点P是椭圆上一点，O坐标原点， 已知点P是双曲线上一点，O坐标原点， 则b≤PO≤a. 则PO≥a. 数学为住 如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点， 如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点， 己知∠F,PF,=0,∠PFF2=a, 己知∠FPF2=6,∠PFF3=, ∠PF,E=B,则 ∠PF,F=B,则 1mtan 0.b2 (1Smcot 0: tan 2 sin0 焦三角形 (2)离心率e= sina+sinβ sin0 (2)离心率e= sina-sinβ ↑y P [y F 如图，已知直线1与双曲线相交于A,B两点， 如图，己知直线1与椭圆相交于A,B两点， 点M为AB的中点，O为原点，则 点M为AB的中点，O为原点，则 b2 b2 a 垂径定理 (注：直线1与双曲线的渐近线相交于A,B 两点，其他条件不变，结论依然成立) 如图，己知点A,B椭圆长轴端点（短轴端 如图，已知点A,B双曲线实轴端点，P是 点)，P是椭圆上异于A,B的一点， 双曲线上异于A,B的一点， 周角定理 b2 b2 则kpakpB= 23 则kpkB= 数学为住 y D B 推广：如图，已知点A,B是椭圆上关于原 推广：如图，已知点A,B是双曲线上关于 点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一 原点对称的两点，P是双曲线上异于A,B 点，若直线PA,PB的斜率存在且不为零， 的一点，若直线PA,PB的斜率存在且不为 b2 零， b2 a B 直线I过焦点F(c,0)与椭圆相交于A,B 直线1过焦点F(c,0)与双曲线相交于 两点，点P c,0 A,B两点， 则LAPF=LBPF(即kpP4+kPg=0). 则LAPF=∠BPF(即kp4+kPB=0) 己知点P(x,)是椭圆上一点，则椭圆在 己知点P(xo,yo)是双曲线上一点，则双曲 切线方程 点P处的切线方程为+=1 线在点P处的切线方程为-=1 a2 62 a2 15.抛物线的结论 如图，抛物线方程为y=2px(p>0),准线x=-?与x轴相交于点P,过焦点F 2 卫，0的直线1与抛物 线相交于A(x,),B(x2,y2)两点，O为原点，直线的倾斜角为α. 数学为住 M P 5 4 y2=-p2. 2.焦半径：AF=x+,BF=+,AB=x+x+P B 3.焦点弦：AB= 2p sin2a 4.A,BF的数量关系：+=2，AFBF=P AF BF P' n2a ,三角形4OB的面积S02。 6.以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切. 7.直线PA,PB的斜率之和为零(kp4+kpB=0),即LAPF=∠BPF. 8.点A,O,N三点共线；点B,O,M三点共线 9.如图，点A,B是抛物线y=2pxp>0),O为原点，若∠AOB=90°，则直线AB过定点2p,0) 难题精练 985高校强基计划 一、单选题 1.(2025·四川凉山一模)已知曲线C:(x-4)2+y2=r2(>0)上存在点与P(1,3)关于直线 1:(3m+2)x+(m-3)y-3m+9=0对称，则r的取值范围为() A.[3,6 B.[3,5 C.[4,6 D.[4,5 2。（2025广东模教预测）已知双曲线C:千广=a>0b>0的去左、右焦点分别为5,5，第二象限的 6 数学为主 点Px,满足上+。=0，且∠，FP=∠FP5,若PD=;PF,且lQFl-Qr,=2a,则C的离心率为() Xo a A.√17 B.4 C.5 D.2√3 3.(2024北京模拟预测)知直线1：x+y-2√2=0，圆『：x2+y2=r2(>0),若直线1上存在两点AB, 圆T上存在点C,使得AB=2,且∠ACB=90°，则r的取值范围是() A.[1,3] B.[2,3 C.[1,+o D.[2,+o0j 4.(2025黑龙江大庆·模拟预测)已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线 1:a+ak+2y+ak+5=0k∈N与圆C:(x-1)2+(y+2)2=1交于A,B两点，则∠ACB的最小值为() A.3 3 B c D.牙 5. (24-25高二上江苏徐州期末)已知点A0,2),若圆(x-a)2+(y-a+4)2=1上存在点P,使得 POP+PA?=34(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为() A.（-o,0]U[5,+oo B.[0,5 2 2- 6,2025厂东储二俊)已知R,5是双面线C号芳=a>0b>0的东、右作点，AB为双前装C士 的两点，若F,B=3FA,且以FF为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为() A.5 B.V5 C.10 D.14 2 2 7.(2025湖南益阳·模拟预测)已知抛物线y2=2pxp>0)的焦点为F(4,0),过F作直线1交抛物线于 AB两点，则 的最小值为() A.-3 1 B. 12 D.7 18 8.（225河北部郸一)巴知双面线C:等长-a>06>0的上、右熊点分别是R,万，过点5的 直线I与双曲线C的右支交于A、B两点，若AF+BF=3FF,,则双曲线C的离心率的取值范围是() 数学为住 A.(1,3+6 B. D. 6+6 9.(2025甘肃武威模拟预测)已知椭圆C:士+广 a2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为E,E,A为C上 一点.直线AF,与C交于另一点B,若AF,=2F,B,cos∠FF,B=-si∠AFF2,则C的离心率为() A. B.V5 c.5 6 3 D 10。（225江西新余模拟预测)已知椭团C:千+是=a>b>0上不同两点4，知果以线段B为直径 的圆过原点0，且0到直线4B的距离是25 则() A.25h-2W0 -<b< 5 5 B.0<b<2i0 C.a2+b2≤16 D.点M(1,1)在椭圆C上 5 二、多选题 山.(2025湖南长沙一德)已知双曲线C:X片1的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为 B,过F的直线1与双曲线的右支交于P,Q两点(P在第一象限)，PQ中点为M,△PFF,△QFF2的内 切圆圆心分别为11，I2,半径分别为万，则下列结论正确的是() A.I1,B,I2三点共线 B.直线I斜率存在时，ko·koM=3 C.若，=252，则直线1的斜率为√6 D.5+5的取值范围是2， 3 12.(2025河北沧州一模)己知抛物线E:y2=8x的焦点为F,准线交x轴于点P,点M为E上的一点， 则下列说法正确的是() A.PF=4 B.若45,01，则4M的最小值为号 C.若B(5,4),则MBF周长的最小值为12 D.当 MP 取最小值时，∠MPF= 4 数学为主 1B.2025云商模拟预0》已如直线？=k>0)与双线C:号号-a>0b>0)交于4,8两点，斤 ,F是C的左，右焦点，O为坐标原点，且∠FAF,=60°，AF=3BF,则下列结论正确的是() A.C的离心率为 2 B.k=35 8 C.F到AB的距离为3V39 13a D.O到AF和BF的距离之和为√a 14.2025四川乐山发报预测)已知围线r:4-=1,40,2,80-2,c(,p分3 4 P(x,y)为曲线Γ上不同于A的任意一点，则() A.y=2x是曲线T的一条渐近线 B.直线PA与直线PB斜率之积为4 C.y是关于x的单调递增函数 D.△PCD面积的取值范围是2-V2,2 5(2025江苏模拟预测)已知双曲线-y=1的左、右焦点分别为耳，乃，过坐标原点的直线1与该双 曲线交于A,B两点，且点B在第三象限，AH⊥x轴于点H,则下列结论正确的是() A.若AB=2√5，则∠AFB=90° B.AF-AH的最小值为4 C. 4到，5 AH D.若5，时》则△5内切图的周长为25-4 16.(2025陕西西安三模)已知双曲线C:女上 4W3 =1(a>0)的右焦点为F 0 左顶点为A,过F作 a24 3 C的一条渐近线的垂线，垂足为H,且交C的右支于点G,设O为坐标原点，P为C的左支上一动点，则 () A.AH =FH B.OG=2A历 C.|PF-PG≤3-3 D.IPF+PGl≥3+5 3 17。(2025广东佛灰拟预测>已知双曲线C若若-1e>0,6>01的左右焦点为F,R,点P为双曲线 C右支上一点，存在点P使得△PFF,为等腰直角三角形，则下列说法正确的是() A.双曲线C的离心率为√2+1 0 数学为主 B.△PFE的内心与外心可能重合 C.当△PFF,的外接圆的面积取到最小值时，△PFF的面积为b D.设点I是△PFF的内心，则直线IE,IF的斜率之比为常数 18.(2025广东清远一模)已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,0)的直线1与C交于不同的两点 Ax,y),B(x2,y2),分别以AB为切点作C的切线，且两切线相交于点Q,设O为坐标原点，则() A.0A.0B=-4 B.抛物线C的准线与以AB为直径的圆相切 C.设M(-2,0),则∠AM0=∠BM0 D.点Q位于定直线上 19.(2025广西模拟预测)已知0为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M，过 点F的直线与抛物线C交于A(x,),B(,2)两点，则下列结论正确的有() A.线段AB的长度的最小值为4B.∠AMB为钝角 C.若直线AB的斜率为1，则片+=4D.∠AM0=∠BM0 20.(2025·河北沧州模拟预测)已知抛物线y2=4x的焦点为F,C是直线x=-2上一点，过点C作抛物线 的两条切线与抛物线分别切于点A,B,连接AF,BF,设直线AB与x轴交于点P,直线CF与直线AB交 于点D,() AF CF ACAP A.P2,0 B c.LF-lADl CF BF BF BD D. BC BP 三、填空题 21.(2025江苏苏州模拟预测)过点(1,2)的直线1与抛物线E:x2=y交于两点M,N,点M,N处的切线 交于点P,则点P到圆x2+(y-4=1的距离的最小值是一 2。（2025四川乐山模拟预测)作斜率为号的直线1与抛物线2=4：交于M,N两点8M点在N点的左 侧)，点A(4,4)在直线1的右上方，当LMAN=60°时，则直线AM的斜率为一 28。(2025四川绳用使报预别双情线C若-=1a>06>0的右货点和老辅上的个瑞点分别为人 10 难点专题06 解析几何 之直线与圆及椭圆、双曲线、抛物线 （40题难题）（10单选10多选10填空10大题） 1. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离） 2. 点关于线对称的一般性结论 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 3. 直径端点圆的方程 若圆的直径端点，则圆的方程为 4. 解析几何中的切线方程 ①过圆上任意一点的切线方程为 ②过椭圆上任意一点的切线方程为 ③过双曲线上任意一点的切线方程为 ④设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 解析结合中的切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆的切点弦方程为 ②椭圆的切点弦方程为 ③双曲线的切点弦方程为 ④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为 6. 相切的条件 ①椭圆与直线相切的条件是 ②双曲线与直线相切的条件是 7. 斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率) 8. 常见不等式 已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则() 9. 椭球体积 椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为 10. 纵坐标之和 y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为 11. 渐近线围成的四边形面积 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 12. 帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上 13. 斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 14. 椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 标准方程 焦点 焦点 焦半径 为离心率，为点的横坐标. 为离心率，为点的横坐标. 焦半径范围 为椭圆上一点，为焦点. 为双曲线上一点，为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为. （即） 如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则. 焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长. 与数量关系 直线过焦点与椭圆相交于两点，则. 直线过焦点与双曲线相交于两点，则. 已知点是椭圆上一点，坐标原点， 则. 已知点是双曲线上一点，坐标原点， 则. 焦三角形 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 直线过焦点与椭圆相交于两点，点， 则（即）. 直线过焦点与双曲线相交于两点，点， 则（即）. 切线方程 已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为. 已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为. 15. 抛物线的结论 如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为. 1． 2．焦半径：，，. 3．焦点弦：. 4．的数量关系：，. 5．三角形的面积. 6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切. 7．直线的斜率之和为零（），即. 8．点三点共线；点三点共线. 9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点. 一、单选题 1．（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆的有公共点关系列式求出范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 2．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点满足，且.若，且，则的离心率为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】确定点在双曲线渐近线上、点在右支上，由角相等得；利用中点性质证明三角形全等，结合双曲线定义得的表达式，由渐近线得角的余弦值；最后在中用余弦定理列方程，求解得双曲线的离心率. 【详解】依题意，点在的渐近线上，点在的右支上. 因为，所以. 设为坐标原点，又，分别为，的中点，则， 又，，故， 故，而，则. 在中，由余弦定理，得，解得（负值舍去）. 故选：B 3．（2024·北京·模拟预测）已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意将原问题等价转换为圆心在直线上且半径为的动圆与圆有交点，分直线与圆的位置关系讨论，利用圆心到直线的距离即可得解. 【详解】若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且， 则条件等价于圆心（设为D）在直线上且半径为的动圆与圆有交点， 圆的圆心为 到直线的距离， 当圆与直线相离时，即时， 则圆上的动点到直线的最小距离为， 此时只需满足即可，所以； 当时，圆与直线有交点，此时圆和直线上一定分别存在点，使得，符合题意. 综上，. 故选：C. 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知数列为等差数列，且公差，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设数列公差为d，结合等差数列通项公式分析可知直线过定点，再根据圆的性质可知当时，弦长最小，此时最小，进而运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设数列公差为d， 则直线可化为， 即． 令，解得，可知直线过定点， 当时，弦长最小，此时最小． 又因为，则， 可知，则． 故选：B． 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 5．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由， 所以， 故选：B. 6．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】    如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知， ，， 所以，， 所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 8．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设， 则， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式. 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量关系推导线段比例，结合椭圆的定义表示各线段长度，利用三角函数诱导公式推导直角三角形关系，最后结合勾股定理建立方程，求解离心率即可. 【详解】根据题意作图，已知椭圆，所以，则，. 由，得，由椭圆的定义可得，， 设，则，，，. 由，且， 所以，即， 所以，即为直角三角形，，则有为直角三角形， 所以，解得或（舍去）， 又，代入，整理得，所以离心率. 故选：C. 10．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆上不同两点，如果以线段为直径的圆过原点，且到直线的距离是，则（    ） A． B． C． D．点在椭圆上 【答案】A 【分析】由题意知，设点，由在已知椭圆上，即到直线的距离，可得，利用其可判断各个选项. 【详解】根据题意易知，故设点， 由于均在已知椭圆上，则， 所以， 同理可得， 所以，即， 又由于到直线的距离是，所以， 即，所以， 由于，故点在椭圆外，故D错误； 由于，所以，所以， 即，故C错误； 由于，可得，又，则，即得， 即，解得，故A正确，B错误． 故选：A. 二、多选题 11．（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列式即可判断；对于B，由斜率公式及点差法可判断；对于C，设直线的倾斜角为，得到，，根据求出，进而求出可判断C；对于D，构造对勾函数即可判断. 【详解】依题意，得，，得，则，，，，设点，，， 对于A项，如图，设的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得,又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点共线，故A项正确； 对于B项，由相减得，，得，即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接，， 则， 又， 则，，若，则，，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，，，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故D项正确． 故选：ABD． 12．（2025·河北沧州·一模）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，点为上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C．若，则周长的最小值为12 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【分析】根据点的坐标直接求判断A，设，由两点间距离公式及二次函数配方求最值可判断B，利用抛物线的定义及三点共线求线段和的最值判断C，由题意转化后，利用直线与抛物线相切求判断D. 【详解】如图， 由抛物线知，所以，故A正确； 设，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 过点作准线的垂线，垂足为，因为， 所以的周长为，当且仅当三点共线时等号成立，所以周长的最小值为12，故C正确； 因为，所以当最小时，最大， 即直线与抛物线相切时，取最小值，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得，则，解得，所以当直线为或时，取最小值，此时，故D正确. 故选：ACD. 13．（2025·云南·模拟预测）已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的离心率为 B． C．到的距离为 D．到和的距离之和为 【答案】ABD 【分析】根据余弦定理求出双曲线的离心率，根据斜率的定义求出，根据点到直线的距离公式判断C，结合图形根据几何性质判断D. 【详解】如图，设的焦距为，由对称性知，又 得，所以，，又， 得，故，A正确； 在中，有，故 在中，， 所以，B正确； 到的距离为，C错误； 分别过，作，与垂直，垂足分别为，， 由为的中点知，到的距离为， 同理到的距离为，所以到和的距离之和为，D正确. 故选：ABD. 14．（2025·四川乐山·模拟预测）已知曲线，，，，，为曲线上不同于的任意一点，则（   ） A．是曲线的一条渐近线 B．直线与直线斜率之积为 C．是关于的单调递增函数 D．面积的取值范围是 【答案】ACD 【分析】讨论的取值范围，得到对应方程，根据曲线方程的性质即可判断选项A；表示出直线与直线斜率乘积可以判断选项B；对每个区间上的曲线方程整理可得，，，，在各自区间上都为增函数，即可判断选项C；将面积范围问题转化为曲线上的点到直线的距离问题即可判断选项D. 【详解】当时，曲线方程为； 当时，曲线方程为； 当时，曲线方程为，该曲线不存在； 当时，曲线方程为， 对于选项A，当或时，曲线的部分曲线为双曲线，且渐近线为，故A正确； 对于选项B，当位于第一象限时，假设直线与直线斜率分别为，则， 因为当时，曲线方程为，所以，即得，故B错误； 对于选项C，因为当时，，函数单调递增； 当时， ，函数单调递增； 当时，，函数单调递增，故C正确； 对于选项D，直线的方程为， 在中，， 求的面积的范围，即求曲线上的点到直线最小和最大距离， 显然直线和渐近线平行，故最远距离无限接近两平行线的距离，则； 假设直线和曲线相切（），当和切点重合时，面积有最小值， 联立，消去得，，解得， 则直线，故点到直线的最小距离为，所以面积的最小值为，故D正确， 故选：. 15．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为4 C． D．若，则内切圆的周长为 【答案】BCD 【分析】联立方程判断选项A的合理性；结合双曲线定义与几何不等式分析选项B；利用三角函数与渐近线性质推导选项C； 用三角形面积与内切圆公式计算选项D. 【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则. 选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以， 且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误； 选项B，由双曲线的定义可知， ，所以， 因为轴于点，则，且，当且仅当时取等， 所以，所以B正确； 选项C，因为，又渐近线的斜率为， 所以，所以，所以C正确； 选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积， 又，，则， 而，则， 所以内切圆的周长为，所以D正确. 故选：BCD. 16．（2025·陕西西安·三模）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假. 【详解】对双曲线：，，所以. 双曲线在一、三象限的渐近线方程为. 如图： 直线所在的直线方程为：. 由，即. 由且，即. 又，所以. 对A：因为，所以，，所以，故A正确； 对B：因为，，所以不成立，故B错误； 对C：,当三点共线时取等号，故C正确； 对D：设双曲线左焦点为，则， 所以，当三点共线时取等号.故D正确。 故选：ACD 17．（2025·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【答案】ACD 【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确； 对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确； 对于C，设的外接圆的半径为R，则，即. 当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值. 此时，，所以的面积为.所以选项C正确； 对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为， 则，所以. 所以点是双曲线的右顶点，点在直线上. 设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确. 故选：ACD. 18．（2025·广东清远·一模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（    ） A． B．抛物线的准线与以为直径的圆相切 C．设，则 D．点位于定直线上 【答案】ACD 【分析】利用解析法结合方程组和韦达定理来进行计算即可判断各选项. 【详解】设过点的直线方程为：，与抛物线联立方程组， 消得：， 由可得：， 又由， 所以，故A正确； 设的中点， 则， 即中点到准线的距离为 ， 假设抛物线的准线与以为直径的圆相切，则， 这显然是不成立的，故无解，所以抛物线的准线与以为直径的圆不相切，故B错误； 由 ， 所以有，故C正确； 由抛物线方程或， 求导得：或， 则抛物线在点的切线方程分别为：和， 两式消得：， ， 令，则 所以， 所以交点在直线上，故D正确； 故选：ACD. 19．（2025·广西·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的有（   ）． A．线段的长度的最小值为4 B．为钝角 C．若直线的斜率为1，则 D． 【答案】ACD 【分析】利用过抛物线的焦点弦中通径最短判断A；利用以AB为直径的圆与准线相切，知点的位置判断B；利用点差法判断C；三角形相似判断D. 【详解】对于A，如图①，易知抛物线C的焦点为，准线方程为，点， 过焦点的弦中通径最短，所以，正确；    对于B，如图，若是中点，也是以为直径的圆的圆心， 结合抛物线的定义知，若垂直抛物线准线于， 又，故到准线的距离为， 所以，故以AB为直径的圆与准线相切， 所以点在圆外或圆上，则，错误； 对于C，由，两式相减，得，又，所以，正确； 对于D，设直线的方程为：， 由得，， 所以，， ， 所以，正确．    故选：ACD 20．（2025·河北沧州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断B，应用角平分线定理结合数量积公式计算判断C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断D. 【详解】设，，， 则在A，B处的两条切线可写为， 将代入可得， 所以，在直线上，即直线AB为， 与x轴的交点为，即，故A正确； 对于B，设直线的方程为，其中， 与抛物线联立可得，则，， 若成立，即成立， 由抛物线定义得，，， 所以，故B正确； 对于C，若成立，可知为的平分线，即证明， 等价于证明，即证明， 即证明， 又，，， 代入化简可得， 即， 即，故C正确； 对于D，若成立，则为的平分线， 所以点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，即， 即只有当时成立，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】设l为，的横坐标为，l与抛物线方程联立求出．利用导数求出抛物线在点M和N处的切线方程，联立两条切线方程求出P的横坐标和纵坐标，消去参数k得到P的轨迹方程，再利用几何关系即可求解． 【详解】由题可知直线l的斜率存在， 故可设过点的直线的方程为，即． 联立抛物线方程，得：， 设的横坐标为，∵，故由韦达定理得：， 对于函数，其导数，在处切线斜率为， 切线方程为，即． 故抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为． 联立两切线方程：， 解得交点的横坐标为， 代入切线方程得纵坐标为． 因此，点坐标为， 消去参数得P的轨迹方程为，即． 圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 故P到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：． 故答案为：． 22．（2025·四川乐山·模拟预测）作斜率为的直线l与抛物线交于M，N两点（M点在N点的左侧），点在直线l的右上方，当时，则直线AM的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用到角公式可得，可求得，进而计算可求得直线AM的斜率. 【详解】设直线l的方程为，，, 点满足，则点在抛物线上， 由，所以，整理得， 所以，解得， 因，则， ， 又， 因为，M点在N点的左侧，所以， 又 ， ， 所以， 所以， 所以，解得或， 因为M点在N点的左侧，则，又，所以，所以， 所以，所以， 解得，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 23．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意求得 的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值. 【详解】由题意可得，设， 由双曲线的定义可得， ， ， 则的周长为， 当且仅当共线，取得最小值，且为， 由题意可得，即，， 则. 故答案为：.    24．（2025·江苏南通·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】如图，设，，，，得出，，结合，得出.因为、在双曲线上，得出，又因为过原点以为直径的圆过点，得出，结合双曲线的性质有，联立双曲线方程得出，所以，设离心率，构造关于的方程为，解方程求出. 【详解】 如上图所示，设，，，， 则，. 因为， 所以. 因为、在双曲线上，则. 又因为过原点以为直径的圆过点，所以. 根据双曲线的性质有，联立得 所以， 设离心率，则，解得，（，舍去）. 所以. 故答案为：. 25．（2025·河南郑州·二模）设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出离心率. 【详解】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得又， 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以. 故答案为： 26．（2025·安徽六安·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的方程为 ． 【答案】或. 【分析】由椭圆的方程可得焦点三角形的周长，从而求得面积，设出直线方程，联立写出韦达定理，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由椭圆，则，即，所以， 易知的周长为，由内切圆的半径， 则的面积， 设，则，可得， 由题意设直线，代入椭圆， 可得，， 则，， 由，即， 则，化简可得， 令，则，化简可得， 分解因式可得，解得，则， 所以直线或. 故答案为：或. 27．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于中点坐标公式和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式即可得解. 28．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆，左、右焦点分别为，离心率为，过作直线l交椭圆于A，B两点（A在x轴上方），满足，设点A关于x轴的对称点为，若的外接圆半径，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义可先求解焦半径的长度，再结合余弦定理来求解边长和角度，最后用正弦定理求外接圆半径，从而可得范围. 【详解】    不妨设，则， 根据椭圆的定义可知：，， 根据余弦定理得：， ， 联立两式可得： 化简得： 再由离心率， 代入化简得：， 再化简得： 解得：，即 由， 所以可知点为椭圆的上、下顶点，且， 再由余弦定理： ， 又由余弦定理得：， 在三角形中，则有， 即三角形外接圆半径满足： 则有， 再由，则，解得：， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要是利用椭圆的定义可得焦半径之间的关系，再利用已知条件，结合三角形的余弦定理和正弦定理来进行求解即可. 29．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，为的内心，若直线和的斜率分别为，，其中为坐标原点，则 . 【答案】/ 【分析】结合椭圆性质与内切圆中的切线长定理，可得，设，可得，则有，再由等面积可得，从而表示斜率即可得解. 【详解】由题知，，，，， 设，的内切圆与，，的切点分别为，，， 则、、， 所以，即， 因为， 所以，所以，， 易知与同号，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合切线长定理，得到，从而得到. 30．（2025·北京·三模）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分.已知过坐标原点.且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.有以下四个结论： ①； ②曲线上存在点，满足； ③若点是曲线第一象限上的点，则的面积的最大值为； ④当点在上时，不等式恒成立； 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】由题意，将原点坐标代入可得，可判断①；设点在上，通过放缩可得不等式，求出的取值范围，进而可求出的取值范围，可判断②；取，求得，可判断③；利用不等式的基本性质可判断④. 【详解】对于①，由题意点在曲线的上面，当且仅当， 因为曲线过原点且，所以，①对； 对于②，由题意可知，曲线的方程为， 若点在上，则， 又因为，则，所以， 故， 因为，所以，曲线上存在点，满足，②对； 对于③，在中，当时，化简得， 当点在第一象限时，取，则， 此时， 因此，的面积的最大值大于，③错； 对于④，由可额， 因为，所以，故， 整理可得，④对. 故答案为：①②④. 四、解答题 31．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线的离心率为，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程． (2)过双曲线的左焦点的直线与双曲线交于两点，的中点为，点的轨迹为曲线． （i）求的方程． （ii）已知点在曲线上，点在轴的右侧，点在轴的左侧，为坐标原点，直线与直线分别交于点．求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用给定的离心率求出双曲线的标准方程. （2）（i）设出直线，与双曲线的方程联立并求出中点坐标，再消去参数即得的方程；（ii）设出直线方程及点坐标，与的方程联立，求出点的坐标，利用韦达定理列式计算得证. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，焦距为4， 得半焦距，，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i），当直线不垂直于时，设其方程为，， 由消去得，，设， 则，， 于是，，整理得， 当直线垂直于时，由对称性不妨令，则，其坐标满足， 所以的方程为. （ii）设直线的方程为，， 由消去得，，， ，直线，直线， 则，， ，所以. 32．（2025·辽宁·模拟预测）已知二次曲线，的长轴长为4，，为的左、右顶点，点为的左焦点，过作直线交于、（在的上方），连接、，直线与直线交于点.过作的切线交直线于点.当轴时，. (1)求的方程； (2)求证：直线过一定点； (3)点为线段上一动点，若直线、、三线共点，，设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由长轴长和当轴时，的值分别求出，即可写出的方程； （2）设坐标，由椭圆方程得的值，设直线方程，联立方程组由韦达定理求得的值，然后得到关系，从而求得的轨迹，由切线方程公式求得在处二次曲线的切线，然后得到的纵坐标，从而得到一定经过的点坐标； （3）设直线方程，得到点到直线的距离，且得到它们的比值，设，联立方程后求得，从而求得，并通过求得范围，然后就可计算得到的取值范围. 【详解】（1）由长轴长为4，. 当轴时，，解得. . （2）设，，，，， 将代入得：. 设， ， 联立，得到. 得到. . 根据与可知. 设，，解得，即在定直线上. 对二次曲线求导，，即， 在处二次曲线的切线为. 令，则， 直线的方程为， 令，则. 注意到，中点的纵坐标为0. 又，的中点为，即过定点. （3）由（2）可知在直线上. 设，根据点到直线距离公式，，，. ，. 联立、，得， . ，. . 33．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点. (1)若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求； (2)求的方程； (3)记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出过且垂直于轴的直线，此直线与抛物线联立方程组求出的值，即可得到的值，根据题中条件求出，从而得到的值； （2）设，，易知，的斜率存在且不为0.设的方程为，则的中垂线斜率为.联立 ，消去，得到关于的一元二次方程，由判别式大于0，得到的范围，根据根与系数的关系得到和，求出，从而得到的中点坐标，利用点斜式得到的中垂线方程，将代入直线计算得到的值，利用弦长公式求出，利用已知条件得到，从而得到的方程. （3）写出，，的坐标，，得到的外接圆圆心为的中点，从而得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出半径和圆心到的距离，从而得到的取值范围. 【详解】（1）联立，得，，故， 而，故. （2）    设，，易知，的斜率存在且不为0. 设的方程为，则的中垂线斜率为. 联立，可得， 故，即， 且，，则， 故的中点为， 的中垂线方程为， 代入可得，即， 故， 可得，故的方程为. （3）依题意，，又，则， 故的外接圆圆心为的中点，即， 其半径， 而圆心到的距离. 故的取值范围为.    34．（2025·广东清远·一模）已知椭圆过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1)； (2)①过定点，证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）①根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ②由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图：    当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②当直线的斜率存在且不等于零时， 由①可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 35．（2025·湖南·一模）已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据列出等式，化简即可； （2）设直线，与曲线的方程联立，设，利用，由韦达定理结合面积公式求出即可. 【详解】（1）设，已知， 由，得， 化简得：， 曲线的方程为. （2）依题意，过点的直线斜率不为0，设直线， 联立得， 设，则. 为的中点，为的中点， ，    ， 解得， 直线的方程为：，即. 36．（2025·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线的斜率为1，求的面积. (3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）依题得直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，消元后写出韦达定理，根据计算即得； （3）在直线的斜率不为0时，设，将其与双曲线的方程联立，写出韦达定理，求出直线的方程，令，求得点，写出直线的方程，令，经过化简并将韦达定理代入可推出，即得定点，验证斜率为0的情况即得证. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由，可知，则直线的方程为， 代入，消去，可得， 设，则， 由图知，的面积为 . （3）当直线的斜率不为0时，设， 将其代入，消去，整理得， 则， 且，则（*） 直线的方程为，令，代入解得，即， 于是直线的方程为，令， 可得 ， 故此时直线经过定点. 当直线的斜率为0时，点分别是双曲线的左右顶点，此时直线即轴，显然经过点. 综上，直线经过定点.      37．（2025·浙江金华·一模）如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．    (1)求曲线的方程； (2)求的周长的取值范围； (3)过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设，根据已知及两点距离公式得到方程，进而整理可得； （2）令，且，，则，进而得到关于的表达式，应用导数研究单调性求值域，即可得三角形周长的范围； （3）设，由已知得，曲线得，令，结合基本不等式及一元二次不等式的解法求参数范围，即可得. 【详解】（1）设，则，得， 所以； （2）由（1）知，令， 由（1），以为主元直接求根公式知，则， 则，且， ， 令， 则，其中， 所以时，时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，而， 所以的周长的取值范围为；    （3）设，则，则， 由题知，则，代入曲线得：， 令，则 ①当时，，解得，则； ②当时，，解得，则． 综上所述：的最小值为. 38．（2025·湖南郴州·一模）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，再求即可求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得， （i）求直线的方程，由此可得，再求，由此证明结论； （ii）由（i）求的坐标，求，，，由此证明. 【详解】（1）由题意，设左焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：，， 左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题知， 因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根， 所以， （i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得 ， 则，即在直线上； （ii）证明：由（i）知，（其中） 则 即，故射线平分. 39．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6. (1)求的方程； (2)求过与相切的直线方程； (3)设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用斜率公式结合椭圆方程解出即可； （2）设切线的方程为，与椭圆联立，由得，在上，知道，得到； （3）与椭圆联立，借助韦达定理，后将四边形面积表示出来，即，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，， 又，则， 即，故， 又，即， 所以，故椭圆的方程为. （2）设切线的方程为，联立 整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以， 则， 所以过与相切的直线方程为， 即. （3） 设， 由（2）可知，切线的方程为， 切线的方程为， 所以， 故直线的方程为. 联立，整理得， 所以，又， ， 又 . 因为，则， 所以时，四边形的面积最大，最大面积为6. 此时直线的方程为，与交于椭圆右焦点， 则， 所以， 所以. 40．（2025·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点. (1)求E的方程； (2)若E与x轴的两个交点分别为和（点在的左边），M，N是E上异于，的两点. （i）若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）是定值，定值为；（ii） 【分析】（1）有题知，把点代入椭圆方程中并结合椭圆中基本量的关系形成方程组，然后解方程求出基本量即可得到E的方程； （2）（i）这直线的方程为，，，联立曲线E的方程，得到，，同时得到，然后计算即可得出是定值； （ii）设直线MN的方程为，联立曲线E的方程，得到，，设，由，，三点共线，得，由S，N，三点共线，得，然后可求直线OS的斜率，得到直线OS的方程，最后求得交点T，再得出故当，T，三点共线时，取得最小值. 【详解】（1）由题意知，解得，，，所以E的方程为. （2）（i）显然直线MN的斜率不为0， 如图，设直线MN的方程为，，， 由，得， 所以，，所以. 易得，，所以，， 所以， ,即为定值. （ii）设，，直线MN的方程为， 由得， 而，且，. 又，，设，由，，三点共线，得； 由S，N，三点共线，得， 所以 . 故直线OS的斜率，则直线OS的方程为， 由，解得，因此点在定直线上. 点O关于直线的对称点， 所以， 当且仅当，T，三点共线时等号成立，所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $