难点专题01 三角函数与解三角形（40题难题）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2026年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用）

难点专题01 三角函数与解三角形 （40题难题）（10单选10多选10填空10大题） 1. 常见三角不等式 （1）若，则. （2）若，则. （3）. （4）在锐角三角形中 2. 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 3. 万能公式 4. 常见三角恒等式 在任意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC 推论：在内，若tanA+tanB+tanC<0，则为钝角三角形 5. 常见平面几何结论 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 6. 内切圆半径 在Rt△ABC中，C为直角，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则△ABC的内切圆半径为 7. 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 8. 海伦-秦九韶公式推广 已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，) 9. 三倍角公式 ， 10. 射影定理 ，， 11. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 12. 张角定理 13. 倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, (1)如果,则有: (2)如果,则有: (3)如果,则有: 倍角定理的逆运用 在中,三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。(2)如果,则有:。(3)如果,则有:。 14. 中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 15. 三角恒等式 在中， ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； 一、单选题 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的零点性质，确定的取值范围，进而求出结果. 【详解】因为，所以. 因为函数在上恰有两个零点，而的零点为. 所以在这个区间内，的取值范围应该满足. 解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出 【详解】由得， 即的图象关于直线对称，且， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即， 所以，，解得，而，故，1，2. 当时，，则，，结合，得， 此时，当时， 由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，，结合，得， 此时，当时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意； 当时，，，，结合，得， 此时，当时， 由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意. 综上，或1，则的最大值与最小值之和为. 故选：B 3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据的最小值为可求周期，再根据对称轴可求，最后根据正弦函数的性质可求在给定范围上零点的个数. 【详解】令，则，解得， 而，故， 此时， 即曲线在对称中心处的切线的斜率的绝对值最大①， 考虑正弦函数，，若时， 则由①可得当且仅当时，最小且最小值为即为周期的， 而当时，的最小值为， 类比可得的周期为，故， 故，而由可得为对称轴， 故，而，故，故， 当时，， 因在的零点为， 故在区间内的零点个数为4个， 故选：A. 4．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由构造，借助其单调性解抽象不等式即可. 【详解】令， 则， 所以为偶函数， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以 因为 所以， 所以， 所以， 故选：A. 5．（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 6．（2025·山东青岛·三模）若，，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值. 【详解】根据诱导公式，则可化为 ①. 对，可得，即 ②. 设，其定义域为，关于原点对称. 且，所以是奇函数. 对求导，， 若，，，所以； 若，，则， 所以在上单调递增. 由①式可得，由②式可得，所以. 因为是奇函数，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 将代入，可得. 的值为. 故选：A. 7．（2025·浙江台州·一模）在中，斜边，为边上的高，的平分线交于点，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用直角三角形求得，令，记，利用导数法求得最大时的值. 【详解】设，因为，所以，， 所以， 所以， 令，记， 则，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，即取到最大值，此时. 故选：C 8．（2025·河北沧州·一模）已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简，可得，结合条件求得，再利用和差角的正弦公式求得，进而求得答案. 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 9．（2025·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理结合已知条件得出的关系①，再利用三角形面积公式得出的关系②，联立①②求解． 【详解】，，， ，化简整理得①， ，， ②， 联立①②得，， 令，则，当时，面积最大，此时， ． 故选：B． 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 二、多选题 11．（2025·浙江·一模）已知函数，则（    ） A．方程的解集是 B．当时，恒有 C．函数的值域是 D．函数的零点个数不可能为3 【答案】BCD 【分析】对于A，令代入计算可判断；对于B，分，，三种情况讨论即可判断； 对于C，求出函数的周期是，设， 当时，可得，即可得到范围； 同理当时，，即可求解函数的范围； 对于D，化简可得的图象关于轴对称，根据对称性即可求解. 【详解】因为是的解，则A错误； 当时，，则，从而，满足，当时，因为，所以， 当时，因为，所以，也有，B正确； 函数的周期是，不妨设， 当时，，因为， 则，从而； 当时，，因为，则，从而， 故值域是，C正确； 对于，因为， 所以的图象关于轴对称，使得在上的零点个数为偶数， 又显然是的最小值，而且当且仅当即， 这表明零点个数只能为1或偶数，D正确. 故选：BCD. 12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有且仅有5个零点 【答案】BCD 【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点. 【详解】对于A：因为， 所以的最小正周期不是，A错误； 对于B：当，即时，， 因为，所以， 则当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以此时的值域为； 当，即时，， 因为，所以， 当时，，当时，取得最大值， 所以此时的值域为； 综上，函数的值域为，B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 对于D：当时，由，解得或， 当时，由，解得， 又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确； 故选：BCD. 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。 【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误.     D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定. 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型. 14．（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B． C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】由题图可知，，所以，所以， 由，得， 由，解得，所以． 对于A，令，则，,故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确； 对于D，因为，得，令，则， 由正弦函数图象可知，，解得，故D错误． 故选：BC 15．（2025·河南·一模）已知在中，，则（   ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由二倍角公式及诱导公式可得，由，可得，当时取等号可判断AC；当时，，可判断BD. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当时取等号，故C正确， A不正确. 又 ， 当时，， 所以m没有最小值，故B正确， D不正确. 故选：BC. 16．（2025·广东深圳·模拟预测）已知的外接圆半径为，则（    ） A． B． C．的面积为6 D． 【答案】AD 【分析】A选项，根据正弦定理得到，由同角三角函数关系求出A正确；B选项，在基础上，由三角恒等变换得到，进而求出，得到；C选项，由正弦定理得，，又，由三角形面积公式求出C错误；D选项，利用向量数量积公式得到D正确. 【详解】A选项，，即， 由正弦定理得， 又，故，所以， 故，A正确； B选项，由A知，，因为， 所以， 即，则，， 又，故， 解得， ，故， ， 故， 故，B错误； C选项，由正弦定理得，又，，， 即，， 又， 故的面积为，C错误； D选项，，D正确. 故选：AD 17．（2025·安徽·二模）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 【答案】BCD 【分析】由两角和与差的三角函数公式、正余弦定理逐项分析计算即可. 【详解】选项A：由，得， 两式相加得，整理得， 即，解得或， 因为锐角中，，所以，，故A错误； 选项B：由选项A得，，则， 所以，即， 整理得，即，因为，所以， 所以， 则，故B项正确； 选项C：由锐角的面积为，得，得， 设的外接圆半径为，则， 又，， 则，解得， 所以，，， 所以，故C项正确； 选项D：由选项C得，的周长为，故D正确. 故选：BCD. 18．（2025·河北·模拟预测）在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（    ） A． B．若为等腰三角形，则 C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】利用辅助角化简得到，求解得到，A选项错误；为等腰三角形时， ，解得，故B选项正确；当时，，结合余弦定理化简得到，故C选项正确； 由三角恒等变换得到，当时， ，即，故D选项错误． 【详解】对于A，，即， 因为，故，故，故，A选项错误； 对于A，由对A选项的分析可知，当为等腰三角形时，为等边三角形，故，则，解得，故B选项正确； 对于C，当时，， 结合余弦定理 得，即，即，故C选项正确； 对于D，由，又由对C选项分析可知，当时，，代入，解得， 故，代入，得， 故，即，故D选项错误． 故选：BC． 19．（2025·新疆·模拟预测）的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A．若，则 B． C． D．若的面积为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，由正弦定理得，结合周长得到，得到；B选项，由基本不等式得到，求出，且，故，故，B正确；C选项，由余弦定理得到，故；D选项，由三角形面积公式得，结合B可知，，由正弦定理得到. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 又，故， 所以，，A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，故，即， 又，，故， 所以，即，解得， 又，故，故，B正确； C选项，由余弦定理得 ， 又，故，C错误； D选项，由题意得，即，解得， 由B可知，，故，解得， 故，由正弦定理得， 故，D正确. 故选：ABD 20．（2025·广东佛山·一模）已知，，若对任意的，不等式恒成立，则（   ） A．当时，，命题成立 B．当时，，命题成立 C． D．使得命题成立的有序数对恰有3组 【答案】BCD 【分析】对于A令得，令得即可判断A，对于B利用诱导公式得，取，即可判断，对于C令即可判断，对于D由得，由即可得，即，对分类讨论即可求解. 【详解】对于A，，令得，又，故，令，同理得，故，矛盾，故A错误； 对于B，，取，此时恒成立，命题成立，故B正确； 对于C，令，则，又，所以，则，故C正确； 对于D，由得，，所以， 得，所以恒成立， 当时，此时，，所以，符合题意； 当时，只能恒成立，分两种情况： ，，此时，，即 ②，，此时，，即， 综上，使得命题成立的有序数对恰有3组，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 21．（2025·湖北黄冈·一模）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：由题设易得，，，，结合基本不等式可得，设的内切圆与边相切于点，结合图形可得，进而求解即可； 解法二：由题设结合平方关系、等面积法易得，结合余弦定理可得，，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，即，则，同理， 而，解得， 设的内切圆与边相切于点，    而， 则， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 由图可知， ， 则边长的最小值为. 解法二：由，得， 由，得①， 由余弦定理有 ， 则②，显然． 由①②整理得， 解得或（舍去）， 则，当时等号成立， 则边长的最小值为. 故答案为；. 22．（2025·浙江嘉兴·一模）记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用，结合余弦定理解出、的值，后续法一：利用正弦定理将转化为角C的函数，再结合辅助角公式化简为，进一步考虑的范围即可求解；法二：利用导数求解的单调性，结合角C的范围即可求解；法三：求出后，回代余弦定理等式再将化为含b、c的齐次分式，最后通过换元利用对角函数的单调性即可求解． 【详解】由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. 方法一：由正弦定理得，其中，且， 又，所以， 又， 所以，所以的取值范围是． 方法二：，令，因为，而，所以，所以，在上单调递减，所以在单调递减，，，所以的取值范围是． 方法三：由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，所以， 令得， 再令，则，所以 又因为在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是． 故答案为：． 23．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，则的最小值与最大值之积为 . 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式与二倍角公式化简得，然后换元：设，，则，运用导数研究在上的单调性，求出的最值，即可得解． 【详解】根据，， 可得 ， 所以， 设，，则，求导数得， 当或时，；当时，， 所以在与上是增函数，在上是减函数； ，，，， 可知的最小值为，的最大值为， 即的最小值为，最大值为． 则的最小值与最大值之积为. 故答案为： 24．（2025·广西来宾·模拟预测）若函数在上有奇数个不同的零点，则实数m的值为 . 【答案】0或 【分析】从奇数个不同的零点入手，先研究的对称性.由得到关于直线对称. 因为区间是半开半闭区间，所以或者，即可解. 【详解】 所以，所以曲线关于直线对称. 又， 因为区间是半开半闭区间，函数在上有奇数个不同的零点，或， 即或， 进而：m的值为0或. 故答案为：0或. 25．（2025·湖南·一模）设，若，则 ． 【答案】1 【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值. 【详解】，化简得，① ，得，② ， 令， ， 在定义域上单调递增， 由①，②可得， 又是奇函数， ，即， ． 故答案为：1 26．（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 则 ， 整理得，而，即， 因此，，设该三角形内切圆半径为， 则，又，于是 ，由，得， 当且仅当时取等号，因此， 所以该三角形的内切圆面积的最大值为. 故答案为： 27．（2025·安徽·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先根据三角形面积公式和余弦定理对进行化简，再利用三角函数的性质求其最大值. 【详解】由三角形面积，余弦定理， 有， 则 由基本不等式当且仅当时取等号，则， 所以， 令，则， 根据辅角公式， 其中，即， 因为，所以，两边平方可得， 则的最大值为. 故答案为：. 28．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 【答案】8 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 29．（2025·广东·模拟预测）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简函数，然后利用函数的奇偶性和基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以； 因为为奇函数，当时，，所以； 当时，，所以，当且仅当时，等号成立； 故，所以的值域为. 故答案为：. 30．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意分析出，，且不同时取最大值1，设，将此式平方与已知条件进行平方后相加，可得，再进行验证即可. 【详解】因为，的最大值均为1， 且，① 所以，，且不同时取最大值1， 设，② 由①2+②2, 得， 即， 所以， 当时，等号成立; 当时，， 所以，， 所以， 即， 由， 可得， 平方得，， 所以， 解得， 所以， 综上，当，时，取最小值，为. 故答案为： 四、解答题 31．（24-25高三上·安徽·月考）在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得. （2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边. （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边，的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得，则，即， 而，所以. （2）由等面积法得：，即， 因此，，在中，由余弦定理得， 即，所以. （3） 由平分，得， 在中，设，则， 在中，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 得，故有． 在中，由正弦定理，得，则， 得代入式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“=”． 于是，．即的面积的最小值为． 【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题． 32．（2025·四川成都·三模）设的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求角； (2)点为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正余弦定理以及诱导公式求解即可； （2）根据为边的中点得到，两边平方后结合余弦定理求解即可； （3）利用正弦定理得到和，再利用余弦定理结合诱导公式以及二倍角公式得到，写出的表达式，求导判断单调性即可求解. 【详解】（1）由可得， 由正弦定理得， ， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此； 或者：由内角和定理得， 由正弦定理可知， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此； （2）因为中线，所以； 两边同时平方得，即， 在中，，由余弦定理可得， 可得，所以； （3）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即． 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则， ， 因为在中，所以， 则，在单调递增， 因为，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点在于利用正弦定理将边化角，再利用导数判断函数的单调性. 33．（2025·广东汕头·二模）已知函数，其中． (1)当时，求方程的解集； (2)若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围； (3)若是常数函数，求的值． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）当时，，求解方程即可； （2）的定义域为，由是偶函数得，展开并整理得，进而为正奇数，当取最小值即时，，化简，，利用换元法令，，将的值域问题转化为函数，且的值域即可. （3）因为，，若是常数函数，则，当时不是常数函数；当时，通过说明不是常数函数；证明当时成立；当时，通过，说明不是常数函数即可. 【详解】（1）当时，， 由得：，解得，或， 即，或， 故所求方程的解集为，或； （2）的定义域为，由是偶函数得：，即： ， 所以， 从而，进而，所以为正奇数， 当取最小值即时，， 所以，， 令，，则，且， 所以函数的值域转化为，且的值域， 对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值； 又当时，，当时，； 故函数的取值范围为； （3）因为，，所以若是常数函数，则， ①当时，由（1）知，不是常数函数； ②当时，，此时，， 不是常数函数； ③当时， ， 所以，是常数函数； ④当时，，不是常数函数； 综上所述：． 34．（2025·浙江绍兴·三模）在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且． (1)求角B的大小； (2)设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理表示出，然后代入计算，结合正弦函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）由余弦定理可得，则， 又，由可得， 即，且，所以. （2） 设，则，则， 在中，由正弦定理可得， 则， 则， 由可得， 且， ， 在中，由正弦定理可得， 则， 所以 ， 则， 且，所以当时，即，取得最大值. 35．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等． (1)若，求OA的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，然后在与中用余弦定理代入计算，即可得到，然后在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理代入计算，即可得到与相等或互补，然后分别讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题，， 因为和的外接圆半径相等， 由正弦定理得，所以， 设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 即， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以， 解得，即， 在中，由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， 所以． （2）在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 因为，所以，所以， 或， 若，则，此时， ， 易得，，不成立， 所以，故， 解得（舍）或， 因为，所以， 故． 36．（2025·四川成都·模拟预测）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 37．（2025·陕西汉中·一模）已知的内角的对边分别为． (1)若，求角B的大小． (2)设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理可得，再由余弦定理得的值，从而得角B的大小； （2）（ⅰ）设外接圆的圆心为，则为的中点，连接，根据圆的性质与余弦定理可得，，从而根据一元二次方程的根得的值；（ⅱ）过点作，交于点，结合圆的圆周角定理与正弦定理可证得结论. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）（ⅰ）当时，为外接圆的一条直径，所以，则， 设外接圆的圆心为，则为的中点， 连接，如图所示： 因为，所以， 则， 在中，根据余弦定理可得：， 则， 同理，在中，， 所以即为方程的两个实根，所以； （ⅱ）证明：如图，过点作，交于点， 设，则，， 则， 在中，根据正弦定理可得，即， 所以. 38．（2025·广东揭阳·三模）已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2)最小值，无最大值. (3). 【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为， ， 两式相加得，得证. （2）当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. （3）①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 39．（2025·北京门头沟·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)解答见解析 【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案； （2）①利用正弦定理可得为锐角或钝角；②利用基本不等式和三角形的性质可得存在且唯一确定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一确定. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到，又， 又，所以，得到，所以. （2）选条件①：，； 由（1）知，，根据正弦定理知， 所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件； 选条件②：， 因为，即， 又， 所以， 所以只有成立，存在且唯一确定， 所以的面积为. 选条件③：边上的高，； 如图所示，边上的高，在中，，即， 由（1）知，，根据余弦定理知，， 化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定， 所以的面积为. 40．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解； （2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制求出的取值范围；关于条件②求出函数对称中心表达式，将代入，确定的取值；关于条件③根据已知条件确定，从而确定的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定的值，再利用函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以. （2）对于条件①：在上是单调函数， 因为在上是单调函数，所以， 所以，又因为，解得， 因为， 解得， 所以函数的单调单调递增区间为： ， 若函数在上单调递增，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 因为， 解得， 所以函数的单调单调递减区间为： ， 若函数在上单调递减，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 对于条件②：图象的一个对称中心为， 因为，解得， 所以函数的对称中心为， 若是图象的一个对称中心， 则，解得； 对于条件③：对任意的，都有成立， 则时，函数取得最大值，有， 解得； 若选条件①②，则有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件①③，则有有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件②③，则有， 即，方程解不唯一， 此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $数学为主 难点专题01三角函数与解三角形 (40题难题)(10单选10多选10填空10大题) 备考秋籍 985高校强基计划 1.常见三角不等式 (I)若x∈(0，)，则sinx<x<tanx, 2)若xe0,7.则1<sinr+eosr≤V2 (3)sinx+cosx 21 (4)在锐角三角形中simA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC 2.半角公式 (1)sima2=±1-c0sa2).(2)cosa2=±1+c0sa2) (3)tana2=±1-cosa1+cosa)=sina1+cosa=1一cos a sin a.以上称之为半角 公式，符号由a2所在象限决定. 3.万能公式 2tan sinx=- 2 1-tan2 2tan COSx=- tanx=- 2 1+tan2 2 1+tan2x 1-tan2 2 4.常见三角恒等式 在任意△ABC内，都有tan4+tanB+tanC=tan4 tanB.tanC 推论：在△ABC内，若tanA+tanB+tanC<O,则△ABC为钝角三角形 5.常见平面几何结论 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 6内切圆半径 在Rt△4BC中，C为直角，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则△4BC的内切圆半径为a+h-C 2 7.海伦秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c,则三角形的面积为S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 其中=+b+C,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 2 数学为住 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式：S 8.海伦秦九韶公式推广 已知三角形三边x,y,,求面积可用下述方法（一些情况下比海伦公式更实用，如√27，√28，√29） A+B=x2 B+C=y2 C+A=z2 2S=VAB+B.C+C·A 9.三倍角公式 sin 3a =3sina-4sin'a,cos3a =4cos2a-3cosa 10.射影定理 a=b cos C+c cos B,b=a cos C+c cos A,c=a cos B+b cos A 11.角平分线定理 (1)在△ABC中，AD为∠BMC的角平分线，则有AB=4C BD CD B D ∠BAC (2) 2b×c×cos AD=- 2 b+c (3)AD2=AB×AC-BD×CD(库斯顿定理) AB-S.ABD (4)AC S.ACD 12.张角定理 sinβ，sina sin(a+B) AB·AC AD B D 13.倍角定理 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、C, (1)如果A=2B,则有：a2=b2+bc(2)如果C=2A,则有：c2=a2+ab(3)如果B=2C,则有：b2=c2+aC 倍角定理的逆运用 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、C, (1)如果a2=b2+bc,则有：A=2B。(2)如果c2=a2+ab,则有：C=2A。(3)如果b2=c2+ac,则有：B=2C 14.中线长定理 AD为BC的中线，则中线定理：AB2+AC2=2AD2+DC2 数学为主 证明： 在△ABD和△ADC中，用余弦定理有： AD2+BD2-AB2 AD2+DC2-AC2 2AD·BD 2AD.DC =0→AB+4C3=24D+DC) BD=DC 15.三角恒等式 在△ABC中， Dsin 4+sin B+sin C=4cos 4coscoC cos 2cos 4+cosB+cosC=1+4sin 4sin B.C sin 2 2 2 3sin2 4+sin2 B+sin2C=2+2cos Acos B cos C; 4cos2 A+cos2 B+cos2 C=1-2cos Acos B cosC; +sin2C ⑤sin24+sin2 B C=1-2sin 4sin -sin- 2 2 2 222 8us分+case9osS-2+2snn9nS B.C 2 2 2 2 ⑦cot A.cot B+cotA.cotC+cotB·cotC=1; .AB C +cot 2 2 2 2 22 EF了+。日a+7'a⑥ 难题精练 985高校强基计划 一、单选题 1.(25-26高三上黑龙江哈尔滨期末)函数y=sm0x君}o>0)在Q上恰有两个琴点，实数@的取 值范围() A.(5,11) B.[7,13) C.(7,13] D.(5,11] 2.(2025河北秦皇岛模拟预测)己知函数f(x)=sin(ox+p)(o>0,0<p<π)在 元π 6'3 上单调，且 f(）0,f)=(仍小，则0的最大值与最小值之和为() A.3 B.3 C.2 8 D. 3 3。(2025河北秦皇岛三模)已知函数/)=sin@x+o>0,p水满足：当/(x)-(x,川=1时，K- 数学为住 的最小值为穿且(+引=名小， 则函数f(x)在区间[-元，2π内的零点个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 4.(2025·江西景德镇·模拟预测)定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=sinx,又当x≤0时， fo废立，若fo≥f后-0小9m0- 则实数的取值范围为() B.[ c.og D. ππ 5.(2025云南-模)在4BC中，若SimA+sin B.cos4+cosB=,则sinC=（） 4 B.1 C.3 4 D. 13 5 025:山东青岛三模)若a+c0s0-2+t=0,4B+c0sBs1nB-2=0，则cos(a+2B)= 2 A.1 B.3 c D.0 7.(2025·浙江台州一模)在Rt△ABC中，斜边BC=1,AD为BC边上的高，∠ABC的平分线交AD于点 E,当ED最大时，cos ZABC的值为() A.5-1 B.5-1 c.7-1 2 D.√2-1 4 4 8.(2025河北沧州一模)已知(cosa+cosB)(cosa-cosB)=- F2sna-)=4,则a6 1 =() A.-7 B.-6 C.6 D.7 9.(2025·河南模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=6,b=4 ccos A,则当 ABC的面积取最大值时，C=() A.3√2 B.25 C.26 D.42 0.（225四川城高楼报预》已知s油a+28-m月-}，则na=() tanB 1 B.-20 c品 D.20 3 二、多选题 11.(2025浙江一模)已知函数fx=sinx,则() A.方程f(x)+fx=0的解集是-0,0] B.当x≠0时，恒有ff(x)<x 数学为主 C.函数y=f(x)+f(x+2的值域是[-sin2,2sinl D.函数y=fxf(3x-a0≤x≤π，aeR的零点个数不可能为3 12.(2025安微模拟预测)已知函数f(x)=cosx+√51sinx,则() A.函数f(x)的最小正周期为刀 B.函数f(x)的值域为[-1,2] C.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴 D.函数g(x)=f(x)-1在区间(-2π，2π)上有且仅有5个零点 13.(2025甘肃武威模拟预测)函数f=4cos(@x+9)+b4>0.@>0,<号 的部分图象如图所示， x1,x,x≠x)是f(x的2个零点，则() 3 5π 6 A.f(x)的图象关于点 对 B.K-的最小值为写 C.当x-x,取最小值时，f(x+a-f(x2+a的最大值为 D.若在区间(0，M]上至少有10个零点，则M的最小值为7 2 14.(2025福建厦门二模)已知函数f()=Asin(@x+p)+84>0,0>0,p<的图象如图所示，下列 说法正确的是() 7π 12 -1 数学为王 A.函数)的一个对称中心是（径 B. lim △x0 2Ax C.将函数g(x)=2cosx+1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的)，再向右平移云个单位长度，可 12 得到函数∫(x)的图象 D.函数f(x)在x∈(0，a上有5个零点，则a的取值范围为 /7π17π 36」 15.(2025河南一模)已知在ABC中，m=cosA+2cos 2,则() B+CB -cos 2 A.m没有最大值 B.m没有最小值 C.m的最大值为) D.m的最小值为 16.(2025广东深圳模拟预测)已知A8C的外接圆半径为2，A= 34C=AB tan B,则() A.sin2B+sin2C=1 B.tanBtanC:=2C.ABC的面积为6D. CA.CB=6-4/3 17.(2025安徽·二模)已知锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足 2sinC-sinA=√2sinB,2cosC+cosA=√6cosB,且ABC的面积为3+√3，则() A.B=T B.sinC-cosC sinA 6 C.b2=a2+4 D.ABC的周长为3V2+2√3+√6 18.(2025河北模拟预测)在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,a2+mc2=b,5sinA+cosA=2 3 ,则下列说法正确的是() A4=君 B.若ABC为等腰三角形，则m= 3 1 3 C.当m=-1时，2b=3c D.当m=-1时， tanA tanC tanB 19.(2025新疆模拟预测)ABC的周长为6，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sinB+sinC-sinA=。csin B,则() 2 A.若a=2,则bc=4 B.2≤a<3 6 数学为住 D.若ABC的面积为5，则sinB+sinC-75 10 20.(2025广东佛山一模)己知oeR,p∈[0,2π，若对任意的xeR,不等式cosx≥sin(ox+p)恒成立， 则() A.当p=0时，30∈R,命题成立 B。当p=时，30∈R,命题成立 C.sinoπ-p）=l D.使得命题成立的有序数对(o,p)恰有3组 三、填空题 21. (2025湖北黄冈一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其内切圆半径r=L,cosC=4 1 则边长c的最小值为 2.(2025-浙江嘉兴一模)记4BC的内角4,8，C的对边分别为a,么c,若4BC的面积S-(b+c-4 2 则少+C的取值范围是」 a 23.(2025吉林模拟预测)已知函数f)=osr+。 亏cos3x,则f()的最小值与最大值之积 为」 24.(2025广西来宾模拟预测)若函数f(x)=sinx+.simn3x+上sin5x-m在0，x)上有奇数个不同的零点， 则实数m的值为 25.(2025湖南一模)设a,B∈ ππ 44 若a+eora+》21=04g产-ipeosp0+1=0,则 cosa+2β= 26.（2025河南·模拟预测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c(cosA+cosB)=a+b,c=2, 则该三角形内切圆面积的最大值为 27.(2025·安徽模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,该三角形面积大小记为S, a2+b+2c的最大值为 16S 则 > 数学为主 28.(2025四川成都一模)在锐角4BC中，若，1 1 tanB tanC =2,则tanA+tanB+tanC的最小值是_ 7π 29.(2025广东模拟预测)函数fy= -cos2x+2cosx+ 2的值域为 3-cos 2x 30.(2025四川绵阳模拟预测)已知2cosa+√3cosB=3,则cosa+B)的最小值为」 四、解答题 31.(24-25高三上·安徽月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.且满足 3(sinBsin4-cosBcos4)=sinC. (1)求角C的大小； (2)若ABC的面积S=10V3,内切圆的半径为r=√5，求C; (3)若∠ACB的平分线交AB于D,且CD=2,求ABC的面积S的最小值. 32.(2025四川成都三模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (a+csin(B+C)=(b-c(sinB+sinC）,b=√5. B D (1)求角B; ②点E为边4C的中点，若5之，求ABC的面积： 6)如图所示，点D是ABC外-点，若∠B4C=∠DAC=0,且∠ADC=行，记△BCD的周长为fO),求 f(θ)的取值范围. 33.(2025广东汕头二模)已知函数fx=sinkx·sin*x+coskx·cos*x-cos2x,其中k∈N. )当k=1时，求方程时=1-5的解集， 2 ②若（是偶函数，当k取最小值时，求函数gx)=团+ +sinr+cosx的取值范围； tanx (3)若f(x是常数函数，求k的值. P 数学为主 34.(2025浙江绍兴三模)在三角形ABC中，内角A,B,C对应边分别为，b,c,ABC的面积为S 且4S=V5a2+c2-b2). (1)求角B的大小： ②设点M是三角形内一点，且BM=2,∠M8C-牙过点M作直线1分别交B4,BC(或延长线)于点P, 1.1 Q,求 MP MO 的最大值 35.(2025浙江·三模)如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2√2， ∠AOB=3江，且△A0D和aBOC的外接圆半径相等. 4 C (I)若AB=2,求OA的长； (2)若sin2∠DA0+sin∠0BC=1,求∠BC0. 36.(2025-四川成都模拟预测)ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知2 beosC=ae -2ccosB (1)求C: (②)若∠ACB=60,AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 37.(2025陕西汉中.一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. ()若(sinA-sinC)2=sin2B-sin Asin C,求角B的大小. (②)设E为ABC外接圆上的点，ABC外接圆的半径为2，且BE平分∠ABC,BE=2√5. (i)当b=4时，求a+c的值； （i)证明：sin∠BAE=V5 2 38.(2025广东揭阳·三模)已知ABC内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 sin2 4+sin2 B=2+cos 2C (L)i证明：c0sa+cosB=2cosa+Bcos-E 2 2 (2)求sinC 的最值： sin Asin B (3)若c=6, 4=(名》，求48c的面积s的取值范围 39.(2025北京门头沟一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 0 数学为主 bsin2A=√3 a sin B (1)求∠A; (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求 ABC的面积 条件①：b=2V5,a=2; 条件②：b=2√5，a+c=4; 条件③：AB边上的高h=√5，a=√9 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 40。(2025北京顺义一模)已知函数f()=mor-引 +3cosox(@>0) (1)求f(0)的值： (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数f(x)存在且唯一确定.当∫(x)在区间 (0,a)(a>0)上仅有一个零点时，求a的取值范围 条件①：f(x)在 π7π 12’12 上是单调函数 条件②：y=f(x)图象的一个对称中心为 条件③：对任意的x∈R,都有f(x)≤f 成立 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 ⊙